Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $(x+1)(x-2)\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 2$. Đặt $t=\sqrt{(x+1)(x-2)}=\sqrt{x^2-x-2}\ge 0$, khi đó $x^2-x=t^2+2$. Phương trình trở thành $2(t^2+2)+t=25\iff 2t^2+t-21=0\iff t=3$ (nhận, vì $t\ge 0$; $t=-\frac{7}{2}$ loại). Suy ra $x^2-x-2=9\iff x^2-x-11=0\iff x=\frac{1\pm 3\sqrt{5}}{2}$. Cả hai nghiệm thỏa điều kiện ($\frac{1+3\sqrt{5}}{2}\approx 3,85\ge 2$ và $\frac{1-3\sqrt{5}}{2}\approx -2,85\le -1$). Tổng các nghiệm bằng $\frac{1+3\sqrt{5}}{2}+\frac{1-3\sqrt{5}}{2}=1$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$. Đặt $a=\sqrt{x+2}$, $b=\sqrt{2x-1}$ thì $b^2-a^2=(2x-1)-(x+2)=x-3$. Phương trình trở thành $(x-2+a)(b-a)=(b-a)(b+a)$, tức là $(b-a)(x-2+a-b-a)=0\iff (b-a)(x-2-b)=0$.
Trường hợp 1: $b=a\Rightarrow 2x-1=x+2\Rightarrow x=3$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: $b=x-2\Rightarrow x\ge 2$; bình phương: $2x-1=(x-2{)}^2\iff x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1$ (loại vì $x-2<0$) hoặc $x=5$ (thỏa: $\sqrt{9}=3$).
Vậy $S=\{3;5\}$, tổng các phần tử là $3+5=8$.

a) Giải bất phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8\le 0$.
Điều kiện: $-\frac{1}{3}\le x\le 6$. Sử dụng phương pháp liên hợp với nghiệm $x=5$:
$$\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)\le 0$$
$$\iff (x-5)\left[\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right]\le 0$$
Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\in \left[-\frac{1}{3};6\right]$, ta có: $x-5\le 0\iff x\le 5$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $S=\left[-\frac{1}{3};5\right]$.

b) Bài toán quy hoạch tuyến tính (Tối ưu chi phí thực phẩm).
Gọi $x,y$ lần lượt là số hộ thực phẩm loại $X$ và loại $Y$ cần mua $(x,y\ge 0)$.
Hệ điều kiện về các đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& \text{(Chaˆˊt A)}\\ 2x+9y\ge 27& \text{(Chaˆˊt B)}\\ 2x+3y\ge 20& \text{(Chaˆˊt C)}\end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

i. Thiết lập hệ bất phương trình và Hàm mục tiêu. Hệ điều kiện về đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& (d_1)\\ 2x+9y\ge 27& (d_2)\\ 2x+3y\ge 20& (d_3)\\ x,y\in \mathbb{N}& \end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

ii. Xác định các điểm cực biên của miền nghiệm. Xét các giao điểm của các đường biên để xác định hình dạng miền nghiệm khả thi:

• Giao điểm của $d_1$ và $d_3$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+y=11\\ 2x+3y=20\end{array}\Rightarrow A(3,25;4,5).$$

• Giao điểm của $d_3$ and $d_2$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+3y=20\\ 2x+9y=27\end{array}\Rightarrow B(8,25;1,16).$$

Chú ý: Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ tại $(4,5;2)$ không thỏa mãn điều kiện $(d_3)$ nên không thuộc miền nghiệm.

iii. Kiểm tra các điểm nguyên lân cận. Vì $x,y$ là các số nguyên, ta kiểm tra các tọa độ nguyên nằm trong miền nghiệm gần các đỉnh $A$ và $B$:



iv. Kết luận. Giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí là 1.800.000 đồng. Phương án tối ưu là mua 4 hộp thực phẩm loại X và 4 hộp thực phẩm loại Y.

(AI giải đề cho tôi)
Thử $x=1$: vế trái $3-1-2-(2-2)\sqrt{4}=0$, thỏa. Thử $x=0$: $-2-(-2)\sqrt{1}=-2+2=0$, thỏa. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=0,x_2=1$, nên $T=x_1+x_2=1$. Kiểm tra lại: với $x=0$ và $x=1$ biểu thức dưới căn đều dương, hai nghiệm hợp lệ. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), với $0\le x\le 8$ (M nằm giữa B và C trên bờ biển), khi đó $MC=8-x$. Đường chèo thuyền từ A đến M có độ dài $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{25+x^2}$.

