Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^{2}y+3y\ge 0$, $3y-3-2x^2\ge 0$, $2x^2+4x-y+2\ge 0$.

**Phương trình thứ nhất.** Đặt $t=2x^2+3\ge 3$, khi đó phương trình viết được thành
$$\sqrt{yt}=\frac{3y-t}{2}.$$
Bình phương hai vế (chú ý $3y-t\ge 0$):
$$4yt=9y^2-6yt+t^2⟺9y^2-10ty+t^2=0⟺(9y-t)(y-t)=0.$$
Vậy $y=t$ hoặc $y=t/9$. Với $y=t/9$ thì $3y-t=-\frac{2t}{3}<0$ (vì $t\ge 3$), loại do điều kiện vế phải không âm. Với $y=t$ thì $3y-t=2t>0$, thỏa mãn.
Do đó $y=2x^2+3$.

**Phương trình thứ hai.** Thay $y=2x^2+3$:
$$2x^2+4x-y+2=4x-1,2x^2+2x-y+2=2x-1.$$
Phương trình trở thành $\sqrt{4x-1}=1-\sqrt[3]{2x-1}$, với điều kiện $x\ge \frac{1}{4}$ và $\sqrt[3]{2x-1}\le 1$.

Đặt $s=\sqrt[3]{2x-1}$, khi đó $4x-1=2(2x-1)+1=2s^3+1$, phương trình là
$$\sqrt{2s^3+1}=1-s.$$
Bình phương hai vế (với $s\le 1$):
$$2s^3+1=1-2s+s^2⟺2s^3-s^2+2s=0⟺s\left(2s^2-s+2\right)=0.$$
Tam thức $2s^2-s+2$ có biệt thức $\Delta =1-16<0$ nên vô nghiệm trên $\mathbb{R}$. Vậy $s=0$, tức $2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$, suy ra $y=2\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{7}{2}$.

