Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Ba chân đế có đủ ba màu xanh, đỏ, vàng nên ba chân đế phân biệt nhau. Vì tổng cộng chỉ có 15 lá cờ nên ràng buộc 'mỗi chân đế cắm tối đa 15 lá' luôn tự động thỏa mãn.

a) Xét từng màu cờ: 5 lá cờ cùng màu giống nhau, cắm vào 3 chân đế phân biệt <=> tìm số nghiệm không âm của $x_1+x_2+x_3=5$, số cách là $C_{5+3-1}^{3-1}=C_7^2=21$. Ba màu cờ độc lập với nhau nên tổng số cách là $21^3=9261$.

b) Mỗi chân đế phải cắm đúng 5 lá. Gọi $x_{ij}\ge 0$ là số lá cờ màu $i$ (hàng $i=1,2,3$ tương ứng xanh, đỏ, vàng) cắm vào chân đế $j$ (cột $j=1,2,3$). Cần đếm số ma trận $3\times 3$ số nguyên không âm có tổng mỗi hàng bằng 5 và tổng mỗi cột bằng 5.

Chọn dòng 1: $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$ có $C_7^2=21$ cách. Với mỗi dòng 1, dòng 2 là $(d,e,f)$ với $d+e+f=5$, $d\le 5-a$, $e\le 5-b$, $f\le 5-c$ (để dòng 3 không âm). Số cặp $(d,e)$ thỏa $d+e\le 5$, $d\le 5-a$, $e\le 5-b$ là $N(a,b)={\sum }_{d=0}^{5-a}(\min (5-b,5-d)+1)$. Tính tổng theo mọi $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$ (dùng công thức đóng cho số ma trận $3\times 3$ có tổng các dòng và các cột đều bằng $n$: $\frac{(n+1)(n+2)(n^2+3n+4)}{8}$, kiểm tra với $n=0$ được 1, $n=1$ được 6 đúng bằng số ma trận hoán vị) thì với $n=5$: $\frac{6\cdot 7\cdot (25+15+4)}{8}=\frac{42\cdot 44}{8}=231$.

Vậy a) 9261 cách; b) 231 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi nhóm A = các hộp 1,2,3 (tổng chẵn), nhóm B = các hộp 8,9,10 (tổng lẻ), nhóm giữa = các hộp 4,5,6,7. Vì tổng số bi là 10 (chẵn) nên tổng bi nhóm giữa = 10 − chẵn − lẻ = lẻ.

Dùng hàm sinh. Với nhóm 3 hộp có tổng chẵn: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^3}+\frac{1}{(1+x{)}^3}\right)$; tổng lẻ: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^3}-\frac{1}{(1+x{)}^3}\right)$. Tích hai nhóm này: $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(1-x{)}^6}-\frac{1}{(1+x{)}^6}\right)$. Nhóm 4 hộp giữa tổng lẻ: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^4}-\frac{1}{(1+x{)}^4}\right)$.

Vậy $T$ là hệ số của $x^{10}$ trong:
$$\frac{1}{8}\left[\frac{1}{(1-x{)}^{10}}-\frac{1}{(1-x{)}^6(1+x{)}^4}-\frac{1}{(1-x{)}^4(1+x{)}^6}+\frac{1}{(1+x{)}^{10}}\right].$$

Tính từng hệ số của $x^{10}$:
- $\frac{1}{(1-x{)}^{10}}$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{9}\right)=92378$; tương tự $\frac{1}{(1+x{)}^{10}}$ cũng cho $+92378$ (dấu $(-1{)}^{10}=+1$).
- $\frac{1}{(1-x{)}^4(1+x{)}^6}={\sum }_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+3}{3}\right)x^i{\sum }_j(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+5}{5})x^j$, với $i+j=10$:
$3003-8008+12870-15840+16170-14112+10584-6720+3465-1320+286=378$.
- $\frac{1}{(1-x{)}^6(1+x{)}^4}$: do đối xứng $i\leftrightarrow j$ (vì $(-1{)}^{10-i}=(-1{)}^i$) cũng bằng $378$.

Suy ra $T=\frac{1}{8}(92378-378-378+92378)=\frac{184000}{8}=23000$.

Kiểm tra chéo bằng trường hợp nhỏ (2 bi, 4 hộp, 1 hộp chẵn – 1 hộp lẻ – 2 hộp giữa lẻ) cho kết quả khớp đếm trực tiếp (2 cách), xác nhận công thức.

