Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Có 25 điểm nguyên trong hình vuông $1\le x\le 5$, $1\le y\le 5$. Số tam giác = số bộ 3 điểm không thẳng hàng $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{3}\right)-$ (số bộ 3 điểm thẳng hàng).

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{3}\right)=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{6}=2300$.

Đếm các bộ 3 điểm thẳng hàng:
- Các hàng ngang: 5 hàng, mỗi hàng có 5 điểm cho $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ bộ, tổng $50$.
- Các hàng dọc: tương tự $50$.
- Các đường chéo hướng $//$ (hệ số góc $1$): các đường chéo có độ dài $5,4,3,2,1,2,3,4,5$ điểm; số bộ 3 thẳng hàng trên đường chéo độ dài $n$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$, nên tổng $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10+4+1+1+4+10=30$.
- Các đường chéo hướng $\backslash$ (hệ số góc $-1$): tương tự $30$.

Tổng bộ 3 điểm thẳng hàng $=50+50+30+30=160$.

Vậy số tam giác $=2300-160=2140$.

(AI giải đề cho tôi)
Gia đình có 10 em bé nên có 10 con heo đất (phân biệt nhau theo từng em bé). Có 10 tờ tiền: 4 tờ 500000 đồng giống nhau và 6 tờ 100000 đồng giống nhau.

a) Mỗi con heo đất nhận đúng 1 tờ tiền:
Vì các tờ tiền cùng mệnh giá giống nhau, một cách bỏ tương ứng với việc chọn 4 trong 10 con heo đất để nhận tờ 500000 đồng (các con heo còn lại nhận tờ 100000 đồng). Số cách:
$$N_a=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210.$$

b) Có đúng 2 con heo đất không nhận được tờ tiền nào:
- Chọn 2 con heo đất không nhận tờ nào: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$ cách.
- Phân 4 tờ 500000 và 6 tờ 100000 vào 8 con heo đất còn lại, mỗi con nhận ít nhất 1 tờ.

Đếm số cách phân vào 8 con heo (mỗi con nhận ít nhất 1 tờ). Xét cách phân các tờ 500000 trước: số tờ 500000 vào mỗi con heo là $a_i\ge 0$, $\sum a_i=4$. Nếu vector $(a_i)$ có đúng $m$ vị trí bằng 0 thì các con heo đó buộc phải nhận tờ 100000. Số vector $(a_i)$ có đúng $m$ phần tử bằng 0 là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{m}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{7-m}\right)$ (với $m=4,5,6,7$). Với mỗi such vector, số cách phân 6 tờ 100000 sao cho $m$ con heo có $a_i=0$ nhận ít nhất 1 tờ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13-m}{7}\right)$.

$$\begin{array}{rl}N& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7}\right)\\ & =70\cdot 1\cdot 36+56\cdot 3\cdot 8+28\cdot 3\cdot 1=2520+1344+84=3948.\end{array}$$

(Kiểm tra bằng bao hàm - loại trừ: ${\sum }_{j=0}^7(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{11-j}{7-j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{13-j}{7-j})=3948$.)

Vậy số cách ở câu b):
$$N_b=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)\cdot 3948=45\cdot 3948=177660.$$