**Thử lại:** Phương trình (1): vế trái $\sqrt{2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{7}{2}+3\cdot \frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}+\frac{21}{2}}=\frac{7}{2}$; vế phải $\frac{1}{2}\left(\frac{21}{2}-3-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{2}$. Phương trình (2): vế trái $\sqrt{\frac{1}{2}+2-\frac{7}{2}+2}=1$; vế phải $1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}+1-\frac{7}{2}+2}=1-0=1$. Cả hai đều thỏa mãn.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện $x^2+3x\ge 0$ tự thỏa khi bình phương cho kết quả không âm): $x^2+3x=4\iff x^2+3x-4=0\iff (x-1)(x+4)=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Thử lại: $\sqrt{1+3}=2$, $\sqrt{16-12}=2$, đều thỏa. Vậy tập nghiệm là $\{-4;1\}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x-2\ge 0\iff x\ge \frac{2}{3}$. Bình phương hai vế: $x^2-13x+13=9x^2-12x+4\iff 8x^2+x-9=0\iff (x-1)(8x+9)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=-\frac{9}{8}$. Với $x=1$: vế trái $\sqrt{1-13+13}=1$, vế phải $3(1)-2=1$, thỏa mãn. Với $x=-\frac{9}{8}<\frac{2}{3}$, loại. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Kiểm tra điều kiện: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-4\ge 0\iff x\ge 2$. Phương trình $x-\sqrt{2x-4}=2\iff \sqrt{2x-4}=x-2$ (cần $x\ge 2$, thỏa mãn điều kiện). Bình phương: $2x-4=(x-2{)}^2\iff x^2-6x+8=0\iff x=2$ hoặc $x=4$. Thử lại: $x=2$: $2-0=2$ ✓; $x=4$: $4-2=2$ ✓. Tổng các nghiệm $=2+4=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các vế đều không âm): $3x^2+6x+3=2x^2-5x+3\iff x^2+11x=0\iff x=0$ hoặc $x=-11$. Thử lại: với $x=0$, hai vế đều bằng $\sqrt{3}$, thỏa mãn. Vậy một nghiệm là $x=0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $(x+1)(x-2)\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 2$. Đặt $t=\sqrt{(x+1)(x-2)}=\sqrt{x^2-x-2}\ge 0$, khi đó $x^2-x=t^2+2$. Phương trình trở thành $2(t^2+2)+t=25\iff 2t^2+t-21=0\iff t=3$ (nhận, vì $t\ge 0$; $t=-\frac{7}{2}$ loại). Suy ra $x^2-x-2=9\iff x^2-x-11=0\iff x=\frac{1\pm 3\sqrt{5}}{2}$. Cả hai nghiệm thỏa điều kiện ($\frac{1+3\sqrt{5}}{2}\approx 3,85\ge 2$ và $\frac{1-3\sqrt{5}}{2}\approx -2,85\le -1$). Tổng các nghiệm bằng $\frac{1+3\sqrt{5}}{2}+\frac{1-3\sqrt{5}}{2}=1$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2x-1}=2-x$ xác định khi biểu thức dưới căn không âm và vế phải không âm: $2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}$ và $2-x\ge 0\Rightarrow x\le 2$. Vậy điều kiện xác định là $\frac{1}{2}\le x\le 2$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+2\ge 0\iff x\ge -2$. Bình phương hai vế: $x^2-x+3=(x+2{)}^2=x^2+4x+4\Rightarrow -5x=1\Rightarrow x=-\frac{1}{5}$. Thử lại: $x=-\frac{1}{5}\ge -2$ thỏa mãn, và $\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{5}+3}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}=x+2$. Vậy $S=\left\{-\frac{1}{5}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$. Đặt $a=\sqrt{x+2}$, $b=\sqrt{2x-1}$ thì $b^2-a^2=(2x-1)-(x+2)=x-3$. Phương trình trở thành $(x-2+a)(b-a)=(b-a)(b+a)$, tức là $(b-a)(x-2+a-b-a)=0\iff (b-a)(x-2-b)=0$.
Trường hợp 1: $b=a\Rightarrow 2x-1=x+2\Rightarrow x=3$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: $b=x-2\Rightarrow x\ge 2$; bình phương: $2x-1=(x-2{)}^2\iff x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1$ (loại vì $x-2<0$) hoặc $x=5$ (thỏa: $\sqrt{9}=3$).
Vậy $S=\{3;5\}$, tổng các phần tử là $3+5=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x+1\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{2}$. Bình phương hai vế: $x^2+mx+2=4x^2+4x+1\iff 3x^2+(4-m)x-1=0$. Vì tích hai nghiệm $=-\frac{1}{3}<0$ và biệt thức $\Delta =(4-m{)}^2+12>0$ luôn, phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm dương $x_{+}$ và một nghiệm âm $x_{-}$. Nghiệm dương luôn thỏa $x_{+}\ge -\frac{1}{2}$. Nghiệm âm $x_{-}=\frac{m-4-\sqrt{(4-m{)}^2+12}}{6}$ phải thỏa $x_{-}\ge -\frac{1}{2}$, tức $m-1\ge \sqrt{(4-m{)}^2+12}$, đòi hỏi $m\ge 1$; bình phương: $m^2-2m+1\ge m^2-8m+28\iff 6m\ge 27\iff m\ge \frac{9}{2}$. Vậy cần $m\ge \frac{9}{2}$, tức $m\in \{5,6,\dots ,20\}$: có 16 giá trị nguyên. Kiểm tra $m=5$: $3x^2-x-1=0$, nghiệm âm $\frac{1-\sqrt{13}}{6}\approx -0,434\ge -\frac{1}{2}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-4x-2\ge 0$ và $x^2-x-2\ge 0$. Bình phương hai vế: $2x^2-4x-2=x^2-x-2\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thử: với $x=0$, vế trái $\sqrt{-2}$ không xác định (loại); với $x=3$: $\sqrt{18-12-2}=\sqrt{4}=2$ và $\sqrt{9-3-2}=\sqrt{4}=2$, thỏa mãn. Vậy tập nghiệm $S=\{3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x+2\ge 0\iff x\ge -\frac{2}{3}$. Bình phương hai vế: $3x^2-4x+4=9x^2+12x+4\iff 6x^2+16x=0\iff 2x(3x+8)=0\iff x=0$ hoặc $x=-\frac{8}{3}$. Vì $x\ge -\frac{2}{3}$ nên chỉ nhận $x=0$. Thử lại: $\sqrt{4}=2=3\cdot 0+2$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm $S=\{0\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-2x-1\ge 0$ và $-x^2+2x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Thử lại: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án C.

Phương trình tương đương với

$$x+3-\frac{7x+8}{x^2+3}=\sqrt{x^2-x+1}$$

$$\iff x+3-\sqrt{x^2-x+1}-\frac{7x+8}{x^2+3}=0$$

$$\iff \frac{(x+3{)}^2-\left(x^2-x+1\right)}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{7x+8}{x^2+3}=0$$

$$\iff \frac{7x+8}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{7x+8}{x^2+3}=0$$

$$\iff (7x+8)\left(\frac{1}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{1}{x^2+3}\right)=0$$

$$\iff \{\begin{array}{l}7x+8=0\\ \frac{1}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{1}{x^2+3}=0\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{7}{8}\\ x+3+\sqrt{x^2-x+1}=x^2+3(\ast )\end{array}$$

(*) tương đương với $\sqrt{x^2-x+1}=x^2-x(\ast \ast )$.

