Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện $x^2+3x\ge 0$ tự thỏa khi bình phương cho kết quả không âm): $x^2+3x=4\iff x^2+3x-4=0\iff (x-1)(x+4)=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Thử lại: $\sqrt{1+3}=2$, $\sqrt{16-12}=2$, đều thỏa. Vậy tập nghiệm là $\{-4;1\}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x-2\ge 0\iff x\ge \frac{2}{3}$. Bình phương hai vế: $x^2-13x+13=9x^2-12x+4\iff 8x^2+x-9=0\iff (x-1)(8x+9)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=-\frac{9}{8}$. Với $x=1$: vế trái $\sqrt{1-13+13}=1$, vế phải $3(1)-2=1$, thỏa mãn. Với $x=-\frac{9}{8}<\frac{2}{3}$, loại. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Kiểm tra điều kiện: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-4\ge 0\iff x\ge 2$. Phương trình $x-\sqrt{2x-4}=2\iff \sqrt{2x-4}=x-2$ (cần $x\ge 2$, thỏa mãn điều kiện). Bình phương: $2x-4=(x-2{)}^2\iff x^2-6x+8=0\iff x=2$ hoặc $x=4$. Thử lại: $x=2$: $2-0=2$ ✓; $x=4$: $4-2=2$ ✓. Tổng các nghiệm $=2+4=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các vế đều không âm): $3x^2+6x+3=2x^2-5x+3\iff x^2+11x=0\iff x=0$ hoặc $x=-11$. Thử lại: với $x=0$, hai vế đều bằng $\sqrt{3}$, thỏa mãn. Vậy một nghiệm là $x=0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+2\ge 0\iff x\ge -2$. Bình phương hai vế: $x^2-x+3=(x+2{)}^2=x^2+4x+4\Rightarrow -5x=1\Rightarrow x=-\frac{1}{5}$. Thử lại: $x=-\frac{1}{5}\ge -2$ thỏa mãn, và $\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{5}+3}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}=x+2$. Vậy $S=\left\{-\frac{1}{5}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-4x-2\ge 0$ và $x^2-x-2\ge 0$. Bình phương hai vế: $2x^2-4x-2=x^2-x-2\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thử: với $x=0$, vế trái $\sqrt{-2}$ không xác định (loại); với $x=3$: $\sqrt{18-12-2}=\sqrt{4}=2$ và $\sqrt{9-3-2}=\sqrt{4}=2$, thỏa mãn. Vậy tập nghiệm $S=\{3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x+2\ge 0\iff x\ge -\frac{2}{3}$. Bình phương hai vế: $3x^2-4x+4=9x^2+12x+4\iff 6x^2+16x=0\iff 2x(3x+8)=0\iff x=0$ hoặc $x=-\frac{8}{3}$. Vì $x\ge -\frac{2}{3}$ nên chỉ nhận $x=0$. Thử lại: $\sqrt{4}=2=3\cdot 0+2$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm $S=\{0\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-2x-1\ge 0$ và $-x^2+2x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Thử lại: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $\sqrt{2x^2+x+3}=\sqrt{x^2-4x+3}$ (1).

a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện xác định (xem c): cả hai giá trị đều thỏa mãn nên $S=\{-5;0\}\ne \{0;2\}$ → Sai.

b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$ → Đúng.

c) Điều kiện xác định: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (vì $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$ do $\Delta <0$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.