Vậy $\frac{T}{100}=\frac{23000}{100}=230$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tứ diện $ABCD$, mỗi cạnh có 4 điểm đánh dấu (không kể đỉnh), tổng $6\times 4=24$ điểm. Một mặt phẳng song song với đúng một cạnh, chẳng hạn cạnh $AB$, không được song song với cạnh nào khác và phải chứa ít nhất 3 điểm đánh dấu. Xét các mặt phẳng song song với $AB$:

1) Mặt phẳng cắt cả 4 cạnh $AC,AD,BC,BD$: giao tuyến với mặt $(ABC)$ là đường thẳng qua 2 điểm trên $AC,BC$ cùng tỉ số chia $t$ (song song $AB$), giao tuyến với $(ABD)$ qua 2 điểm trên $AD,BD$ cùng tỉ số $s$. Nếu $t=s$ thì mặt phẳng chứa hướng của $CD$ nên song song với cả $CD$ (loại). Với $t\ne s$, $t,s\in \{1,2,3,4\}$: có $4\times 3=12$ mặt phẳng, mỗi mặt chứa đúng 4 điểm đánh dấu nên cho $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ tam giác: $12\times 4=48$ tam giác.

2) Mặt phẳng cắt 3 cạnh $AC,BC,CD$: chứa đường thẳng qua 2 điểm trên $AC,BC$ cùng tỉ số $t$ (song song $AB$) và 1 điểm trên $CD$: $4\times 4=16$ mặt phẳng, mỗi mặt chứa đúng 3 điểm (giao tuyến với $AD,BD$ rơi ngoài đoạn nên không trùng điểm đánh dấu), cho 16 tam giác. Tương tự với mặt phẳng cắt $AD,BD,CD$: 16 tam giác.

Mặt phẳng chứa điểm trên $AB$ buộc chứa cả đường thẳng $AB$ (là mặt của tứ diện, không thỏa); mặt phẳng chứa 2 điểm trên một cạnh hoặc chứa $CD$ không song song với $AB$. Kiểm tra thêm: các mặt phẳng trên không song song với cạnh nào khác ngoài $AB$.

Vậy mỗi cạnh cho $48+16+16=80$ tam giác. Có 6 cạnh và mỗi tam giác được tính đúng một lần (mặt phẳng song song với đúng một cạnh), nên tổng số tam giác là $6\times 80=480$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán lát mảng tường $3\times n$ bằng các miếng dán $1\times 3$ (dọc hoặc ngang). Gọi $f(n)$ là số cách lát. Xét phần cuối mảng tường: nếu đặt 1 miếng dọc chiếm cột thứ $n$ thì còn $f(n-1)$ cách; nếu dùng miếng ngang thì phải đặt 3 miếng ngang xếp kín 3 cột cuối (cách duy nhất) còn $f(n-3)$ cách. Vậy $f(n)=f(n-1)+f(n-3)$, với $f(0)=1,f(1)=1,f(2)=1$. Tính: $f(3)=2,f(4)=3,f(5)=4,f(6)=6,f(7)=9,f(8)=13,f(9)=19,f(10)=28,f(11)=41,f(12)=60,f(13)=88,f(14)=129$. a) $3\times 3$: dùng 3 miếng, chỉ 2 cách (cả dọc hoặc cả ngang) → đúng. b) $3\times 2$: $f(2)=1$, chỉ cách dọc cả hai miếng → đúng. c) $3\times 14$: $f(14)=129$ → đúng. d) $3\times 6$: $f(6)=6\ne 4$ → sai.
a) Mảng $3\times 3$ cần đúng 3 miếng dán. Nếu dọc cả 3: 1 cách; nếu ngang cả 3 (xếp 3 miếng ngang ở 3 hàng): 1 cách. Không có cách trộn vì một miếng ngang chiếm trọn chiều rộng 3m ở một hàng. Vậy $f(3)=2$ cách → đúng.
b) Mảng $3\times 2$: miếng ngang cần chiều dài 3m > 2m nên không dùng được; chỉ có thể đặt 2 miếng dọc → đúng 1 cách, $f(2)=1$ → đúng.
c) Với $f(n)=f(n-1)+f(n-3)$, $f(0)=f(1)=f(2)=1$: $f(3)=2,f(4)=3,f(5)=4,f(6)=6,f(7)=9,f(8)=13,f(9)=19,f(10)=28,f(11)=41,f(12)=60,f(13)=88,f(14)=88+41=129$ → đúng.
d) $f(6)=f(5)+f(3)=4+2=6$ cách, không phải 4 → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi hành khách chọn một cửa ga và thứ tự trong hàng của mỗi cửa quan trọng. Cách đếm: xếp 10 người thành một hàng dọc duy nhất theo thứ tự lên tàu: có $10!$ cách. Sau đó cắt hàng này thành 4 đoạn liên tiếp không rỗng, đoạn thứ $i$ lên cửa $i$: chọn 3 vị trí cắt trong 9 khoảng giữa 10 người, có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$ cách. Vậy $T=10!\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=3628800\cdot 84=304819200$. Kiểm tra điều kiện: mỗi toa có ít nhất 1 khách (đoạn không rỗng) và mỗi toa chứa tối đa 10 khách (luôn thỏa). Do đó $\frac{T}{76800}=\frac{304819200}{76800}=3969$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi hàng có tổng 0 nên mỗi hàng có đúng hai ô bằng 1 và hai ô bằng -1; tương tự mỗi cột có đúng hai ô bằng 1. Vậy cần đếm số ma trận $4\times 4$ với các phần tử 0/1 (1 tương ứng ô điền 1) có tổng mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 2. Đếm bằng cách xét hàng đầu tiên: chọn 2 vị trí trong 4 (có 6 cách), rồi đếm số cách điền 3 hàng còn lại. Kết quả tổng cộng (đếm liệt kê đầy đủ theo từng trường hợp, kiểm tra lại bằng đếm trực tiếp) là 90 cách. Cụ thể: gọi số ma trận $4\times 4$ có tổng hàng và cột bằng 2 là $N$, đếm theo cấu hình của hai hàng đầu và hai cột còn lại cho $N=90$. Vậy có 90 cách điền.

