Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+4\ge 0$ và $10-5x\ge 0$, tức $-2\le x\le 2$. Bình phương hai vế: $-x^2+4=10-5x\iff x^2-5x+6=0\iff x=2$ hoặc $x=3$. Thử lại: $x=3$ làm $-x^2+4=-5<0$ (loại); $x=2$ thỏa mãn vì $\sqrt{0}=\sqrt{0}$. Vậy $x=2$, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+1\ge 0$ và $4-4x\ge 0$ (tức $x\le 1$). Bình phương hai vế: $-x^2+1=4-4x\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Thử lại: với $x=3$ thì $-x^2+1=-8<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $0$, thỏa mãn. Vậy $x=1$, đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+x-1=3x^2-2x\iff 2x^2-3x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Kiểm tra điều kiện: với $x=\frac{1}{2}$ thì $x^2+x-1=-\frac{1}{4}<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $1$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm $x=1\in \left(\frac{1}{2};3\right)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức dưới dấu căn cùng không âm): $4x^2-2x-1=-2x^2+2x+1\iff 6x^2-4x-2=0\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Thử $x=1$: $\sqrt{4-2-1}=1=\sqrt{-2+2+1}$, thỏa mãn. Thử $x=-\frac{1}{3}$: $4\cdot \frac{1}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}>0$ nhưng $-2\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$... kiểm tra lại: $-2x^2+2x+1=-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$, còn $4x^2-2x-1=\frac{4}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}$. Cả hai đều bằng $\frac{1}{9}>0$, vậy $x=-\frac{1}{3}$ thỏa mãn. Tập nghiệm $S=\left\{-\frac{1}{3};1\right\}$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $1-x\ge 0\iff x\le 1$ (biểu thức $-x^2+x+4$ luôn dương vì $-x^2+x+4>0$ với $x\in (-1;3)$... thực tế chỉ cần $-x^2+x+4\ge 0$). Bình phương hai vế: $-x^2+x+4=1-x\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Thử điều kiện $x\le 1$: chỉ $x=-1$ thỏa mãn (với $x=3$, $1-x=-2<0$ loại). Vậy tập nghiệm $S=\{-1\}$ có 1 phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $7x^2+16x-15\ge 0$ và $x+3\ge 0$ tức $x\ge -3$. Bình phương hai vế: $7x^2+16x-15=x^2+6x+9\iff 6x^2+10x-24=0\iff 3x^2+5x-12=0\iff (3x-4)(x+3)=0$, nên $x=\frac{4}{3}$ hoặc $x=-3$. Thử lại: với $x=-3$, vế trái $\sqrt{63-48-15}=0=x+3$ (thỏa); với $x=\frac{4}{3}$, vế trái $\sqrt{\frac{169}{9}}=\frac{13}{3}=x+3$ (thỏa). Vậy phương trình có 2 nghiệm thực, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thử $x=1$: vế trái $3-1-2-(2-2)\sqrt{4}=0$, thỏa. Thử $x=0$: $-2-(-2)\sqrt{1}=-2+2=0$, thỏa. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=0,x_2=1$, nên $T=x_1+x_2=1$. Kiểm tra lại: với $x=0$ và $x=1$ biểu thức dưới căn đều dương, hai nghiệm hợp lệ. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29a: Điều kiện: 2x−1≥0 ⟺ x≥1/2. Bình phương hai vế: 2x²−5x+4=(2x−1)²=4x²−4x+1 ⟺ 2x²+x−3=0 ⟺ (x−1)(2x+3)=0 ⟺ x=1 hoặc x=−3/2. Vì x≥1/2 nên chỉ nhận x=1. Vậy tập nghiệm S={1}. Thử lại: √(2−5+4)=1=2·1−1 đúng.

Câu 29b: f(x)=x²−2mx+6m−8 luôn dương với mọi x thực khi và chỉ khi hệ số a=1>0 và Δ<0. Δ'=(−m)²−(6m−8)=m²−6m+8=(m−2)(m−4)<0 ⟺ 2<m<4. Vậy điều kiện của m là 2<m<4.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x-3\ge 0\iff x\ge \frac{3}{4}$ và $2-x\ge 0\iff x\le 2$, nên $\frac{3}{4}\le x\le 2$. Bình phương hai vế: $4x-3=(2-x{)}^2=x^2-4x+4\iff x^2-8x+7=0\iff x=1$ hoặc $x=7$. Vì $x=7$ không thỏa điều kiện $x\le 2$ (thử lại: $\sqrt{25}=5\ne -5$), loại. Với $x=1$: $\sqrt{1}=1=2-1$, thỏa. Vậy $S=\{1\}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+2x+4=2-x\iff x^2+3x+2=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thử $x=2$ vào từng phương trình:
- A: $2+2=4$ còn $\sqrt{2-1}=1$, sai.
- B: $2-1=1$ còn $\sqrt{2-3}=\sqrt{-1}$ không xác định, sai.
- C: $\sqrt{4-2-4}=\sqrt{-2}$ không xác định, sai.
- D: $2+2=4$ và $2\sqrt{3\cdot 2-2}=2\sqrt{4}=4$, thỏa mãn.
Vậy $x=2$ là nghiệm của phương trình ở đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), với $0\le x\le 8$ (M nằm giữa B và C trên bờ biển), khi đó $MC=8-x$. Đường chèo thuyền từ A đến M có độ dài $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{25+x^2}$.