Kết luận: a) Có $210$ cách; b) Có $177660$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số người là 18 (3 kỹ sư, 3 kỹ thuật viên, 12 công nhân), chia vào 3 ca phân biệt theo thời gian, mỗi ca 6 người.
a) Chọn 6 người cho ca 1: $C_{18}^6$, chọn 6 người cho ca 2 từ 12 người còn lại: $C_{12}^6$, ca 3 tự xác định. Vậy số cách là $C_{18}^6.C_{12}^6$ → đúng.
b) Ca đầu gồm toàn công nhân: $C_{12}^6$ cách; 12 người còn lại chia vào ca 2, ca 3: $C_{12}^6$ cách. Tổng $C_{12}^6.C_{12}^6$ → đúng.
c) Mỗi ca đúng 1 kỹ sư và 1 kỹ thuật viên: phân 3 kỹ sư vào 3 ca: $3!$ cách; phân 3 kỹ thuật viên: $3!$ cách; 12 công nhân chia mỗi ca 4 người vào 3 ca phân biệt: $C_{12}^4.C_8^4$ cách. Vậy kết quả là $3!.3!.C_{12}^4.C_8^4$, không phải $C_6^1.C_6^1.C_{12}^4$ → sai.
d) Xác suất = $\frac{3!.3!.C_{12}^4.C_8^4}{C_{18}^6.C_{12}^6}=\frac{36\cdot 495\cdot 70}{18564\cdot 924}=\frac{1247400}{17153136}=\frac{225}{3094}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 người cho ca 1 rồi 6 người cho ca 2, ca 3 tự xác định: $C_{18}^6.C_{12}^6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ca 1 chọn 6 công nhân từ 12: $C_{12}^6$; 12 người còn lại chọn 6 cho ca 2: $C_{12}^6$. Tổng $C_{12}^6.C_{12}^6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $3!.3!.C_{12}^4.C_8^4$ vì 3 ca phân biệt; biểu thức $C_6^1.C_6^1.C_{12}^4$ không đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3!.3!.C_{12}^4.C_8^4}{C_{18}^6.C_{12}^6}=\frac{1247400}{17153136}=\frac{225}{3094}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông nội tiếp đường tròn ngoại tiếp đa giác đều phải có cạnh huyền là đường kính. Đa giác 50 đỉnh nằm trên đường tròn có 25 đường kính nối các cặp đỉnh đối diện. Mỗi đường kính ghép với 1 trong 48 đỉnh còn lại cho một tam giác vuông. Vậy số tam giác vuông là $25\times 48=1200$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường và 1 đỉnh trên đường kia. Số tam giác: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)n+10\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=45n+5n(n-1)=5n^2+40n=1725$, tức $n^2+8n-345=0$. Giải: $n=\frac{-8+\sqrt{64+1380}}{2}=\frac{-8+38}{2}=15$ (nhận $n\ge 2$). Vậy $n=15$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi cách lên tàu tương ứng với: chia 10 người (đôi một khác nhau) vào 4 cửa/toa sao cho mỗi toa có ít nhất 1 người, và trong mỗi toa xác định thứ tự xếp hàng (từ đầu hàng đến cuối hàng).

Với một bộ $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ với $n_i\ge 1$, $n_1+n_2+n_3+n_4=10$: chọn và sắp xếp người cho từng toa có $\frac{10!}{n_1!n_2!n_3!n_4!}\cdot n_1!n_2!n_3!n_4!=10!$ cách (chọn người rồi xếp thứ tự trong từng hàng).

Số bộ $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ là số cách chia 10 thành 4 phần nguyên dương: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$.

Vậy $T=10!\cdot 84=3628800\cdot 84=304819200$.

Do đó $\frac{T}{76800}=\frac{304819200}{76800}=3969$.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một khối: có $2\cdot 9!=725760$ cách xếp sao cho An và Bình cạnh nhau. Trong đó, các cách khiến An và Cúc cũng cạnh nhau xảy ra khi An ngồi giữa Bình và Cúc: khối 3 người có 2 thứ tự (Bình–An–Cúc hoặc Cúc–An–Bình), gộp thành một khối cùng 7 người còn lại nên có $2\cdot 8!=80640$ cách. Vậy số cách thỏa mãn là $725760-80640=645120$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 15 đỉnh. Tam giác cân có đỉnh tại một đỉnh và hai đỉnh đối xứng cách đều nó $k$ bước ($k=1,\dots ,7$): mỗi đỉnh cho 7 tam giác cân, tổng $15\cdot 7=105$. Tam giác đều xuất hiện khi $k=5$ ($15/3=5$), có 15 tam giác đều. Vậy tam giác cân nhưng không đều: $105-15=90$.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 6 phải chia hết cho 2 và 3. Chữ số tận cùng phải chẵn: thuộc $\{2;4;6;8\}$ (4 cách). Ba chữ số đầu mỗi chữ số có 9 cách chọn (lặp được), tổng $9^3=729$ bộ; vì các chữ số $\mathrm{1..9}$ chia đều 3 nhóm theo số dư mod 3 (mỗi nhóm 3 chữ số), số bộ ba có tổng chia hết cho 3 đúng bằng $729/3=243$. Với mỗi chữ số tận cùng chẵn, số dư của nó mod 3 được bù bởi tổng ba chữ số đầu, và do phân bố đều nên luôn có đúng 243 bộ ba thoả mãn. Vậy kết quả = $4\times 243=972$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 9 đồ vật giống nhau cho 6 người, mỗi người ít nhất 1 đồ: đặt mỗi người 1 đồ trước, còn 3 đồ chia tự do nên $a=C(8,5)=56$. Khi đồ vật phân biệt: đánh dấu 9 đồ vật có $9!$ cách, rồi chia 9 đồ vật phân biệt cho 6 người mỗi người ít nhất 1 đồ (không đếm thứ tự trong nhóm) nên $b=9!\cdot C(8,5)=362880\cdot 56=20321280$. Khi đó $0,1b-a=2032128-56=2032072$, hai chữ số tận cùng là 72.