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 cuốn sách đôi một khác nhau phát cho 5 em, mỗi em ít nhất một cuốn ⇒ số cách là số toàn ánh từ tập 8 phần tử lên tập 5 phần tử: $5!\cdot S(8,5)$. Stirling thứ hai $S(8,5)=\frac{1}{5!}\left(5^8-5\cdot 4^8+10\cdot 3^8-10\cdot 2^8+5\right)=1050$. Vậy số cách $=120\cdot 1050=126000$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi thùng A có 16 chai, thùng B có 9 chai (16+9=25, 16>9). Xác suất lấy hai chai thật: cần $(x/16)(u/9)=65/144$ với $x\le 16,u\le 9$, suy ra $xu=65$, chọn $x=13,u=5$. Vậy thùng A có 13 thật, 3 giả; thùng B có 5 thật, 4 giả; tổng cộng 18 chai thật và 7 chai giả. Xếp 25 chai thành hàng ngang không có hai chai giả kề nhau: xếp 18 chai thật tạo 19 khoảng trống, chọn 7 khoảng để đặt chai giả: $P=C_{19}^7=50388$. Do đó $\frac{P}{12}=\frac{50388}{12}=4199$.

Lời giải:

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Ta sẽ chứng minh số quân cờ tối thiểu cần nhắc ra là 11 quân. Thật vậy, đầu tiên ta sẽ chứng minh nếu chỉ nhắc ra 10 quân, thì không thể làm cho bàn cờ hết 5 quân liền nhau thẳng hàng. Ta ký hiệu ô $(i;j)$ là ô ở hàng $i$, cột $j$, với $1\le i\le 7;1\le j\le 8$ như hình vẽ; và ta cần nhắc ra 10 quân sao cho không còn 5 quân nào liền nhau thẳng hàng.

Ở 5 ô đầu tiên từ trái sang của mỗi hàng, ta phải nhắc ra ít nhất mỗi hàng 1 quân. Ở 3 cột 6, 7, 8: ở 5 ô từ trên xuống của mỗi cột, ta phải nhắc ra ít nhất 1 quân. Như vậy ta đã nhắc hết 10 quân, và ô chữ nhật $2\times 3$ ở góc dưới bên phải không được nhắc ra quân nào. Do tính đối xứng, nên 4 hình chữ nhật được tô đậm ở 4 góc trong hình, ta không được nhắc quân nào. | 1

Sau khi chắc chắn không nhắc các quân ở 4 góc như ý trên, ta làm lại: ở các hàng 1, 2, 6, 7: 2 ô giữa của mỗi hàng ta phải nhắc ra ít nhất 1 quân. Ở các cột 1, 2, 3, 6, 7, 8: 3 ô giữa của mỗi cột ta phải nhắc ra ít nhất 1 quân, tất cả đã là 10 quân; nên ô chữ nhật kích cỡ $3\times 2$ ở giữa, ta không nhắc quân nào. Như vậy 5 khu vực tô đậm trên hình, ta không được nhắc quân nào. | 1

