Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 3; 4; 8; 9 lập số tự nhiên có 4 chữ số, mỗi chữ số có thể lặp lại. Mỗi vị trí (hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị) đều có 4 cách chọn (không có chữ số 0 nên hàng nghìn cũng 4 cách). Tổng số: $4^4=256$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 20 nam và 1 nữ trong 18 nữ, theo quy tắc nhân số cách chọn là $C_{20}^1\cdot C_{18}^1=20\cdot 18=360$ cách. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số từ các chữ số 0;1;2;3, đôi một khác nhau: chữ số đầu không được là 0 nên có 3 cách chọn; sau đó chọn 3 chữ số còn lại từ 3 chữ số còn lại có $3!=6$ cách. Tổng: $3\cdot 3\cdot 2\cdot 1=18$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh có đúng 2 nam (và 1 nữ): chọn 2 nam từ 4 nam có $C_4^2=6$ cách, chọn 1 nữ từ 2 nữ có $C_2^1=2$ cách. Tổng số cách: $C_4^2\cdot C_2^1=6\cdot 2=12$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ A={1,2,3,4}: hoán vị 4! = 24 → đúng. b) Số chẵn: chữ số cuối là 2 hoặc 4 (2 cách), 3 chữ số còn lại xếp: 3! = 6 cách → 2·6 = 12 → đúng. c) Chọn ngẫu nhiên 2 số từ 4 số: n(Ω) = C(4,2) = 6 → đúng. d) Cách chọn 2 số đều chẵn: C(2,2) = 1 (chọn {2,4}); xác suất = 1/6 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ A là số hoán vị của 4 phần tử: 4! = 24. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn phải có chữ số tận cùng là 2 hoặc 4: 2 cách chọn; 3 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: 3! = 6 cách. Tổng: 2 × 6 = 12. Mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập A có 4 phần tử: n(Ω) = C(4,2) = 6. Mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 2 số đều chẵn (từ {2,4}): C(2,2) = 1. Xác suất = 1/C(4,2) = 1/6. Mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: tổ có 4 nam, 6 nữ (10 học sinh).
a) Sắp xếp 10 học sinh thành hàng dọc: 10! cách → đúng.
b) Chọn 2 nam và 2 nữ: $C_4^2\cdot C_6^2=6\cdot 15=90$ cách, không phải 30 → sai.
c) Không gian mẫu $C_{10}^3$; chọn 2 nam 1 nữ: $C_4^2{C}_6^1$ cách; xác suất $\frac{C_4^2{C}_6^1}{C_{10}^3}$ → đúng.
d) Chọn 3 nữ: $C_6^3$ cách; xác suất $\frac{C_6^3}{C_{10}^3}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 10 học sinh phân biệt: 10! cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $C_4^2\cdot C_6^2=6\cdot 15=90\ne 30$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu $C_{10}^3$, biến cố 2 nam 1 nữ có $C_4^2{C}_6^1$ kết quả nên xác suất $\frac{C_4^2{C}_6^1}{C_{10}^3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu $C_{10}^3$, biến cố 3 nữ có $C_6^3$ kết quả nên xác suất $\frac{C_6^3}{C_{10}^3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai viên bi cùng màu: cùng xanh hoặc cùng đỏ. Cùng xanh: $C_5^2=10$ cách; cùng đỏ: $C_7^2=21$ cách. Tổng: $10+21=31$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp 6 phần tử là chỉnh hợp chập 2 của 6: $A_6^2=\frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có $20+15=35$ học sinh. Chọn 3 học sinh phụ trách 3 nhiệm vụ khác nhau (lớp trưởng, lớp phó, bí thư) là một chỉnh hợp chập 3 của 35 phần tử, vì thứ tự nhiệm vụ có vai trò. Số cách là $A_{35}^3=35\cdot 34\cdot 33=39270$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi véc tơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt trong 6 đỉnh của lục giác $ABCDEF$. Chọn điểm đầu có 6 cách, chọn điểm cuối khác điểm đầu có 5 cách, nên số véc tơ là $A_6^2=6\cdot 5=30$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt đạt được khi không có ba đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường nào song song. Khi đó mỗi cặp đường thẳng cho một giao điểm, nên số giao điểm tối đa là $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: a) Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt trong 20 điểm, thứ tự có ý nghĩa nên số vectơ là chỉnh hợp $A_{20}^2=20\cdot 19=380$. Chọn a-A cho câu a). b) Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi hai đầu mút không phân biệt thứ tự nên số đoạn thẳng là tổ hợp $C_{20}^2=\frac{20\cdot 19}{2}=190$. Chọn b-B cho câu b).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11: a) Mỗi vị trí có 10 cách chọn chữ số (0–9), các chữ số có thể giống nhau nên số mật mã là $10^4=10000$ → tương ứng phương án C của phần a). b) Các chữ số đôi một khác nhau: $10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$ → tương ứng phương án B của phần b). Lưu ý: đề in hai bộ phương án riêng cho phần a) và phần b) (a: A.6561, B.5040, C.10000, D.3024; b: A.6561, B.5040, C.10000, D.3024); trường correctOption chỉ mã hóa được phần a) = C.

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 8 kí tự đôi một khác nhau: 3 kí tự đầu là 3 chữ cái khác nhau chọn từ 26 chữ cái in thường, có xét thứ tự nên có $A_{26}^3$ cách; 5 kí tự tiếp theo là 5 chữ số khác nhau chọn từ 10 chữ số, có xét thứ tự nên có $A_{10}^5$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu là $A_{26}^3.A_{10}^5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có tổng cộng 25 + 16 = 41 học sinh. Chọn 5 học sinh bất kỳ từ 41 học sinh, không phân biệt nam/nữ và không xét thứ tự, nên số cách chọn là tổ hợp chập 5 của 41: $C_{41}^5$. Do đó đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn đúng 2 nam trong 6 nam: $C_6^2=15$ cách. Chọn 2 nữ trong 5 nữ: $C_5^2=10$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 học sinh có đúng 2 nam là $C_6^2\cdot C_5^2=15\cdot 10=150$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 13 học sinh là $C_{13}^3=286$. Số cách chọn không có nam nào (cả 3 đều nữ) là $C_7^3=35$. Vậy số cách chọn có ít nhất một học sinh nam là $286-35=251$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 5 học sinh từ 11 học sinh là $C_{11}^5=462$. Loại các cách chọn toàn nam: $C_6^5=6$ và toàn nữ: $C_5^5=1$. Vậy số cách chọn có cả nam và nữ là $462-6-1=455$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Tổng cách chọn 3 điểm trong 7 điểm là $C_7^3=35$. Các bộ 3 điểm thẳng hàng: trên đường thẳng $a$ có $C_3^3=1$ bộ, trên đường thẳng $b$ có $C_4^3=4$ bộ. Vậy số tam giác là $35-1-4=30$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi hình chữ nhật được xác định bởi 2 trong 7 đường thẳng song song (hai cạnh đối) và 2 trong 9 đường thẳng vuông góc (hai cạnh còn lại). Số hình chữ nhật là $C_7^2\cdot C_9^2=21\cdot 36=756$. Vậy chọn D.