Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5: chữ số đầu có 5 cách (khác 0), ba chữ số sau lần lượt 5, 4, 3 cách, nên tổng là $5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300$. Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5: - Tận cùng 0: $5\cdot 4\cdot 3=60$ số. - Tận cùng 5: chữ số đầu khác 0 và 5 nên có 4 cách, hai chữ số giữa có $4\cdot 3=12$ cách, được $4\cdot 4\cdot 3=48$ số. Vậy số chia hết cho 5 là $60+48=108$. Số không chia hết cho 5 là $300-108=192$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện $ABCD$ có $4$ đỉnh. Mỗi cặp đỉnh phân biệt cho $2$ vectơ (đổi vai trò điểm đầu/điểm cuối), số cặp đỉnh là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. Vậy số vectơ khác $\vec{0}$ là $6\times 2=12$ vectơ: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, Mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 bạn phân biệt vào 8 ghế, mỗi bạn một ghế, là chọn và sắp thứ tự: số cách là hoán vị chỉnh hợp chập 5 của 8, tức $A_8^5=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=6720$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vé chỉ có hai khả năng: mua hoặc không mua. Với 5 vé khác nhau, số lựa chọn là $2^5=32$ (tính cả trường hợp không mua vé nào). Khớp với đáp án nguồn 32.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Một vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt. Số cách chọn điểm đầu là 4, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu là 3, nên tổng số vectơ là $4\times 3=12$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Mỗi vecto được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt (khác $\vec{0}$). Với mỗi điểm đầu, có 3 lựa chọn điểm cuối, nên số vecto là $4\times 3=12$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn 3 điểm trong 20 điểm phân biệt cùng nằm trên đường tròn (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Vậy số tam giác là $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm phân biệt bất kỳ trên đường tròn luôn tạo thành một tam giác (không có ba điểm nào thẳng hàng). Vậy số tam giác là số cách chọn 3 điểm trong 20 điểm: $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1105, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5: chọn và sắp xếp 3 chữ số từ 5 chữ số, số cách là $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số đôi một khác nhau, chọn và sắp xếp từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Số các số là hoán vị chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (360).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập các số tự nhiên bé hơn 100 (chữ số được lặp lại được). Không gian mẫu: số có 1 chữ số: 6 số; số có 2 chữ số: 6×6=36 số; tổng cộng n(Ω)=42.
a) Biến cố A (số lẻ): chữ số tận cùng lẻ (1;3;5). Số 1 chữ số: 3 số; số 2 chữ số: 3×6=18 số. Vậy n(A)=21. Biến cố B (số chẵn): chữ số tận cùng chẵn (2;4;6): tương tự n(B)=21. Vì một số không thể vừa lẻ vừa chẵn nên A∩B=∅, số kết quả thuận lợi cho A và B là n(A∩B)=0.
b) A∪B là biến cố 'Số lập được là số lẻ hoặc số chẵn', tức là biến cố chắc chắn (mọi số lập được đều thuộc A hoặc B). Số kết quả thuận lợi: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=21+21−0=42 (bằng n(Ω)).
c) Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 5. Số 1 chữ số: 1 số (số 5); số 2 chữ số: hàng chục chọn 1 trong 6 chữ số, hàng đơn vị là 5: 6×1=6 số. Tổng: 7 số. Xác suất P=7/42=1/6.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 15 để trao 4 giải khác nhau (giải nhất, nhì, ba, khuyến khích) là một chỉnh hợp: thứ tự các giải quan trọng, mỗi học sinh chỉ nhận một giải. Số cách là $A_{15}^4=\frac{15!}{11!}=15\cdot 14\cdot 13\cdot 12=32760$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh từ 10 để trao 3 giải khác nhau (nhất, nhì, ba) là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử: $A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720$ cách. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Để 3 học sinh được chọn ở ba khối khác nhau, ta chọn 1 em từ mỗi khối: khối 12 có 6 cách, khối 11 có 5 cách, khối 10 có 4 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $6\times 5\times 4=120$.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp Hà và Lan thành một khối, coi như 5 đối tượng xếp hàng: $5!=120$ cách. Trong khối, Hà và Lan đổi chỗ cho nhau: $2!=2$ cách. Tổng: $120\times 2=240$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi chữ số của số có 4 chữ số đều có thể chọn tự do từ 4 chữ số 1, 5, 6, 7 (không có ràng buộc về tính khác nhau hay chữ số đầu). Theo quy tắc nhân, số cách lập là $4\times 4\times 4\times 4=4^4=256$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng; chọn 4 bi.
a) Chọn 2 xanh, 1 đỏ, 1 vàng: $C_6^2\cdot C_5^1\cdot C_4^1=15\cdot 5\cdot 4=300$ cách → đúng.
b) Chọn 1 xanh, 2 đỏ, 1 vàng: $C_6^1\cdot C_5^2\cdot C_4^1=6\cdot 10\cdot 4=240\ne 120$ → sai.
c) Chọn 1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng: $C_6^1\cdot C_5^1\cdot C_4^2=6\cdot 5\cdot 6=180$ cách → đúng.
d) Chọn 4 bi có đủ ba màu gồm 3 trường hợp: (2 xanh,1 đỏ,1 vàng)=300; (1 xanh,2 đỏ,1 vàng)=240; (1 xanh,1 đỏ,2 vàng)=180. Tổng $300+240+180=720\ne 600$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_6^2\cdot C_5^1\cdot C_4^1=15\cdot 5\cdot 4=300$ cách, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_6^1\cdot C_5^2\cdot C_4^1=6\cdot 10\cdot 4=240\ne 120$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_6^1\cdot C_5^1\cdot C_4^2=6\cdot 5\cdot 6=180$ cách, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 3 trường hợp đủ ba màu: $300+240+180=720\ne 600$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi đề thi gồm 10 câu trắc nghiệm chọn từ 15 câu và 4 câu tự luận chọn từ 8 câu. Số cách chọn trắc nghiệm: $C_{15}^{10}=C_{15}^5=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{120}=3003$. Số cách chọn tự luận: $C_8^4=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{24}=70$. Theo quy tắc nhân, số đề thi lập được là $3003\times 70=210210$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có ba chữ số: chữ số hàng trăm khác 0 nên có 7 cách chọn (1–7); hàng chục và hàng đơn vị được chọn tự do từ 8 chữ số (được phép lặp lại vì đề không yêu cầu khác nhau), mỗi vị trí 8 cách. Vậy tổng số là $7\cdot 8\cdot 8=448$.