Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tập hợp và phép toán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Để $A=(-3;m+1]$ khác rỗng cần $m+1>-3\iff m>-4$. Để $B=[2m-4;6]$ khác rỗng cần $2m-4\le 6\iff m\le 5$. Điều kiện $A\subset B$: đầu mút trái của $A$ phải nằm trong $B$ và đầu mút phải của $A$ không vượt quá $6$, tức là $2m-4\le -3$ và $m+1\le 6$. Suy ra $m\le \frac{1}{2}$ và $m\le 5$. Kết hợp: $-4<m\le \frac{1}{2}$. Kiểm tra: với $m=0$, $A=(-3;1]$, $B=[-4;6]$, đúng $A\subset B$. Vậy $m\in \left(-4;\frac{1}{2}\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $F$ là số học sinh chơi bóng đá, $C$ là số học sinh chơi cầu lông, $B$ là số học sinh chơi cả hai môn. Theo đề: $B=\frac{1}{6}F$ và $C=\frac{3}{5}\cdot$(số HS chỉ chơi bóng đá) $=\frac{3}{5}\cdot \frac{5F}{6}=\frac{F}{2}$. Số HS chỉ chơi bóng đá là $\frac{5F}{6}$, số HS chỉ chơi cầu lông là $C-B=\frac{F}{2}-\frac{F}{6}=\frac{F}{3}$. Tổng số HS chơi ít nhất một môn: $45-13=32$, nên $\frac{5F}{6}+\frac{F}{3}+\frac{F}{6}=32\Rightarrow \frac{4F}{3}=32\Rightarrow F=24$. Khi đó: chỉ chơi bóng đá $=20$, chơi cả hai $=4$, chơi cầu lông $=12$, chỉ chơi cầu lông $=12-4=8$. Kiểm tra: $20+4+8+13=45$ (đúng). Vậy số học sinh chỉ chơi cầu lông là $8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=(-7;4]$. Bất phương trình $2+m-4x\ge 0\iff x\le \frac{m+2}{4}$, nên $B=\left(-\infty ;\frac{m+2}{4}\right]$ và $A\cap B=\left(-7;\frac{m+2}{4}\right]$ (khi $\frac{m+2}{4}\le 4$).

Số nguyên trong $(-7;t]$ là $-6,-5,-4,\dots$ Muốn $A\cap B$ chứa đúng 7 số nguyên thì 7 số nguyên đó phải là $-6,-5,-4,-3,-2,-1,0$, tức $0\le t<1$ với $t=\frac{m+2}{4}$.

Suy ra $0\le \frac{m+2}{4}<1\iff 0\le m+2<4\iff -2\le m<2$, nên $m\in \{-2;-1;0;1\}$.

Kiểm tra: với $m=-2$, $t=0$, $A\cap B=(-7;0]$ có 7 số nguyên $\{-6;\dots ;0\}$; với $m=1$, $t=3/4$, vẫn đúng 7 số nguyên. Tổng các giá trị $m$: $-2+(-1)+0+1=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $T$, $V$, $N$ lần lượt là tập học sinh giỏi Toán, Vật lí, Ngữ Văn. Theo công thức bao hàm - loại trừ: $|T\cap V|=48+37-75=10$; $|T\cap N|=48+42-76=14$; $|V\cap N|=37+42-66=13$. Số học sinh giỏi ít nhất 1 môn: $|T\cup V\cup N|=48+37+42-10-14-13+4=94$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (94).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi Toán, Lí, Văn có số phần tử lần lượt 48, 37, 42. Từ $|To\acute{a}n\cup L\acute{ı}|=75$ suy ra $|To\acute{a}n\cap L\acute{ı}|=48+37-75=10$. Từ $|To\acute{a}n\cup V\breve{a}n|=76$ suy ra $|To\acute{a}n\cap V\breve{a}n|=48+42-76=14$. Từ $|L\acute{ı}\cup V\breve{a}n|=66$ suy ra $|L\acute{ı}\cap V\breve{a}n|=37+42-66=13$. Theo công thức bao hàm - loại trừ cho ba tập: $|To\acute{a}n\cup L\acute{ı}\cup V\breve{a}n|=48+37+42-10-14-13+4=94$. Vậy có 94 học sinh đạt điểm giới ít nhất 1 môn, khớp với đáp án nguồn 94.