Thời gian đi từ A đến C gồm thời gian chèo thuyền cộng thời gian đi bộ bằng 2 giờ:
$$\frac{\sqrt{25+x^2}}{7}+\frac{8-x}{5}=2.$$

Nhân hai vế với 35:
$$5\sqrt{25+x^2}+7(8-x)=70\Rightarrow 5\sqrt{25+x^2}=14+7x.$$

Bình phương hai vế (vế phải dương nên hợp lệ):
$$25(25+x^2)=(14+7x{)}^2\Rightarrow 625+25x^2=196+196x+49x^2$$
$$\Rightarrow 24x^2+196x-429=0.$$

Giải: $x=\frac{-196+\sqrt{196^2+4\cdot 24\cdot 429}}{48}=\frac{-196+\sqrt{79600}}{48}\approx \frac{86.13}{48}\approx 1.794$ (nghiệm âm bị loại).

Thử lại: $AM=\sqrt{25+1.794^2}\approx 5.312$, thời gian $=5.312/7+6.206/5\approx 0.759+1.241=2$ giờ ✓.

Vậy $BM\approx 1.8$ km (làm tròn đến phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4-x^2\ge 0\iff x\in [-2;2]$. Phương trình: $(x-3)\sqrt{4-x^2}=(x-1)(x-3)$. Với $x\in [-2;2]$ ta có $x-3<0$ nên chia hai vế cho $(x-3)\ne 0$, được $\sqrt{4-x^2}=x-1$. Điều kiện $x\ge 1$, kết hợp $x\in [-2;2]$ cho $x\in [1;2]$. Bình phương hai vế: $4-x^2=x^2-2x+1\iff 2x^2-2x-3=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{7}}{2}$. Do $x\in [1;2]$ nên chỉ nhận $x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$ (thỏa mãn $x-1\ge 0$). Thử lại: $4-x^2=2-\frac{\sqrt{7}}{2}$, $\sqrt{4-x^2}=\frac{\sqrt{7}-1}{2}=x-1$ ✓. Vậy $S=\left\{\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: a) Phương trình √f(x)=g(x) yêu cầu x−2≥0 tức x≥2. Bình phương: 2x²−4x+1=(x−2)²=x²−4x+4 ⟺ x²=3 ⟺ x=±√3, không giá trị nào thỏa x≥2, nên phương trình vô nghiệm — mệnh đề SAI. b) f(x)=2x²−4x+1 có Δ=16−8=8>0 nên f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x=(4±2√2)/4=1±(√2)/2, tại đó f(x)=0 không >0; tập nghiệm của f(x)>0 là (−∞;1−√2/2)∪(1+√2/2;+∞) ≠ ℝ — mệnh đề SAI. c) g(x)=x−2 có hệ số góc 1>0 nên đồng biến trên ℝ — mệnh đề ĐÚNG. d) Đỉnh parabol: x=−b/(2a)=4/4=1, y=f(1)=2−4+1=−1, nên I(1;−1) — mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện x−2≥0 (x≥2). Bình phương hai vế: 2x²−4x+1=x²−4x+4 ⟺ x²=3 ⟺ x=±√3, đều không thỏa x≥2. Phương trình vô nghiệm, nên khẳng định 'có hai nghiệm phân biệt' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ=(−4)²−4·2·1=8>0 nên f(x)=0 có hai nghiệm x=1±√2/2 và f(x)<0 trên khoảng giữa hai nghiệm. Tập nghiệm của f(x)>0 là (−∞;1−√2/2)∪(1+√2/2;+∞), không phải ℝ.
c) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=x−2 là hàm bậc nhất với hệ số góc a=1>0 nên đồng biến trên ℝ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh x=−b/(2a)=4/4=1; tung độ đỉnh y=f(1)=2−4+1=−1. Vậy đỉnh là I(1;−1), mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $17-x^2\ge 0\iff -\sqrt{17}\le x\le \sqrt{17}$ (với $\sqrt{17}\approx 4,12$). Phương trình viết lại: $(x^2-6x)\left(\sqrt{17-x^2}-1\right)=0$. Trường hợp 1: $x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=6$; do $6>\sqrt{17}$ nên loại, nhận $x=0$. Trường hợp 2: $\sqrt{17-x^2}=1\iff 17-x^2=1\iff x^2=16\iff x=\pm 4$, cả hai đều thỏa điều kiện. Vậy có 3 nghiệm thực phân biệt: $x\in \{-4;0;4\}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3x^2+5x-13}=x+1$. Điều kiện xác định đầy đủ là $3x^2+5x-13\ge 0$ VÀ $x+1\ge 0$, nên mệnh đề a (chỉ nêu một phần điều kiện) là sai. Bình phương hai vế đúng phải là $3x^2+5x-13=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$, không phải $x^2+1^2$, nên b sai. Khi đó $2x^2+3x-14=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-\frac{7}{2}$. Kết hợp điều kiện $x\ge -1$ chỉ giữ $x=2$, vậy phương trình có đúng 1 nghiệm (c đúng). Tổng bình phương các nghiệm bằng $2^2=4\ne \frac{65}{4}$, nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định phải bao gồm cả $3x^2+5x-13\ge 0$ và $x+1\ge 0$ (biểu thức dưới căn không âm và vế phải không âm). Mệnh đề chỉ nêu một phần nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế ta được $3x^2+5x-13=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$, không phải $x^2+1^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi bình phương: $2x^2+3x-14=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-\frac{7}{2}$. Với điều kiện $x\ge -1$, chỉ $x=2$ thỏa mãn, nên phương trình có 1 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$, tổng bình các nghiệm bằng $2^2=4\ne \frac{65}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2x^2+x+3}=-x-5$ có điều kiện $-x-5\ge 0\iff x\le -5$. Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2+10x+25\iff x^2-9x-22=0\iff x=11$ hoặc $x=-2$. Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn $x\le -5$ (kiểm tra: với $x=11$ thì vế phải $=-16<0$; với $x=-2$ thì vế phải $=-3<0$), nên phương trình vô nghiệm. Do đó tổng bình phương các nghiệm (tổng trên tập nghiệm rỗng) bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), $0\le x\le 15$. Khi đó $MC=15-x$ và $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{36+x^2}$ (Pythagore, vì $AB\perp BC$).