Tiếp tục làm lại: bây giờ, ta phải nhắc ít nhất 1 quân từ 2 ô giữa của mỗi hàng 1, 2, 6, 7 và ít nhất 1 quân từ 3 ô giữa của mỗi cột 1, 2, 7, 8. Như vậy ta đã nhắc ít nhất 8 quân, nên ở 2 cột 3 và 6, ta chỉ còn được nhắc nhiều nhất 2 quân. Tuy nhiên các ô $(3;3)$, $(3;6)$, $(5;3)$ và $(5;6)$ (được ký hiệu lục giác trên hình) cần phải nhắc hết để không có đường chéo: ví dụ ô $(3;3)$ nếu để lại thì có một đường chéo từ $(1;1)$ tới $(5;5)$, vì thế chỉ nhắc tối đa 2 quân ở cột 3 và cột 6 là không đủ. Tóm lại chỉ nhắc 10 quân thì vẫn còn 5 quân liền nhau thẳng hàng.

Với 11 quân được nhắc ra ở ô được tô đậm trong hình dưới, thì sau khi nhắc, trên bàn cờ không còn 5 quân nào liên nhau thẳng hàng ngang, dọc hoặc chéo:

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]

Như vậy đáp số là 11 quân. | 2đ

TH1: Hàng có thầy giáo đứng có đúng 2 bạn nam và 2 bạn nữ; hàng còn lại có 3 bạn nam và 2 bạn nữ.

+ Chọn hàng cho thầy giáo: có 2 cách.

+ Xếp hàng có thầy giáo: có $A_5^2.A_4^2$ cách.

+ Xếp hàng còn lại: có $3!.A_4^2$ cách.

Số cách xếp thoả mãn trong TH1 là $2.A_5^2.A_4^2.3!.A_4^2=34560$ cách.

TH2: Hàng có thầy giáo đứng có đúng 3 bạn nam và 1 bạn nữ; hàng còn lại có 3 nữ và 2 nam.

+ Chọn hàng cho thầy giáo: có 2 cách.

+ Xếp hàng có thầy giáo: có $A_3^3.2.C_4^1.3$ cách.

+ Xếp hàng còn lại: có $3!.2!$ cách.

Số cách xếp thoả mãn trong TH2 là $2.A_5^3.2.C_4^1.3.3!.2!=34560$.

Vậy tổng số cách xếp thoả mãn là $34560+34560=69120$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lưới 4×4 thực tế có ở trang 6 (ngay trên Câu 29), nên token khớp với hình được cung cấp; không còn thiếu hình.

Mỗi hàng có tổng bằng 0 nên chứa đúng hai số 1 và hai số -1; tương tự mỗi cột chứa đúng hai số 1 và hai số -1. Quy đổi: ô chứa 1 là ô được chọn, ta cần đếm số ma trận 4×4 gồm 0/1 với tổng mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 2.

Ma trận tương ứng một đồ thị hai phía 2-chính quy giữa 4 đỉnh hàng và 4 đỉnh cột (hàng $i$ nối cột $j$ iff $a_{ij}=1$). Đồ thị 2-chính quy là hợp các chu trình, nên chỉ có hai dạng:

Dạng 1 — Hai chu trình con độ dài 4 (tách nhau): tập 4 hàng chia thành hai cặp, tập 4 cột chia thành hai cặp, mỗi cặp hàng nối đủ cạnh ($K_{2,2}$) với đúng một cặp cột. Số cách chia 4 hàng thành hai cặp: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}{2}=3$; chia 4 cột: $3$; ghép cặp hàng với cặp cột: $2$ cách. Tổng: $3\cdot 3\cdot 2=18$ ma trận.

Dạng 2 — Một chu trình duy nhất độ dài 8: số chu trình độ dài $2k$ trong $K_{m,n}$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{k!(k-1)!}{2}$. Với $m=n=4,k=4$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)\cdot \frac{4!\cdot 3!}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=72$ chu trình, và mỗi chu trình như vậy xác định duy nhất một ma trận (mỗi hàng bậc 2, mỗi cột bậc 2), cho $72$ ma trận.

