Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P\iff Q$ có thể phát biểu bằng bốn cách sau:

Cách 1 (dùng 'khi và chỉ khi'): Tam giác $ABC$ cân khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau.

Cách 2 (dùng 'nếu ... thì ... và ngược lại'): Nếu tam giác $ABC$ cân thì tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau, và ngược lại.

Cách 3 (dùng 'tương đương'): Tam giác $ABC$ cân tương đương với tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau.

Cách 4 (phát biểu hai chiều $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$): Nếu tam giác $ABC$ cân thì tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau; nếu tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau thì tam giác $ABC$ cân.

Nhận xét: Hai mệnh đề $P$ và $Q$ thực sự tương đương. Thật vậy, nếu tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì $AB=AC$, hai đường cao hạ từ $B$ và $C$ xuống hai cạnh $AC$ và $AB$ bằng nhau do tam giác đối xứng qua phân giác $AI$. Ngược lại, nếu hai đường cao bằng nhau, chẳng hạn $h_b=h_c$, thì theo công thức đường cao $h_b=\frac{2S}{b}$, $h_c=\frac{2S}{c}$ nên $h_b=h_c\Rightarrow b=c$, tức tam giác $ABC$ cân tại $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P(x)$: $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=1$. a) $P(0)$ là mệnh đề $0^2=1$, tức $0=1$, sai; do đó khẳng định '$P(0)$ là mệnh đề SAI' là ĐÚNG. b) Vì $x=1\in \mathbb{Z}$ và $1^2=1$, nên $P(x)$ là mệnh đề ĐÚNG. c) Phát biểu bằng lời: 'có một số nguyên $x$ bình phương bằng 1' — đúng. d) Phủ định của mệnh đề tồn tại là: $\overline{P(x)}$: $\forall x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$, không phải $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$; do đó d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(0)$: $0^2=1$ là mệnh đề sai vì $0\ne 1$, nên khẳng định '$P(0)$ là mệnh đề SAI' đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x=1\in \mathbb{Z}$ thỏa $x^2=1$, nên $P(x)$ là mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=1$ phát biểu là 'có một số nguyên $x$ bình phương bằng 1'.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=1$ là $\forall x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$, không phải $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì với $x=0$ ta có $x^2=0$, không thỏa $x^2>0$. b) Sai: với $a=0$: $0>0$ sai; $a=1$: $1>1$ sai; $a\ge 2$: $a^2>a$ nên $a>a^2$ sai. Vậy không tồn tại $a\in \mathbb{N}$ thỏa. c) Đúng: chọn $a=0$ thì $a^2+a+2=2$ chia hết cho 2 (hoặc mọi $a$ đều thỏa vì $a^2+a=a(a+1)$ luôn chẵn). d) Đúng: chọn $a=0$ thì $a^2=0$ chia hết cho 5 và $a=0$ chia hết cho 5 (hoặc $a=5$ cũng thỏa).
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $x=0$ thì $x^2=0$, không thỏa $x^2>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai: $a=0$ cho $0>0$ sai; $a=1$ cho $1>1$ sai; $a\ge 2$ thì $a^2>a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $a=0$ thì $a^2+a+2=2$ chia hết cho 2; thực tế $a^2+a=a(a+1)$ luôn chẵn nên mọi $a\in \mathbb{N}$ đều thỏa.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: tồn tại $a=0$ (hoặc $a=5$) sao cho $a^2$ chia hết cho 5 và $a$ chia hết cho 5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $1+3=4$ chẵn nhưng cả hai số đều lẻ.
- B sai: $2\cdot 3=6$ chẵn nhưng chỉ một số chẵn.
- C sai: $1+3=4$ chẵn, không lẻ; hai số lẻ cho tổng chẵn.
- D đúng: tích hai số tự nhiên lẻ khi và chỉ khi cả hai thừa số đều lẻ (nếu có một thừa số chẵn thì tích chẵn; nếu cả hai lẻ thì tích lẻ).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: trong ba số liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có một số chia hết cho 3 (ví dụ $n=1$: $1\cdot 2\cdot 3=6$ chia hết cho 3), nên mệnh đề '$\forall n\in \mathbb{N},n(n+1)(n+2)$ không chia hết cho 3' là sai.