d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (4a: S, 4b: D, 4c: S, 4d: D).
a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định nên tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$ → Sai.
b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=(-5{)}^2+0^2-3\cdot (-5)\cdot 0=25$ → Đúng.
c) Điều kiện xác định là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (với $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.
d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x+3\ge 0$: cả hai giá trị thỏa mãn. Vậy $S=\{-5;0\}$, với $x_1=-5,x_2=0$ thì $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$. a) Đúng: phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$. b) Sai: ĐKXĐ là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$, không phải $1\le x\le 3$. c) Đúng: $P=25$. d) Sai: tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai. ĐKXĐ: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (lưu ý $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$). Không phải $1\le x\le 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Bình phương hai vế: $x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$, đều thỏa ĐKXĐ. Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=25+0-0=25$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+4\ge 0$ và $10-5x\ge 0$, tức $-2\le x\le 2$. Bình phương hai vế: $-x^2+4=10-5x\iff x^2-5x+6=0\iff x=2$ hoặc $x=3$. Thử lại: $x=3$ làm $-x^2+4=-5<0$ (loại); $x=2$ thỏa mãn vì $\sqrt{0}=\sqrt{0}$. Vậy $x=2$, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+1\ge 0$ và $4-4x\ge 0$ (tức $x\le 1$). Bình phương hai vế: $-x^2+1=4-4x\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Thử lại: với $x=3$ thì $-x^2+1=-8<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $0$, thỏa mãn. Vậy $x=1$, đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+x-1=3x^2-2x\iff 2x^2-3x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Kiểm tra điều kiện: với $x=\frac{1}{2}$ thì $x^2+x-1=-\frac{1}{4}<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $1$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm $x=1\in \left(\frac{1}{2};3\right)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức dưới dấu căn cùng không âm): $4x^2-2x-1=-2x^2+2x+1\iff 6x^2-4x-2=0\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Thử $x=1$: $\sqrt{4-2-1}=1=\sqrt{-2+2+1}$, thỏa mãn. Thử $x=-\frac{1}{3}$: $4\cdot \frac{1}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}>0$ nhưng $-2\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$... kiểm tra lại: $-2x^2+2x+1=-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$, còn $4x^2-2x-1=\frac{4}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}$. Cả hai đều bằng $\frac{1}{9}>0$, vậy $x=-\frac{1}{3}$ thỏa mãn. Tập nghiệm $S=\left\{-\frac{1}{3};1\right\}$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $1-x\ge 0\iff x\le 1$ (biểu thức $-x^2+x+4$ luôn dương vì $-x^2+x+4>0$ với $x\in (-1;3)$... thực tế chỉ cần $-x^2+x+4\ge 0$). Bình phương hai vế: $-x^2+x+4=1-x\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Thử điều kiện $x\le 1$: chỉ $x=-1$ thỏa mãn (với $x=3$, $1-x=-2<0$ loại). Vậy tập nghiệm $S=\{-1\}$ có 1 phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $7x^2+16x-15\ge 0$ và $x+3\ge 0$ tức $x\ge -3$. Bình phương hai vế: $7x^2+16x-15=x^2+6x+9\iff 6x^2+10x-24=0\iff 3x^2+5x-12=0\iff (3x-4)(x+3)=0$, nên $x=\frac{4}{3}$ hoặc $x=-3$. Thử lại: với $x=-3$, vế trái $\sqrt{63-48-15}=0=x+3$ (thỏa); với $x=\frac{4}{3}$, vế trái $\sqrt{\frac{169}{9}}=\frac{13}{3}=x+3$ (thỏa). Vậy phương trình có 2 nghiệm thực, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29a: Điều kiện: 2x−1≥0 ⟺ x≥1/2. Bình phương hai vế: 2x²−5x+4=(2x−1)²=4x²−4x+1 ⟺ 2x²+x−3=0 ⟺ (x−1)(2x+3)=0 ⟺ x=1 hoặc x=−3/2. Vì x≥1/2 nên chỉ nhận x=1. Vậy tập nghiệm S={1}. Thử lại: √(2−5+4)=1=2·1−1 đúng.

Câu 29b: f(x)=x²−2mx+6m−8 luôn dương với mọi x thực khi và chỉ khi hệ số a=1>0 và Δ<0. Δ'=(−m)²−(6m−8)=m²−6m+8=(m−2)(m−4)<0 ⟺ 2<m<4. Vậy điều kiện của m là 2<m<4.