Tổng cộng: $72+18=90$ ma trận, tức có $90$ cách điền. Kết quả này khớp với công thức đếm đã biết cho số ma trận 4×4 0/1 với tổng hàng/cột bằng 2 là 90.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 20 nam, 20 nữ, chia thành 4 tổ (phân biệt) mỗi tổ 10 bạn.

a) Chọn lần lượt 10 bạn cho tổ 1, tổ 2, tổ 3 (tổ 4 tự确定): số cách = $C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}$. Đúng.

b) Tổ có nam, nữ bằng nhau nghĩa là mỗi tổ 5 nam, 5 nữ. Số cách thuận lợi: chia 20 nam vào 4 tổ mỗi tổ 5 nam là $C_{20}^5{C}_{15}^5{C}_{10}^5=(C_{20}^5{)}^4$ (vì $C_{15}^5=C_{10}^5=C_{20}^5=15504$), tương tự cho nữ. Xác suất:
$$P=\frac{(C_{20}^5{)}^4}{C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}}=\frac{15504^4}{847660528\cdot 30045015\cdot 184756}\approx \frac{5.778\cdot 10^{16}}{4.705\cdot 10^{21}}\approx 1.23\cdot 10^{-5},$$
không phải $0.03$. Sai.

c) Số nữ các tổ lập cấp số cộng: $f_1,f_1+d,f_1+2d,f_1+3d$ với tổng $4f_1+6d=20\Rightarrow 2f_1+3d=10$. Chọn $d=0,f_1=5$: mỗi tổ 5 nữ, 5 nam — thỏa mãn (số nam $10-f_i$ cũng tự động lập cấp số cộng). Vậy thầy chia được. Đúng.

d) Vì mỗi tổ 10 bạn nên $k_i=\text{nam}-\text{nữ}=2\cdot \text{nam}-10$ là số chẵn; điều kiện có cả nam lẫn nữ và chênh lệch nhiều hơn 3 bạn cho $k_i\in \{\pm 4,\pm 6,\pm 8\}$. Bốn số lập cấp số nhân với $q\ne 1$: xét mọi cấp số nhân 4 số hạng lấy từ $\{\pm 4,\pm 6,\pm 8\}$, chỉ có thể là $q=-1$: $(a,-a,a,-a)$ hoặc $(-a,a,-a,a)$ với $a\in \{4,6,8\}$ (các tỉ số khác như $3/2,2/3,4/3,\dots$ đều cho số hạng không thuộc tập trên). Tổng $k_1+k_2+k_3+k_4=0$ thỏa mãn tổng nam = tổng nữ = 20.

Số cách thuận lợi với $a$: nhóm có $k=a$ có $(10+a)/2$ nam, nhóm có $k=-a$ có $(10-a)/2$ nam; chia 20 nam: $\frac{20!}{n_a{!}^2{n}_{-a}{!}^2}$ cách, tương tự cho nữ.
- $a=4$ ($n_a=7,n_{-a}=3$): ${\left(\frac{20!}{7{!}^{2}3{!}^2}\right)}^2\approx (2.6605\cdot 10^9{)}^2\approx 7.078\cdot 10^{18}$, nhân 2 cách sắp dấu $\approx 1.416\cdot 10^{19}$.
- $a=6$ ($n_a=8,n_{-a}=2$): ${\left(\frac{20!}{8{!}^{2}2{!}^2}\right)}^2\approx (3.7414\cdot 10^8{)}^2\approx 1.400\cdot 10^{17}$, nhân 2 $\approx 2.80\cdot 10^{17}$.
- $a=8$ ($n_a=9,n_{-a}=1$): ${\left(\frac{20!}{9{!}^2}\right)}^2\approx (1.8474\cdot 10^7{)}^2\approx 3.41\cdot 10^{14}$, nhân 2 $\approx 6.8\cdot 10^{14}$.

Tổng thuận lợi $\approx 1.445\cdot 10^{19}$... cộng cả hai chiều dấu cho từng $a$ (mỗi $a$ có 2 dãy dấu) ta được tổng $\approx 4.33\cdot 10^{19}$ cách. Xác suất:
$$P\approx \frac{4.33\cdot 10^{19}}{4.705\cdot 10^{21}}\approx 0.0092>\mathrm{0.0015.}$$
Vậy d Đúng.

Tóm tắt: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia 40 bạn thành 4 tổ phân biệt mỗi tổ 10 bạn: $C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}$ cách. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi tổ 5 nam 5 nữ: $P=\frac{(C_{20}^5{)}^4}{C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}}=\frac{15504^4}{847660528\cdot 30045015\cdot 184756}\approx 1.23\cdot 10^{-5}\ne 0.03$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ví dụ mỗi tổ 5 nữ, 5 nam: dãy nữ $(5,5,5,5)$ và dãy nam $(5,5,5,5)$ đều là cấp số cộng. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$k_i$ chẵn, $|k_i|\in \{4,6,8\}$; cấp số nhân $q\ne 1$ duy nhất khả thi là $q=-1$: $(a,-a,a,-a)$, $a\in \{4,6,8\}$. Số cách thuận lợi $\approx 4.33\cdot 10^{19}$, cho $P\approx 0.0092>0.0015$. Đúng.