Thời gian đi từ $A$ đến $C$ gồm: đi xuồng $A\to M$ với vận tốc $10$ km/h và đi xe $M\to C$ với vận tốc $30$ km/h, tổng thời gian là $1$h$14^{\prime }$ $=\frac{74}{60}=\frac{37}{30}$ giờ.

Phương trình thời gian:
$$\frac{\sqrt{36+x^2}}{10}+\frac{15-x}{30}=\frac{37}{30}$$

Nhân hai vế với $30$:
$$3\sqrt{36+x^2}+15-x=37\Rightarrow 3\sqrt{36+x^2}=22+x$$

Bình phương hai vế (vế phải dương nên hợp lệ):
$$9(36+x^2)=(22+x{)}^2\Rightarrow 324+9x^2=484+44x+x^2$$
$$8x^2-44x-160=0\Rightarrow 2x^2-11x-40=0$$

Giải: $x=\frac{11\pm \sqrt{121+320}}{4}=\frac{11\pm 21}{4}$, chọn nghiệm dương $x=8$ (thỏa $0\le x\le 15$).

Vậy $BM=8$ km, $AM=\sqrt{36+64}=10$ km, $MC=15-8=7$ km.

Kiểm tra thời gian: $\frac{10}{10}+\frac{7}{30}=1+\frac{7}{30}=\frac{37}{30}$ giờ $=1$h$14^{\prime }$ ✓

Tổng quãng đường phải đi là $AM+MC=10+7=17$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-16\ge 0\iff x\le -4$ hoặc $x\ge 4$. Với $x\ge 4$ thì $x-3>0$ nên $(x-3)\sqrt{x^2-16}\ge 0$ luôn đúng. Với $x\le -4$ thì $x-3<0$ và $\sqrt{x^2-16}\ge 0$, tích $\le 0$, chỉ bằng $0$ khi $x=-4$. Vậy tập nghiệm là $\{-4\}\cup [4;+\infty )$. Các nghiệm nguyên thuộc $[-30;50]$: $x=-4$ và $x\in \{4,5,\dots ,50\}$. Tổng: $-4+\frac{(4+50)\cdot 47}{2}=-4+1269=1265$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km, với $0\le x\le 7$). Khi đó $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+x^2}$ và $MC=7-x$.