b) Đúng: chọn $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$, khi đó $a^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=a$, nên $\exists a\in \mathbb{Q},a>a^2$ đúng.
c) Sai: với $x=0\in \mathbb{R}$ ta có $x^2=0$ không lớn hơn 0, nên mệnh đề '$\forall x\in \mathbb{R},x^2>0$' sai.
d) Đúng: phương trình $x^2+3x+5=0$ có $\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0$ nên vô nghiệm.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (1a: S, 1b: D, 1c: S, 1d: D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3, ví dụ $n=1$ thì $1\cdot 2\cdot 3=6$ chia hết cho 3, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$ thì $a^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=a$, nên tồn tại $a$ thỏa mãn, mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$ thì $x^2=0\ngtr 0$, nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =9-20=-11<0$ nên phương trình $x^2+3x+5=0$ vô nghiệm, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì với $x=0$ ta có $0^2=0$, không thỏa $x^2>0$. b) Đúng, ví dụ $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$ thì $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}=a^2$. c) Sai vì trong ba số liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có một số chia hết cho 3, ví dụ $n=1$ thì $1\cdot 2\cdot 3=6$ chia hết cho 3. d) Đúng vì $\Delta =3^2-4\cdot 5=9-20=-11<0$ nên phương trình $x^2+3x+5=0$ vô nghiệm. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: 1a S, 1b D, 1c S, 1d D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai: với $x=0$ thì $x^2=0$, không thỏa mãn $x^2>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: chọn $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$, khi đó $a^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai: tích ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 3; ví dụ $n=1$ thì $1\cdot 2\cdot 3=6$ chia hết cho 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $\Delta =9-20=-11<0$ nên phương trình vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề tồn tại:
- A: $\exists n\in \mathbb{N},2n$ và $2n+2$ là các số nguyên tố. Với $n=0$: $2n=0$ không nguyên tố; với $n=1$: $2n=2$ nguyên tố nhưng $2n+2=4$ không nguyên tố; với $n\ge 1$ thì $2n$ chẵn và lớn hơn 2 nên không nguyên tố. Vậy mệnh đề A sai.
- B: đúng, ví dụ $n=0<3$ (hoặc $n=1,2$).
- C: đúng, ví dụ $n=3>2$.
- D: đúng, ví dụ $n=3$: $3$ và $5$ đều nguyên tố.
Mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 15: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. |2x-5|≤7 ⟺ -1≤x≤6, với x nguyên có 8 giá trị: x∈{-1,0,1,2,3,4,5,6}, không phải 7.
b) Sai. Phủ định của '∀x∈ℝ, x²+1≥0' là '∃x∈ℝ, x²+1<0', không phải đổi ∀ thành ∀.
c) Đúng. Đảo của 'Nếu P thì Q' là 'Nếu Q thì P', nên đảo của T đúng như phát biểu.
d) Sai. Δ=(-3)²-4·2·1=1>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x=1/2 và x=1, không vô nghiệm. Khớp đáp án mã đề 424: SSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
|2x-5|≤7 ⟺ -1≤x≤6, có 8 giá trị nguyên x∈{-1,0,1,2,3,4,5,6} nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề ∀ là ∃: Q̄: '∃x∈ℝ, x²+1<0', nên mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đảo của 'Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau' là 'Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chúng bằng nhau', đúng như phát biểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ=9-8=1>0, phương trình có hai nghiệm x=1/2 và x=1 nên không vô nghiệm; mệnh đề sai.

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 008: SSĐS)

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P$: "$\forall x\in \mathbb{R},x+(-x)=0$".