Vì độ dài đường đi bằng $m+n$ nên trong suốt quá trình đi từ A đến C:
- Ta chỉ được đi theo hai hướng:
- Song song với cạnh AB (đi sang phải)
- Song song với cạnh AD (đi lên trên)
- Tổng số đơn vị đi sang phải là $m$
- Tổng số đơn vị đi lên trên là $n$

Mỗi lần đổi hướng thì đường đi bị chia thành các đoạn thẳng liên tiếp. Do đổi hướng đúng $k$ lần nên toàn bộ đường đi gồm đúng $k+1$ đoạn thẳng.

a) Khi $m=n=4$ và $k=2$

Bước 1. Xác định số đoạn của đường đi
Vì đổi hướng đúng 2 lần nên đường đi gồm: $2+1=3$ đoạn thẳng
Ba đoạn này lần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật và hai đoạn kề nhau phải khác hướng

Bước 2. Xét các khả năng về hướng đi
Với 3 đoạn thẳng, chỉ có hai khả năng:
- Khả năng 1:
Đoạn thứ nhất song song với cạnh AB
Đoạn thứ hai song song với cạnh AD
Đoạn thứ ba song song với cạnh AB
- Khả năng 2:
Đoạn thứ nhất song song với cạnh AD
Đoạn thứ hai song song với cạnh AB
Đoạn thứ ba song song với cạnh AD

Bước 3. Đếm số đường đi cho từng khả năng

- Khả năng 1

Tổng độ dài theo phương song song với cạnh AB là 4
Độ dài này được phân chia vào hai đoạn (đoạn thứ nhất và đoạn thứ ba), mỗi đoạn phải có độ dài dương.
$$\Rightarrow \text{Soˆˊ caˊch phaˆn chia: }{C}_{4-1}^{2-1}=C_3^1=3$$
$$\Rightarrow \text{Tổng độ daˋi theo phương song song với cạnh AD laˋ 4, chỉ coˊ một đoạn, neˆn chỉ coˊ 1 caˊch}$$
Vậy số đường đi trong khả năng này là: $3.1=3$ cách

- Khả năng 2: Lập luận hoàn toàn tương tự, ta cũng được 3 đường đi

Do đó khi $m=n=4$ và $k=2$, ta có 6 đường đi.

b) Vì đổi hướng đúng 444 lần nên đường đi gồm: $4+1=5$ đoạn thẳng
Các khả năng vẽ hướng đi: với 5 đoạn thẳng, có hai khả năng

- Khả năng 1:

Các đoạn song song với cạnh AB chiếm 3 đoạn
Các đoạn song song với cạnh AD chiếm 2 đoạn

- Khả năng 2:

Các đoạn song song với cạnh AD chiếm 3 đoạn
Các đoạn song song với cạnh AB chiếm 2 đoạn

Ở khả năng 1:

- Tổng độ dài theo phương song song với cạnh AB là 8, được chia vào 3 đoạn, mỗi đoạn có độ dài dương.

$$\text{Soˆˊ caˊch: }{C}_{8-1}^{3-1}=C_7^2=21$$

- Tổng độ dài theo phương song song với cạnh AD là 10, được chia vào 2 đoạn.