Thời gian đi từ $A$ đến $C$ qua $M$ là:
$$t=\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{148}{60}=\frac{37}{15}\text{ (giờ)}$$

Nhân hai vế với 15:
$$5\sqrt{16+x^2}+3(7-x)=37\Rightarrow 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$$

Bình phương hai vế (vế phải dương nên hợp lệ):
$$25(16+x^2)=(16+3x{)}^2=256+96x+9x^2$$
$$\Rightarrow 16x^2-96x+144=0\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$$

Thử lại: $AM=\sqrt{16+9}=5$ km, thời gian chèo thuyền $=5/3$ h, đi bộ $=4/5$ h, tổng $=5/3+4/5=37/15$ h $=148$ phút. Thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ $B$ đến $M$ là $BM=3$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), $0\le x\le 7$. Khi đó $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+x^2}$ và $MC=7-x$. Tổng thời gian đi từ $A$ đến $C$ là $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{148}{60}=\frac{37}{15}$ (giờ). Nhân hai vế với 15: $5\sqrt{16+x^2}+3(7-x)=37\Rightarrow 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$. Bình phương hai vế (điều kiện $16+3x>0$ luôn đúng vì $x\ge 0$): $25(16+x^2)=256+96x+9x^2\Rightarrow 16x^2-96x+144=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$. Thử lại: $\frac{\sqrt{16+9}}{3}+\frac{4}{5}=\frac{5}{3}+\frac{4}{5}=\frac{37}{15}$ giờ $=148$ phút, thỏa mãn. Vậy $BM=3$ km, khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ với $AC=5$, $AB=x$ nên $BC=5-x$ (a đúng). Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ có $BC=5-x$, $CD=2$ nên $BD=\sqrt{(5-x{)}^2+4}=\sqrt{x^2-10x+29}$, chi phí dưới biển là $5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (b đúng). Chi phí trên đất liền là $3000x$, nên tổng chi phí $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$ (c đúng). Giải: $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$. Thử $x=3,5$: $\sqrt{(-1,5{)}^2+4}=\sqrt{6,25}=2,5$, khi đó $3(3,5)+5(2,5)=10,5+12,5=23$ thỏa mãn. Giải chính xác: đặt $t=5-x>0$, phương trình $3(5-t)+5\sqrt{t^2+4}=23\Rightarrow 5\sqrt{t^2+4}=8+3t\Rightarrow 25t^2+100=64+48t+9t^2\Rightarrow 16t^2-48t+36=0\Rightarrow 4t^2-12t+9=0\Rightarrow (2t-3{)}^2=0\Rightarrow t=1,5$, vậy $x=3,5$ (d đúng). Khớp với đáp án nguồn (Câu 7, Mã 1101: a Đ, b Đ, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $AC=5$, $AB=x$ nên $BC=AC-AB=5-x$ (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $BCD$ vuông tại $C$: $BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{(5-x{)}^2+2^2}=\sqrt{x^2-10x+29}$. Chi phí ngầm dưới biển $=5000\cdot BD=5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí trên đất liền $3000x$, dưới biển $5000\sqrt{x^2-10x+29}$, tổng bằng 23000 nên $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$: đặt $t=5-x$, được $5\sqrt{t^2+4}=8+3t\Rightarrow 4t^2-12t+9=0\Rightarrow t=1,5$, nên $x=3,5$ km (thỏa $0<x<5$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), $0\le x\le 15$, khi đó $MC=15-x$ (km). Theo định lý Pythagoras: $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{36+x^2}$ (km).

Thời gian đi từ $A$ đến $M$ (xuồng máy, $20km/h$) là $\frac{\sqrt{36+x^2}}{20}$ (giờ); thời gian đi từ $M$ đến $C$ (xe máy, $60km/h$) là $\frac{15-x}{60}$ (giờ).

Theo đề, tổng thời gian là $37$ phút $=\frac{37}{60}$ giờ, nên:
$$\frac{\sqrt{36+x^2}}{20}+\frac{15-x}{60}=\frac{37}{60}.$$

Nhân hai vế với $60$:
$$3\sqrt{36+x^2}+15-x=37⟺3\sqrt{36+x^2}=22+x.$$

Bình phương hai vế (với điều kiện $22+x\ge 0$, thỏa mãn vì $x\ge 0$):
$$9(36+x^2)=(22+x{)}^2⟺324+9x^2=484+44x+x^2$$
$$⟺8x^2-44x-160=0⟺2x^2-11x-40=0.$$

Giải phương trình: $x=\frac{11\pm \sqrt{121+320}}{4}=\frac{11\pm 21}{4}$, nên $x=8$ hoặc $x=-\frac{5}{2}$ (loại vì $x\ge 0$).

Thử lại: $3\sqrt{36+64}=3\cdot 10=30=22+8$ ✓.