Đặt $t=\sqrt{x^2-x+1}$ với $t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ ta được $x^2-x=t^2-1$.

(**) trở thành

$$t=t^2-1$$

$$\iff -t^2+t+1=0$$

$$\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(nhận)\\ t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(loại)\end{array}$$

Khi đó:

$$\sqrt{x^2-x+1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$$\iff x^2-x+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

$$\iff x^2-x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=0$$

$$\iff x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{7}{8};\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}\right\}$.

a) Giải bất phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8\le 0$.
Điều kiện: $-\frac{1}{3}\le x\le 6$. Sử dụng phương pháp liên hợp với nghiệm $x=5$:
$$\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)\le 0$$
$$\iff (x-5)\left[\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right]\le 0$$
Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\in \left[-\frac{1}{3};6\right]$, ta có: $x-5\le 0\iff x\le 5$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $S=\left[-\frac{1}{3};5\right]$.

b) Bài toán quy hoạch tuyến tính (Tối ưu chi phí thực phẩm).
Gọi $x,y$ lần lượt là số hộ thực phẩm loại $X$ và loại $Y$ cần mua $(x,y\ge 0)$.
Hệ điều kiện về các đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& \text{(Chaˆˊt A)}\\ 2x+9y\ge 27& \text{(Chaˆˊt B)}\\ 2x+3y\ge 20& \text{(Chaˆˊt C)}\end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

i. Thiết lập hệ bất phương trình và Hàm mục tiêu. Hệ điều kiện về đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& (d_1)\\ 2x+9y\ge 27& (d_2)\\ 2x+3y\ge 20& (d_3)\\ x,y\in \mathbb{N}& \end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

ii. Xác định các điểm cực biên của miền nghiệm. Xét các giao điểm của các đường biên để xác định hình dạng miền nghiệm khả thi:

• Giao điểm của $d_1$ và $d_3$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+y=11\\ 2x+3y=20\end{array}\Rightarrow A(3,25;4,5).$$

• Giao điểm của $d_3$ and $d_2$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+3y=20\\ 2x+9y=27\end{array}\Rightarrow B(8,25;1,16).$$

Chú ý: Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ tại $(4,5;2)$ không thỏa mãn điều kiện $(d_3)$ nên không thuộc miền nghiệm.

iii. Kiểm tra các điểm nguyên lân cận. Vì $x,y$ là các số nguyên, ta kiểm tra các tọa độ nguyên nằm trong miền nghiệm gần các đỉnh $A$ và $B$:



iv. Kết luận. Giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí là 1.800.000 đồng. Phương án tối ưu là mua 4 hộp thực phẩm loại X và 4 hộp thực phẩm loại Y.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $\sqrt{2x^2+x+3}=\sqrt{x^2-4x+3}$ (1).

a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện xác định (xem c): cả hai giá trị đều thỏa mãn nên $S=\{-5;0\}\ne \{0;2\}$ → Sai.

b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$ → Đúng.

c) Điều kiện xác định: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (vì $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$ do $\Delta <0$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.

d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (4a: S, 4b: D, 4c: S, 4d: D).
a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định nên tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$ → Sai.
b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=(-5{)}^2+0^2-3\cdot (-5)\cdot 0=25$ → Đúng.
c) Điều kiện xác định là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (với $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.
d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1\ge 0$ và $3-x\ge 0$ nên $1\le x\le 3$. Bình phương hai vế: $x-1=3-x\iff 2x=4\iff x=2$, thỏa điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm $x=2$, khớp đáp án A trong bảng mã đề 0112.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1\ge 0$ và $3-x\ge 0$ nên $1\le x\le 3$. Bình phương hai vế: $x-1=3-x\iff 2x=4\iff x=2$, thỏa điều kiện. Vậy $x=2$, chọn C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x+3\ge 0$: cả hai giá trị thỏa mãn. Vậy $S=\{-5;0\}$, với $x_1=-5,x_2=0$ thì $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$. a) Đúng: phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$. b) Sai: ĐKXĐ là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$, không phải $1\le x\le 3$. c) Đúng: $P=25$. d) Sai: tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai. ĐKXĐ: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (lưu ý $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$). Không phải $1\le x\le 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Bình phương hai vế: $x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$, đều thỏa ĐKXĐ. Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=25+0-0=25$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$.