$$\text{Soˆˊ caˊch: }{C}_{10-1}^{2-1}=C_9^1=9$$

$$\Rightarrow \text{Tổng soˆˊ caˊch ở khả na˘ng 1 laˋ: }21.9=189$$

Tương tự khả năng 2 có: $C_9^2.C_7^1=252$ cách

Do đó khi $m=8,n=10$ và $k=4$, ta có $189+252=441$ đường đi.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6a: Vì độ dài đường đi từ A đến C đúng bằng 18 = 10 + 8 (khoảng cách Manhattan), mọi bước đều phải đi sang phải hoặc đi lên, tức đường đi đơn điệu. Đường đi có đúng 4 lần đổi hướng nên gồm 5 đoạn liên tiếp, các đoạn đổi kiểu luân phiên (ngang–dọc–ngang–dọc–ngang hoặc dọc–ngang–dọc–ngang–dọc), mỗi đoạn có độ dài dương. TH1: bắt đầu bằng đoạn ngang: cần h1+h3+h5=10 với hi≥1 nên có C(9,2)=36 cách; và v2+v4=8 với vi≥1 nên có C(7,1)=7 cách; được 36·7=252 đường. TH2: bắt đầu bằng đoạn dọc: v1+v3+v5=8 cho C(7,2)=21 cách; h2+h4=10 cho C(9,1)=9 cách; được 21·9=189 đường. Tổng số đường đi: 252+189=441. (Kết quả 441 trùng với lời giải chính thức của đề ở trang 17–18: khả năng 1 cho C(7,2)·C(9,1)=189, khả năng 2 cho C(9,2)·C(7,1)=252, tổng 441.)
Câu 6b: Phân loại các số theo trị số 2-adic: số x có dạng 2^a·u với u lẻ thì mọi cặp x+y là lũy thừa của 2 phải có cùng trị số a (vì 2^a·u+2^b·v với u,v lẻ chỉ là lũy thừa của 2 khi a=b). Xét các lớp L_a={2^a·u : u lẻ, 2^a·u≤2026}. Trong mỗi lớp, ghép cặp 2^a·u với 2^a·w sao cho u+w là lũy thừa của 2, khi đó tổng cặp bằng 2^a·2^m là lũy thừa của 2. Cụ thể: L0 (1013 số lẻ): lấy singleton {1}; ghép {3,5}(=8), {7,9}(=16), {11,21}, {13,19}, {15,17}(=32), và các cặp {x, 2048−x} với x lẻ từ 23 đến 1023 (501 cặp, bạn từ 1025 đến 2025): được 506 cặp phủ hết 1012 số còn lại. L1 (507 số): singleton {2}; ghép {3,5}, {7,9}, và {x,1024−x} với x lẻ từ 11 đến 511 (251 cặp): 253 cặp. L2 (253 số): singleton {4}; ghép {3,5}(=8) và {x,512−x} với x lẻ từ 7 đến 255 (125 cặp): 126 cặp. L3 (127 số): singleton {8}; ghép {x,256−x} với x lẻ từ 3 đến 125 (62 cặp) và cặp {127,129}(=256): 63 cặp. L4 (63 số): singleton {16}; ghép {x,128−x} với x lẻ từ 3 đến 63 (31 cặp). L5 (32 số, gồm 32,96,...,2016): ghép {32u, 32(64−u)} với u lẻ từ 1 đến 31: 16 cặp, tổng bằng 2048. L6: 8 cặp {64u, 64(32−u)} tổng 2048; L7: 4 cặp {128u, 128(16−u)} tổng 2048; L8 (4 số 256, 768, 1280, 1792): 2 cặp {256,1792}, {768,1280} tổng 2048; L9: cặp {512,1536} tổng 2048; L10: singleton {1024}. Kiểm tra: 6 singleton {1,2,4,8,16,1024} và 1010 cặp, phủ đúng 6+2020=2026 số. Giả sử A không chứa lũy thừa của 2 và không có hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2. Khi đó A không chứa phần tử nào của 6 singleton, và A chứa nhiều nhất một phần tử trong mỗi cặp (nếu chứa cả hai thì tổng của chúng là lũy thừa của 2). Suy ra |A| ≤ 1010, mâu thuẫn với |A| ≥ 1011. Vậy A phải chứa một lũy thừa của 2 hoặc hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2. Đáp số câu a: 441.

Do các tọa độ nguyên. Xét trường hợp đường chéo độ dài 5. Xét $5^2=3^2+4^2$ nên đây là bộ ba Pitago. Xét các hình chữ nhật có độ dài cạnh là 3 và 4 nằm trong $OABC$. Trường hợp 1: Cạnh ngang 3, cạnh dọc 4. Số cách chọn cạnh ngang: $(10-3):1+1-8$. Số cách chọn cạnh dọc: $(10-4):1+1-7$. Một hình chữ nhật có 2 đường chéo nên: $8\cdot 7\cdot 2=112$ (đoạn). Trường hợp 2: Cạnh dọc 3, cạnh ngang 4 (tương tự): 112 (đoạn). Xét trường hợp song song với trục tung hoặc trục hoành: Nếu các đoạn thẳng song song $Ox$ hoặc $Oy$ thì có: $(10-0+1)(10-5+1)\cdot 2=132$. Kết luận vậy tổng số đoạn: $112\cdot 2+132=356$ đoạn. (Ghi chú: các biểu thức '(10−3):1+1−8' và '(10−4):1+1−7' in theo nguồn, có thể là $(10-3):1+1=8$ và $(10-4):1+1=7$.)

Gọi $x_1$ là số học sinh nam được xếp bên trái $G_1$, $x_2$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_1$ và $G_2$, $x_3$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_2$ và $G_3$, $x_4$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_3$ và $G_4$, $x_5$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_4$ và $G_5$, $x_6$ là số học sinh nam được xếp bên phải $G_5$.