Xét tính đúng sai: Với mọi số thực $x$, số đối $-x$ luôn tồn tại và $x+(-x)=0$ luôn đúng (tính chất của số đối trong tập số thực). Vậy mệnh đề $P$ là mệnh đề ĐÚNG.

Mệnh đề phủ định: Phủ định của mệnh đề '$\forall x\in \mathbb{R}$' là '$\exists x\in \mathbb{R}$', và phủ định của kết luận '$x+(-x)=0$' là '$x+(-x)\ne 0$'. Do đó:
$$\overline{P}:\exists x\in \mathbb{R},x+(-x)\ne 0.$$

Mệnh đề $\overline{P}$ này là mệnh đề SAI vì không tồn tại số thực $x$ nào để $x+(-x)\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II), mã đề 101, đáp án DDSS khớp với bảng đáp án trang 7.
a) Đúng. Mệnh đề đảo của 'Nếu P thì Q' là 'Nếu Q thì P', nên đảo của 'Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau' là 'Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau'.
b) Đúng. Chọn $x=\frac{1}{2}$ thì $x^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=x$, nên mệnh đề $\exists x\in \mathbb{R}:x^2<x$ đúng.
c) Sai. Với $x=3$: $P(3):-3\cdot 9+3=-24>0$ là mệnh đề sai, nên khẳng định '$P(3)$ đúng' là sai.
d) Sai. Với $A=(-3;2]$ thì $C_{\mathbb{R}}A=(-\infty ;-3]\cup (2;+\infty )$, không phải $(2;+\infty )$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề đảo của 'Nếu P thì Q' là 'Nếu Q thì P', phát biểu trong đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ví dụ $x=\frac{1}{2}$: $x^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=x$, nên mệnh đề tồn tại này đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(3):-3(3{)}^2+3=-24>0$ là mệnh đề sai, nên khẳng định '$P(3)$ đúng' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_{\mathbb{R}}A=(-\infty ;-3]\cup (2;+\infty )$ với $A=(-3;2]$, không phải $(2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $x^2-1=0\iff (x-1)(x+1)=0\iff x=\pm 1$. Cả hai giá trị $x=1$ và $x=-1$ đều thuộc $\mathbb{Z}$, nên có 2 giá trị của $x$ làm mệnh đề đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 132: 2).

a) Mệnh đề phủ định: $\overline{P}$: "$\forall x\in \mathbb{N}\mid x^2+3x-4\ne 0$" (0,5 điểm).