- Xếp 3 nữ thành 1 hàng: $3!=6$ cách. Khi đó tạo ra 4 vị trí trống để xếp nam: _Nữ_Nữ_Nữ_
- Xếp các bạn nam vào các vị trí trống
TH1: Hai nam đứng ở 2 vị trí khác nhau: $C_4^2.2=12$ cách
Th2: Hai nam đứng cùng 1 vị trí (hai nam đứng cạnh nhau):
+, chỉ có 2 vị trí ở giữa hai nữ là hợp lệ ( vì nếu đứng đầu hàng hoặc cuối hàng thì sẽ có 1 bạn nam không đứng cạnh nữ)
+, số cách: $2.2=4$ cách
$\Rightarrow$ tổng số cách xếp nam: $12+4=16$ cách
Vậy cách xếp cả nam và nữ là: $16.6=96$ cách.

Số đỉnh chẵn. Ta cần xây dựng công thức quy nạp. Đa giác đều 2n đỉnh ta đánh số các đỉnh từ 1 đến 2n. Tứ giác đều 2n = 4: có 1 hình chữ nhật là chính nó. Lục giác đều 2n = 6: có 2 + 1 = 3 hình chữ nhật. Bát giác đều 2n = 8: có 3 + 2 + 1 = 6 hình chữ nhật. Ý tưởng: Với lục giác đều: ta bắt đầu từ đỉnh 1 và lấy đường kính 1-4, có 2 hình chữ nhật với đường chéo hcn là 1-4 đó là hình chữ nhật có cạnh là 1-2 và 1-3. Ta qua đỉnh 2 thì đường kính là đoạn 2-5 và ta chỉ lấy thêm một hình chữ nhật có cạnh là 2-3. Với đỉnh 3 thì không lấy được thêm do cạnh trùng với cạnh hình chữ nhật lấy từ đỉnh 1. Xây dựng tương tự với hình 30 cạnh đều: Từ đỉnh 1 với đường kính 1-16 ta chọn được 14 cạnh nên có 14 hình chữ nhật, từ đỉnh 2 thì có 13 và giảm dần cho tới đỉnh 14 thì còn 1 hình chữ nhật. Vậy hình đa giác 30 cạnh đều: 1 + 2 + … + 14 = 105.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $P$ gồm $11\times 11=121$ điểm nguyên với $x,y\in \{0,1,\dots ,10\}$. Đoạn thẳng dài 5 có hai đầu mút thuộc $P$ ứng với cặp điểm có vectơ chỉ phương $(a;b)$ với $a^2+b^2=25$, tức $(a;b)\in \{(5;0),(0;5),(3;4),(4;3)\}$.
- $(5;0)$: mỗi hàng có $11-5=6$ đoạn, $11$ hàng $\Rightarrow 66$ đoạn; tương tự $(0;5)$ cho $66$ đoạn. Tổng ngang-đứng: $132$.
- $(3;4)$: điểm đầu có $11-3=8$ lựa chọn $x$ và $11-4=7$ lựa chọn $y$, mỗi lựa chọn có 2 đoạn (dốc $\pm 4/3$) $\Rightarrow 8\cdot 7\cdot 2=112$ đoạn.
- $(4;3)$: tương tự $7\cdot 8\cdot 2=112$ đoạn.
Tổng: $132+112+112=356$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong đa giác đều 30 đỉnh, một tứ giác có 4 đỉnh là hình chữ nhật khi và chỉ khi hai đường chéo của nó là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (hai cặp đỉnh đối xứng qua tâm). Đa giác 30 đỉnh có 15 đường kính nối các cặp đỉnh đối nhau. Mỗi hình chữ nhật tương ứng với việc chọn 2 trong 15 đường kính, nên số hình chữ nhật là $C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần đếm có dạng $n=10k+2$ với $10000\le k\le 99999$ (để $n$ có 6 chữ số). Điều kiện chia hết cho 13: $10k+2\equiv 0(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 10k\equiv 11(\mathrm{mod}13)$. Vì $10^{-1}\equiv 4(\mathrm{mod}13)$ nên $k\equiv 44\equiv 5(\mathrm{mod}13)$. Số $k$ nhỏ nhất $\ge 10000$ đồng dư 5 mod 13 là $k=10002$ (vì $10002=13\cdot 769+5$). Số $k$ lớn nhất $\le 99999$ đồng dư 5 mod 13: ta có $99999\equiv 3(\mathrm{mod}13)$, lùi dần đến $99988\equiv 5(\mathrm{mod}13)$, vậy $k=99988$. Số lượng: $\frac{99988-10002}{13}+1=\frac{89986}{13}+1=6922+1=6923$. Kiểm tra bằng cách khác: $n=13m$ có chữ số tận cùng 2 khi $3m\equiv 2(\mathrm{mod}10)\Rightarrow m\equiv 4(\mathrm{mod}10)$; với $m$ nhỏ nhất $7694$ ($n=100022$) và lớn nhất $76914$ ($n=999882$), số giá trị là $\frac{76914-7694}{10}+1=6923$. Vậy $|S|=6923$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm có dạng $n=10k+2$ với $10000\le k\le 99999$ (6 chữ số, tận cùng 2). Yêu cầu $13\mid n$: $10k+2\equiv 0(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 10k\equiv 11(\mathrm{mod}13)$. Vì $10^{-1}\equiv 4(\mathrm{mod}13)$ (do $10\cdot 4=40\equiv 1$), suy ra $k\equiv 44\equiv 5(\mathrm{mod}13)$. Ta có $10000\equiv 3(\mathrm{mod}13)$ nên $k$ nhỏ nhất là $10002$; $99999\equiv 3(\mathrm{mod}13)$ nên $k$ lớn nhất là $99988$ (vì $99988\equiv 5$). Số giá trị $k$: $\frac{99988-10002}{13}+1=\frac{89986}{13}+1=6922+1=6923$. Vậy $|S|=6923$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh chọn ít nhất một nhóm ngành: $42-22=20$. Theo bao hàm - loại trừ: $20=6+9+10-(3+2+3)+a=25-8+a=17+a$, suy ra $a=3$. Vậy $17a^2=17\cdot 9=153$.