Thời gian đi từ A đến C gồm thời gian chèo thuyền cộng thời gian đi bộ bằng 2 giờ:
$$\frac{\sqrt{25+x^2}}{7}+\frac{8-x}{5}=2.$$

Nhân hai vế với 35:
$$5\sqrt{25+x^2}+7(8-x)=70\Rightarrow 5\sqrt{25+x^2}=14+7x.$$

Bình phương hai vế (vế phải dương nên hợp lệ):
$$25(25+x^2)=(14+7x{)}^2\Rightarrow 625+25x^2=196+196x+49x^2$$
$$\Rightarrow 24x^2+196x-429=0.$$

Giải: $x=\frac{-196+\sqrt{196^2+4\cdot 24\cdot 429}}{48}=\frac{-196+\sqrt{79600}}{48}\approx \frac{86.13}{48}\approx 1.794$ (nghiệm âm bị loại).

Thử lại: $AM=\sqrt{25+1.794^2}\approx 5.312$, thời gian $=5.312/7+6.206/5\approx 0.759+1.241=2$ giờ ✓.

Vậy $BM\approx 1.8$ km (làm tròn đến phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4-x^2\ge 0\iff x\in [-2;2]$. Phương trình: $(x-3)\sqrt{4-x^2}=(x-1)(x-3)$. Với $x\in [-2;2]$ ta có $x-3<0$ nên chia hai vế cho $(x-3)\ne 0$, được $\sqrt{4-x^2}=x-1$. Điều kiện $x\ge 1$, kết hợp $x\in [-2;2]$ cho $x\in [1;2]$. Bình phương hai vế: $4-x^2=x^2-2x+1\iff 2x^2-2x-3=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{7}}{2}$. Do $x\in [1;2]$ nên chỉ nhận $x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$ (thỏa mãn $x-1\ge 0$). Thử lại: $4-x^2=2-\frac{\sqrt{7}}{2}$, $\sqrt{4-x^2}=\frac{\sqrt{7}-1}{2}=x-1$ ✓. Vậy $S=\left\{\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+9=9\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$. Thử lại: $\sqrt{0+9}=3$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{1-x^2}$ có điều kiện $x^2-7\ge 0$ và $1-x^2\ge 0$, tức $x^2\ge 7$ và $x^2\le 1$, mâu thuẫn nên không có giá trị $x$ nào thỏa mãn. Bình phương hai vế: $x^2-7=1-x^2\iff 2x^2=8\iff x^2=4$, nhưng khi đó $x^2-7=-3<0$ (không thỏa điều kiện). Vậy phương trình vô nghiệm, số nghiệm là 0.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+2\ge 0\iff x\ge -2$. Bình phương hai vế: $2x^2+3x+2=(x+2{)}^2=x^2+4x+4\iff x^2-x-2=0\iff (x-2)(x+1)=0\iff x=2$ hoặc $x=-1$. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn $x\ge -2$. Thử lại: với $x=2$, $\sqrt{2(4)+3(2)+2}=\sqrt{16}=4=x+2$ ✓; với $x=-1$, $\sqrt{2-3+2}=\sqrt{1}=1=x+2$ ✓. Vậy tập nghiệm $S=\{-1;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$. Điều kiện: $3x^2-4x-1\ge 0$ và $2x^2-4x+3\ge 0$. Vì $2x^2-4x+3=2(x-1{)}^2+1>0$ với mọi $x$, chỉ cần $3x^2-4x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $3x^2-4x-1=2x^2-4x+3\iff x^2=4\iff x=\pm 2$. Kiểm tra: với $x=2$: $3\cdot 4-8-1=3\ge 0$ thỏa; với $x=-2$: $3\cdot 4+8-1=19\ge 0$ thỏa. Vậy tập nghiệm $S=\{-2;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3-x\ge 0\iff x\le 3$ (khi đó $x^2-8x+13=(3-x)\ge 0$ cũng tự thỏa). Bình phương hai vế: $x^2-8x+13=3-x\iff x^2-7x+10=0\iff (x-2)(x-5)=0\iff x=2$ hoặc $x=5$. So với điều kiện $x\le 3$: chỉ nhận $x=2$. Thử lại: $x=2$ thì $\sqrt{4-16+13}=\sqrt{1}=1$ và $\sqrt{3-2}=1$, thỏa mãn. Vậy $x=2$.