Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tập hợp và phép toán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tập $B$: phương trình $(x^2-4)(x^3-4x^2+3x)=0$ có nghiệm $x=\pm 2$ và $x(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=0;1;3$. Vì $x\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$ (số nguyên khác 0) nên $B=\{-2;1;2;3\}$. Tập $C$: $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0\iff (x-m)(x-m-1)=0\Rightarrow C=\{m;m+1\}$. Yêu cầu $A\cup C=B$ với $A=\{-2;1;2\}$: cần $C\subseteq B$ và $3\in A\cup C$, tức $3\in C$. Các khả năng: nếu $m=2$ thì $C=\{2;3\}\subseteq B$ và $A\cup C=\{-2;1;2;3\}=B$ (thỏa mãn); nếu $m+1=3$, tức $m=2$ (đã xét); nếu $m=1$ thì $C=\{1;2\}\subseteq A$ nên $A\cup C=A\ne B$ (loại); các cặp khác như $\{m;m+1\}=\{-2;-1\}$ không nằm trong $B$. Vậy chỉ có $m=2$ thỏa mãn, tức có 1 giá trị của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=\{x\in \mathbb{R}:|x-m|\le 25\}=[m-25;m+25]$ và $B=\{x\in \mathbb{R}:|x|\ge 2020\}=(-\infty ;-2020]\cup [2020;+\infty )$.

Để $A\cap B=\varnothing$ thì đoạn $[m-25;m+25]$ không chứa bất kỳ điểm nào của $B$, tức là:
$$m+25<2020\text{vaˋ}m-25>-2020.$$
Giải hai bất phương trình:
$$m<1995\text{vaˋ}m>-1995⟺-1995<m<1995.$$

Số giá trị nguyên của $m$ là các số nguyên từ $-1994$ đến $1994$:
$$1994-(-1994)+1=3989.$$

Vậy có $3989$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $A\cap B=\varnothing$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là tập học sinh tham gia tiết mục múa, H là tập học sinh tham gia tiết mục hát. Có 12 học sinh, 4 học sinh không tham gia tiết mục nào nên số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục là $|M\cup H|=12-4=8$. Theo công thức $|M\cup H|=|M|+|H|-|M\cap H|$, ta có $8=5+|H|-3$, suy ra $|H|=6$. Vậy có 6 học sinh tham gia tiết mục hát.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp các số tự nhiên không quá 20 là $A=\{0,1,2,\dots ,20\}$. Số phần tử của $A$ là $20-0+1=21$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Các phần tử chung của $A=\{0;2;4\}$ và $B=\{0;1;2;3\}$ là $0$ và $2$, nên $A\cap B=\{0;2\}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1: Xét hai phép biến đổi $f(x)=\frac{1}{x}$ và $g(x)=1-x$ trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Từ $x\in A$ ta phải có đồng thời các phần tử: $x,\frac{1}{x},1-x,\frac{1}{1-x},\frac{x}{x-1},\frac{x-1}{x}$ (đây là các ảnh của $x$ dưới nhóm sinh bởi $f,g$, vì $f\circ f=\mathrm{id}$, $g\circ g=\mathrm{id}$, $f\circ g\circ f(x)=\frac{x}{x-1}$, v.v.). Nếu $x$ không phải điểm bất động của bất kỳ phép biến đổi nào trong 6 phép trên thì 6 giá trị này đôi một khác nhau, khi đó $A$ phải có ít nhất 6 phần tử, mâu thuẫn với ii). Xét các trường hợp trùng nhau:
• $x=\frac{1}{x}\Rightarrow x=\pm 1$. Với $x=1$ thì $1-x=0\notin \mathbb{R}\setminus \{0\}$, loại. Với $x=-1$: hợp lệ.
• $x=1-x\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
• $x=\frac{1}{1-x}\iff x^2-x+1=0$: vô nghiệm thực.
• $x=\frac{x}{x-1}\Rightarrow x=2$; $x=\frac{x-1}{x}\iff x^2-x+1=0$: vô nghiệm.
Như vậy mọi phần tử của $A$ phải nằm trong quỹ đạo $\left\{-1,\frac{1}{2},2\right\}$ (kiểm tra: từ $-1$ ta có $\frac{1}{-1}=-1$, $1-(-1)=2$; từ $2$ ta có $\frac{1}{2}$ và $1-2=-1$; từ $\frac{1}{2}$ ta có $2$ và $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$). Vì $A\ne \varnothing$ nên $A$ phải chứa trọn quỹ đạo này, vậy $A=\left\{-1,\frac{1}{2},2\right\}$. Thử lại: tập này có 3 phần tử $\le 5$, khác rỗng, và đóng dưới cả hai phép biến đổi. Vậy $A=\left\{-1,\frac{1}{2},2\right\}$ là tập duy nhất thỏa mãn.