a) Đúng. Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là $A_{12}^6$. Vậy a) đúng.
b) Đúng. Vì số sách của mỗi loại đều bé hơn 6 nên không có cách nào lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại. Do đó: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Vật lí là $C_9^6$; chỉ có hai loại Toán, Hóa học là $C_8^6$; chỉ có hai loại Vật lí, Hóa học là $C_7^6$. Suy ra: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là $C_7^6+C_8^6+C_9^6$.
c) Sai. Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn bằng số cách lấy ra 6 cuốn sách có đủ ba loại. Số cách lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách là $C_{12}^6$; không có cách nào để lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại. Suy ra số cách lấy ra 6 cuốn sách đủ ba loại là $C_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6$.
d) Đúng. Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=A_{12}^6$. Số cách lấy ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh sao cho sau khi tặng xong mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là $\left[C_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6\right]\cdot 6!=805\cdot 6!$. Do đó xác suất là $\frac{805\cdot 6!}{A_{12}^6}=\frac{115}{132}$.
a) Đúng. Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là $A_{12}^6$. Vậy a) đúng.
b) Đúng. Vì số sách của mỗi loại đều bé hơn 6 nên không có cách nào lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại. Do đó: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Vật lí là $C_9^6$. Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Hóa học là $C_8^6$. Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Vật lí, Hóa học là $C_7^6$. Suy ra: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là $C_7^6+C_8^6+C_9^6$.
c) Sai. Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn bằng số cách lấy ra 6 cuốn sách có đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học. Số cách lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách là: $C_{12}^6$. Không có cách nào để lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại. Suy ra số cách lấy ra 6 cuốn sách đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là $C_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6$.
d) Đúng. Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=A_{12}^6$. Số cách lấy ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh sao cho sau khi tặng xong mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là $\left[C_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6\right]\cdot 6!=805\cdot 6!$. Do đó: Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là $\frac{805\cdot 6!}{A_{12}^6}=\frac{115}{132}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 6 cuốn từ 12 cuốn là $C_{12}^6=924$. Số cách chọn 6 cuốn sao cho mỗi loại còn lại ít nhất một cuốn tức 6 cuốn lấy ra có ít nhất 1 Toán, 1 Vật lí, 1 Hóa học. Dùng bù trừ: thiếu Toán: $C_7^6=7$; thiếu Vật lí: $C_8^6=28$; thiếu Hóa: $C_9^6=84$; các giao chỉ còn 1 loại đều chọn không được 6 cuốn nên bằng 0. Vậy số cách thỏa mãn là $924-7-28-84=805$.
a) $A_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6$ sai vì phải dùng tổ hợp $C_{12}^6$ (chọn sách, không sắp thứ tự) và dấu của các số hiệu chỉnh phải là trừ: đúng phải là $C_{12}^6-C_7^6-C_8^6-C_9^6=805$.
b) Xác suất $=\frac{805}{924}=\frac{115}{132}$ (chia cả tử mẫu cho 7) → đúng.
c) Lấy 6 cuốn rồi tặng 6 học sinh mỗi em một cuốn là chọn và sắp thứ tự: $A_{12}^6$ → đúng.
d) Chỉ có hai trong ba loại: thiếu Toán hoặc thiếu Vật lí hoặc thiếu Hóa (không thể thiếu cả hai loại vì không đủ 6 cuốn): $C_7^6+C_8^6+C_9^6=7+28+84=119$ → đúng. Khớp đáp án nguồn SĐĐS (mã đề 1202, câu 16).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng $C_{12}^6$ và trừ cả ba trường hợp thiếu loại: $C_{12}^6-C_7^6-C_8^6-C_9^6=805$, không phải $A_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách thuận $805$, tổng $C_{12}^6=924$, xác suất $=805/924=115/132$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 cuốn từ 12 và phân cho 6 học sinh (có thứ tự): $A_{12}^6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ hai loại = thiếu Toán hoặc thiếu Vật lí hoặc thiếu Hóa: $C_7^6+C_8^6+C_9^6=7+28+84=119$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Lấy 6 cuốn từ 12 và tặng cho 6 học sinh (mỗi em một cuốn, có phân biệt người nhận) là một chỉnh hợp: $A_{12}^6$. Đúng.