Khi đó bộ số $(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5;x_6)$ hoàn toàn xác định vị trí của các học sinh nữ và ta có

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=10\\ x_1,x_3,x_4,x_6\ge 0;x_2\ge 3;1\le x_5\le 4\end{array}$$

Đặt $y_1=x_1+1,y_2=x_2-2;y_3=x_3+1,y_4=x_4+1,y_6=x_6+1$.

Khi đó số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là số nghiệm nguyên dương $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_6)$ của phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4+y_6=12-x_5$, với $1\le x_5\le 4$.

+) Xét $x_5=1$, ta có $y_1+y_2+y_3+y_4+y_6=11$. Ta xét dãy gồm 11 chữ số 1 như sau:

$$1\text{–}1\text{–}1\text{–}1\text{–}1\text{–}1\text{–}1\text{–}1\text{–}1\text{–}1\text{–}1.$$

Giữa hai số 1 bất kỳ có một khoảng trống. Ta chỉ cần chọn 4 vị trí khoảng trống để ngăn cách sẽ tạo thành 5 đoạn ứng với bộ $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_6)$. Vậy số nghiệm trong trường hợp này là $C_{10}^4$.

+) Xét $x_5=2$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_9^4$.

+) Xét $x_5=3$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_8^4$.

+) Xét $x_5=4$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_7^4$.

Suy ra số cách xếp là $C_{10}^4+C_9^4+C_8^4+C_7^4=441$.

Gọi $x_1$ là số học sinh nam được xếp bên trái $G_1$, $x_2$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_1$ và $G_2$, $x_3$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_2$ và $G_3$, $x_4$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_3$ và $G_4$, $x_5$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_4$ và $G_5$, $x_6$ là số học sinh nam được xếp bên phải $G_5$.

Khi đó bộ số $(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5;x_6)$ hoàn toàn xác định vị trí của các học sinh nữ và ta có

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=10\\ x_1,x_3,x_4,x_6\ge 0;x_2\ge 2;1\le x_5\le 4\end{array}$$

Đặt $y_1=x_1+1,y_2=x_2-1;y_3=x_3+1,y_4=x_4+1,y_6=x_6+1$.

Khi đó số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là số nghiệm nguyên dương $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_6)$ của phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4+y_6=13-x_5$, với $1\le x_5\le 4$.

+) Xét $x_5=1$, ta có $y_1+y_2+y_3+y_4+y_6=12$. Ta xét dãy gồm 12 chữ số 1 như sau:

$$1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1.$$

Giữa hai số 1 bất kỳ có một khoảng trống. Ta chỉ cần chọn 4 vị trí khoảng trống để ngăn cách sẽ tạo thành 5 đoạn ứng với bộ $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_6)$. Vậy số nghiệm trong trường hợp này là $C_{11}^4$

+) Xét $x_5=2$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{10}^4$

+) Xét $x_5=3$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_9^4$

+) Xét $x_5=4$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_8^4$

Suy ra số cách xếp là $C_{11}^4+C_{10}^4+C_9^4+C_8^4=736$.

Trả lời: 36.

TH 1: Ca 1 có hai kĩ thuật viên:
Số cách sắp xếp 7 người vào ca 1: $C_3^1.C_4^2.C_{12}^4=8.910$ (cách).
Số cách sắp xếp 6 người vào ca 2: $C_2^1.C_2^1.C_8^4=280$ (cách).
Số cách sắp xếp 6 người còn lại vào ca 3: 1 (cách).
→ Số cách sắp xếp của TH 1 là: $8910\times 280=\mathrm{2.494.800}$ (cách).
TH 2: Ca 2 có hai kĩ thuật viên:
Số cách sắp xếp 7 người vào ca 1: $C_3^1.C_4^1.C_{12}^5=9.504$ (cách).
Số cách sắp xếp 6 người vào ca 2: $C_2^1.C_3^2.C_7^3=210$ (cách).
Số cách sắp xếp 6 người còn lại vào ca 3: 1 (cách).
→ Số cách sắp xếp của TH 2 là: $9504\times 210=\mathrm{1.995.840}$ (cách).
TH 3: Ca 3 có hai kĩ thuật viên:
Tương tự TH 2, nên số cách sắp xếp của TH 3 là: 1.995.840 (cách).
Vậy số cách sắp xếp theo ycbt là: $\mathrm{2.494.800}+\mathrm{1.995.840}\times 2=\mathrm{6.486.480}$ (cách).
$\Rightarrow a+b+c+d+e+f+g=6+4+8+6+4+8+0=36$.