Vậy $BM=8km$, $AM=\sqrt{36+64}=10km$, $MC=15-8=7km$.

Tổng quãng đường phải đi là:
$$AM+MC=10+7=17(km).$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $MH=x$ (km), với $0\le x\le 10$. Khi đó độ dài đường ống dưới biển là $AM=\sqrt{A{H}^2+M{H}^2}=\sqrt{9+x^2}$, và độ dài đường ống trên bờ là $MB=10-x$.

Tổng chi phí: $f(x)=5\sqrt{9+x^2}+3(10-x)=5\sqrt{9+x^2}-3x+30$.

Yêu cầu $f(x)=50$:
$$5\sqrt{9+x^2}-3x+30=50\Rightarrow 5\sqrt{9+x^2}=20+3x.$$

Vì $20+3x>0$ nên bình phương hai vế:
$$25(9+x^2)=(20+3x{)}^2=400+120x+9x^2$$
$$\Rightarrow 225+25x^2=400+120x+9x^2\Rightarrow 16x^2-120x-175=0.$$

Giải phương trình: $\Delta =120^2+4\cdot 16\cdot 175=14400+11200=25600$, $\sqrt{\Delta }=160$.
$$x=\frac{120\pm 160}{32}\Rightarrow x=\frac{280}{32}=8,75\text{hoặc}x=-\frac{40}{32}=-1,25(\text{loại}).$$

Vì $x=8,75\in [0;10]$ thỏa mãn. Thử lại: $AM=\sqrt{9+8,75^2}=\sqrt{85,5625}=9,25$ km, chi phí $=5\cdot 9,25+3\cdot 1,25=46,25+3,75=50$ tỷ đồng. Đúng.

Vậy điểm $M$ cách $H$ một khoảng $8,75$ km (khi đó $MB=1,25$ km).

Gọi khoảng cách từ $H$ đến điểm nối $M$ là $x$ (km). Điều kiện: $0\le x\le 15$.
Độ dài đoạn ống đi dọc quốc lộ là $MB=15-x$ (km).
Áp dụng định lý Pythagore trong $\Delta$ AHM, độ dài đoạn ống đi qua cánh đồng là: $$AM=\sqrt{A{H}^2+H{M}^2}=\sqrt{5^2+x^2}=\sqrt{x^2+25}(\text{km})$$ => Chi phí lắp ống qua cánh đồng là: $200\sqrt{x^2+25}$ (triệu đồng). Chi phí lắp ống dọc quốc lộ là: $100(15-x)$ (triệu đồng).
Tổng ngân sách là 2900 triệu đồng, ta có phương trình: $200\sqrt{x^2+25}+100(15-x)=2900$
$$\iff 2\sqrt{x^2+25}+15-x=29\iff 2\sqrt{x^2+25}=x+14$$
$$\iff {\left(2\sqrt{x^2+25}\right)}^2=(x+14{)}^2(\text{vıˋ }x\ge 0\text{ neˆn cả 2 veˆˊ}>0)$$
$$\iff 4(x^2+25)=x^2+28x+196\iff 4x^2+100=x^2+28x+196$$
$$\iff 3x^2-28x-96=0\iff \{\begin{array}{l}x=12\\ x=-\frac{8}{3}\end{array}$$
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm $x=12$.
Vậy điểm nối ống $M$ cần đặt cách điểm $H$ là 12 km.

Lưu ý: Các cách giải khác đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm theo các bước tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-3\ge 0\iff x\ge 3$. Bình phương hai vế: $3x^2-13x+14=(x-3{)}^2=x^2-6x+9\iff 2x^2-7x+5=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{5}{2}$. Cả hai nghiệm đều nhỏ hơn 3 nên không thỏa điều kiện. Vậy $S=\varnothing$, khớp với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-6x-5\ge 0$ và $x+2\ge 0$ tức $x\ge -2$. Bình phương hai vế: $2x^2-6x-5=(x+2{)}^2=x^2+4x+4$, suy ra $x^2-10x-9=0$. Hai nghiệm $x=5\pm \sqrt{34}$, tổng theo Vi-ét bằng $10$. Kiểm tra điều kiện: $5-\sqrt{34}\approx -0,83\ge -2$ và $5+\sqrt{34}\approx 10,83\ge -2$, cả hai đều thỏa (thay lại vào phương trình gốc đều đúng). Vậy tổng các nghiệm bằng $10$, khớp với đáp án nguồn.