b) Còn lại ít nhất một cuốn mỗi loại ⟺ 6 cuốn lấy ra không chứa đủ 5 cuốn Toán, không chứa đủ 4 cuốn Vật lí, không chứa đủ 3 cuốn Hóa. Tổng cách lấy là $C_{12}^6=924$; cách lấy chứa đủ Toán: $C_7^6=7$; đủ Vật lí: $C_8^6=28$; đủ Hóa: $C_9^6=84$; các giao đều bằng 0 vì $C_3^6=C_4^6=C_5^6=0$. Vậy số cách là $C_{12}^6-C_7^6-C_8^6-C_9^6=924-119=805$, không phải $A_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6$. Sai.

c) Chỉ có hai trong ba loại: chỉ Toán và Vật lí: $C_7^6=7$; chỉ Toán và Hóa: $C_8^6=28$; chỉ Vật lí và Hóa: $C_9^6=84$. Tổng $C_7^6+C_8^6+C_9^6=119$. Đúng.

d) Xác suất $=\frac{805}{924}=\frac{115}{132}$ (chia cả tử và mẫu cho 7). Đúng.

Khớp với đáp án nguồn ĐSĐĐ (mã đề 1201, câu 15).
a) (AI giải đề cho tôi)
Lấy 6 cuốn từ 12 rồi tặng cho 6 học sinh phân biệt là một chỉnh hợp chập 6 của 12 phần tử: $A_{12}^6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáp số đúng là $C_{12}^6-C_7^6-C_8^6-C_9^6=924-7-28-84=805$, không phải $A_{12}^6-C_7^6+C_8^6+C_9^6$ (dùng $A$ thay vì $C$ và dấu cộng sai).
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ hai loại: $C_7^6+C_8^6+C_9^6=7+28+84=119$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách thuận lợi là 805, tổng số cách là $C_{12}^6=924$, xác suất $=\frac{805}{924}=\frac{115}{132}$.