Bài 2: Đánh số các số theo chiều tròn là $a_1,a_2,\dots ,a_{101}$ và đặt $S_0=0$, $S_i=a_1+a_2+\cdots +a_i$ với $i=1,2,\dots ,100$. Vì các $a_i$ đều nguyên dương và tổng bằng 300 nên $0=S_0<S_1<\cdots <S_{100}\le 299$ (do $a_{101}\ge 1$).
Xét 101 số $S_0,S_1,\dots ,S_{100}$ theo mô-đun 100: chúng chỉ có thể nhận 100 giá trị dư nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại $0\le i<j\le 100$ sao cho $S_j\equiv S_i(\mathrm{mod}100)$, tức $S_j-S_i=100k$ với $k\in \{1,2,3\}$ (hiệu dương do dãy tăng ngặt).
• Nếu $k=3$: $S_j-S_i=300$, nhưng $S_j\le 299$, vô lý. Vậy $k\in \{1,2\}$.
• Nếu $k=1$: dãy các số viết liền nhau $a_{i+1},a_{i+2},\dots ,a_j$ có tổng $S_j-S_i=100$.
• Nếu $k=2$: dãy $a_{i+1},\dots ,a_j$ có tổng 200; khi đó phần còn lại của đường tròn, tức dãy $a_{j+1},\dots ,a_{101},a_1,\dots ,a_i$, cũng là dãy các số viết liền nhau trên đường tròn và có tổng $300-200=100$.
Vậy trong mọi trường hợp luôn tồn tại một dãy các số viết liền nhau có tổng bằng 100. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
$A\cup B$ là tập gồm tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$: $A=\{1;2;3;4\}$, $B=\{2;6;7;8\}$. Phần tử chung 2 chỉ lấy một lần, nên $A\cup B=\{1;2;3;4;6;7;8\}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$A=\{0;1;2;3;4;5\}$, $B=\{1;2\}\subset A$. Khi đó $C_{A}B=A\setminus B=\{0;3;4;5\}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $|x|<3$ với $x\in \mathbb{R}$ tương đương $-3<x<3$, nên $A=(-3;3)$. Các đáp án A, B, D chỉ liệt kê số nguyên nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $x(x-1)(x+2)=0$ cho $x=0$, $x=1$, $x=-2$. Vì $x\in \mathbb{N}$ nên loại $x=-2$, do đó $A=\{0;1\}$, trùng với $N=\{0;1\}$ ở phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp $A$ là con của tập hợp $B$ nghĩa là $A\subset B$, tức hình Venn thể hiện vòng tròn $A$ nằm hoàn toàn bên trong vòng tròn $B$. Xét các hình: A và D vẽ hai tập giao nhau (không phải con); B vẽ $B$ nằm trong $A$ (tức $B\subset A$); riêng hình C vẽ vòng tròn $A$ nằm hoàn toàn bên trong vòng tròn $B$, đúng nghĩa $A\subset B$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \mathbb{N},x\le 5$ ta có $x\in \{0;1;2;3;4;5\}$. Do đó $x+1$ nhận các giá trị $\{1;2;3;4;5;6\}$. Vậy $A=\{1;2;3;4;5;6\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2x^2-5x+3=0$: $\Delta =25-24=1$, $x=\frac{5\pm 1}{4}$ nên $x=1$ hoặc $x=\frac{3}{2}$. Vì $x\in \mathbb{N}$ nên chỉ nhận $x=1$, do đó $X=\{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng tập: A: $x^2+x+1=0$ có biệt thức $\Delta =1-4=-3<0$ nên vô nghiệm trên $\mathbb{R}$, do đó $A=\varnothing$. B: $x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$, không phải số tự nhiên, nên $B=\varnothing$. C: $x^3-3=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{3}\notin \mathbb{Z}$; $x^2+1=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$, nên $C=\varnothing$. D: $x(x^2+3)=0$. Vì $x^2+3>0$ với mọi $x$ nên $x=0\in \mathbb{Q}$, vậy $D=\{0\}\ne \varnothing$. Tập hợp khác rỗng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Phần tử chung của $X=\{1;5\}$ và $Y=\{1;3;5\}$ là $1$ và $5$, nên $X\cap Y=\{1;5\}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $X=\{a;b\}\subset Y=\{a;b;c\}$ nên $X\cup Y=Y=\{a;b;c\}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
$C_{B}A=B\setminus A=\{2;3;4\}$ có 3 phần tử. Số tập con của một tập 3 phần tử là $2^3=8$, gồm: $\varnothing ,\{2\},\{3\},\{4\},\{2;3\},\{2;4\},\{3;4\},\{2;3;4\}$. Vậy có 8 tập hợp $X$ thỏa mãn, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là tập học sinh giỏi Toán, $B$ là tập học sinh giỏi Lý. Ta có $|A|=25$, $|B|=23$, $|A\cap B|=14$. Số học sinh giỏi ít nhất một môn: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=25+23-14=34$. Cộng thêm 6 học sinh không giỏi môn nào: $34+6=40$ học sinh. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1\le |x|\le 3⟺-3\le x\le -1$ hoặc $1\le x\le 3$, tức $X=[-3;-1]\cup [1;3]$. Trên trục số, hai đoạn này gồm cả hai đầu mút $-3;-1;1;3$ (vạch đặc/ngoặc vuông), phần giữa $(-1;1)$ không thuộc tập hợp. Hình D biểu diễn đúng hai đoạn $[-3;-1]$ và $[1;3]$ với các đầu mút được lấy vào, khớp với hình trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp $A=\{x\in \mathbb{R}|4\le x\le 9\}$ gồm tất cả các số thực $x$ thỏa mãn $4\le x\le 9$, tức là cả hai đầu mút $4$ và $9$ đều thuộc tập hợp. Theo kí hiệu đoạn, đây là đoạn $[4;9]$. Vậy $A=[4;9]$.