b) $A\cup B=[-1;8)$ (0,5 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(x):-2x^2+x+1<0⟺2x^2-x-1>0⟺(2x+1)(x-1)>0⟺x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>1$. Thử các đáp án: với $x=3$: $-18+3+1=-14<0$ đúng; với $x=2$: $-8+2+1=-5<0$ đúng; với $x=\frac{5}{2}$: $-\frac{25}{2}+\frac{5}{2}+1=-7<0$ đúng; với $x=\frac{1}{2}$: $-2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=1>0$ nên $P\left(\frac{1}{2}\right)$ sai (vì $\frac{1}{2}$ thuộc khoảng $\left(-\frac{1}{2};1\right)$). Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì với n=2, n²+1=5 là số lẻ nhưng với n=1, n²+1=2 là số chẵn (thực chất n²+1 lẻ khi n chẵn, chẵn khi n lẻ), nên mệnh đề ∀n sai. B sai vì x=2 cho x²=4≠2. C sai vì x²≥0 với mọi x∈ℝ. D đúng: trong ba số liên tiếp n, n+1, n+2 luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, nên tích n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 với mọi n∈ℕ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A) Trong ba số nguyên liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, nên $n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 6 với mọi $n\in \mathbb{N}$ → đúng. B) Sai vì $x^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. C) Sai vì với $n=2$ thì $n^2+1=5$ lẻ nhưng với $n=3$ thì $10$ chẵn (và $n=0$ cho $1$ lẻ, $n=1$ cho $2$ chẵn). D) Sai vì $x=2$ thì $x^2=4\ne 2$. Vậy mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 9 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì $n=0$ (hoặc $n=1$) thỏa $n^2=n$. B đúng vì với mọi $n\in \mathbb{N}$, $n\le 2n$ (do $n\ge 0$). C đúng vì ví dụ $x=\frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$. D sai vì với $x=0\in \mathbb{R}$ ta có $0^2=0$ và $0>0$ là sai. Vậy mệnh đề sai là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 14: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề $x+y=2$ với $x,y\in \mathbb{R}$. a) $P$: $\forall x,\forall y:x+y=2$ — Sai, vì ví dụ $x=0,y=0$ thì $0+0=0\ne 2$. b) $Q$: $\exists x,\exists y:x+y=2$ — Đúng, ví dụ $x=1,y=1$. c) $R$: $\forall x,\exists y:x+y=2$ — Đúng, với mỗi $x$ chọn $y=2-x$. d) $H$: $\exists x,\forall y:x+y=2$ — Sai, vì nếu tồn tại $x$ thì với $y_1\ne y_2$ ta có $x+y_1\ne x+y_2$, không thể cùng bằng 2. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án mã 1012 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phản ví dụ $x=0,y=0$: $0+0=0\ne 2$, nên $P$ Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn $x=1,y=1$ thì $x+y=2$, nên $Q$ Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với mỗi $x\in \mathbb{R}$, chọn $y=2-x$ thì $x+y=2$, nên $R$ Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $x+y=2$ với mọi $y$ thì với $y=0$ và $y=1$ ta được $x=2$ và $x=1$, mâu thuẫn; nên $H$ Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng câu: (1) 'Ở đây đẹp quá!' là câu cảm thán, không phải mệnh đề. (2) 'Phương trình $x^2-3x+1=0$ vô nghiệm' là câu khẳng định có thể xác định đúng/sai (thực tế sai vì có nghiệm $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$), là mệnh đề toán học. (3) '16 không là số nguyên tố' là mệnh đề toán học (đúng). (4) 'Hai phương trình $x^2-4x+3=0$ và $x^2-\sqrt{x+3}+1=0$ có nghiệm chung' là câu khẳng định đúng/sai được, là mệnh đề toán học. (5) 'Số $\pi$ có lớn hơn 3 hay không?' là câu hỏi, không phải mệnh đề. (6) 'Italia vô địch Worldcup 2006' là mệnh đề (đúng) nhưng không phải mệnh đề toán học vì không chứa nội dung toán học. (7) là câu hỏi, không phải mệnh đề. (8) 'Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau' là mệnh đề toán học (đúng). Vậy các mệnh đề toán học là (2), (3), (4), (8): có 4 câu, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề chứa biến "x + y = 1" với x, y thực. a) P: ∀x∀y: x+y=1 — Sai, vì ví dụ x=1, y=1 thì x+y=2≠1. b) Q: ∃x∃y: x+y=1 — Đúng, ví dụ x=0, y=1 thì x+y=1. c) H: ∃x∀y: x+y=1 — Sai, vì nếu tồn tại x thì với y=x ta có 2x=1 ⇒ x=1/2, nhưng với y khác (ví dụ y=0) thì x+y=1/2≠1, mâu thuẫn; không có x nào thỏa với mọi y. d) S: ∀x∃y: x+y=1 — Đúng, với mỗi x chọn y=1−x thì x+y=1. Kết quả: a Sai, b Đúng, c Sai, d Đúng, khớp với đáp án mã 1011 Phần II câu 1 là SĐSĐ (trang 9).
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì tồn tại x=1, y=1 với x+y=2≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì tồn tại x=0, y=1 với x+y=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì không tồn tại x sao cho x+y=1 với mọi y (với y thay đổi, x+y thay đổi).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì với mỗi x, chọn y=1−x thì x+y=1.