(AI giải đề cho tôi)
Để $B=(m-2;m)\subset A=(-4;3)$ (chứa thực sự, hai tập mở) cần và đủ: $m-2\ge -4$ và $m\le 3$, tức $-2\le m\le 3$. Các giá trị nguyên của $m$: $-2,-1,0,1,2,3$, tổng cộng 6 giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (6).

Hướng dẫn chấm:
Gọi $x$ là số học sinh tham gia cả 3 phần thi. Gọi $a$ là số học sinh chỉ tham gia thi Trắc nghiệm và Thuyết trình. $b$ là số học sinh chỉ tham gia thi Trắc nghiệm và Thực hành. Khi đó: Số học sinh chỉ thi Thuyết trình là: $15-a-x-3=12-a-x$. Số học sinh chỉ tham gia thi Thực hành là: $14-x-b-3=11-x-b$. (0,25 điểm)
Theo đề bài ra ta có phương trình: $x+a+b+12+11-x-b+12-x-a+3=35$. Ta tìm được $x=3$. Vậy có 3 học sinh tham gia cả 3 phần thi. (0,25 điểm)

Hướng dẫn chấm:
Gọi $x$ là số học sinh tham gia cả 3 hoạt động. Gọi $a$ là số học sinh chỉ tham gia thi Đóng kịch và Thảo luận nhóm. $b$ là số học sinh chỉ tham gia thi Đóng kịch và Hùng biện. Khi đó: Số học sinh chỉ tham gia Thảo luận nhóm là: $17-a-x-5=12-a-x$. Số học sinh chỉ tham gia Hùng biện là: $20-x-b-5=15-x-b$. (0,25 điểm)
Theo đề bài ra ta có phương trình: $x+a+b+13+15-x-b+12-x-a+5=40$. Ta tìm được $x=5$. Vậy có 5 bạn tham gia cả 3 hoạt động. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi Toán, Lý, Hóa là các tập hợp. Số bạn giải đúng hai môn (không giải cả ba) là: $(To\acute{a}n\cap H\acute{o}a-\text{cả ba})+(H\acute{o}a\cap L\acute{y}-\text{cả ba})+(To\acute{a}n\cap L\acute{y}-\text{cả ba})=(16-11)+(15-11)+(14-11)=5+4+3=12$. Vậy $a=12$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3 = 12).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi To, Lý, Hóa là các tập học sinh giỏi tương ứng. Theo bao hàm - loại trừ, tổng số học sinh giỏi ít nhất một môn là $30+25+23-15-17-11+10=45$. Số bạn giỏi đúng hai môn: giỏi Toán và Hóa thôi $15-10=5$; giỏi Hóa và Lý thôi $17-10=7$; giỏi Toán và Lý thôi $11-10=1$; tổng $13$ bạn. Số bạn chỉ giỏi một môn là $a=45-13-10=22$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (22).

(AI giải đề cho tôi)
A khác rỗng: $m+1\le 2m-1\iff m\ge 2$. Để $A\subset B=(0;6)$ với $A=[m+1;2m-1]$ (đoạn kín) thì cần $m+1>0$ và $2m-1<6$, tức $m>-1$ và $m<3,5$. Kết hợp: $2\le m<3,5$, nên $m\in \{2;3\}$: có 2 giá trị nguyên. Kết quả khớp đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A, B, C lần lượt là tập học sinh thích Cầu lông, Bóng rổ, Bóng đá. Theo bao hàm - loại trừ: $|A\cup B\cup C|=(50+m)+(48+m)+40-(18+m)-(12+2m)-10+5=103-m$. Vì 20 em không thích môn nào nên $|A\cup B\cup C|=120-20=100$, suy ra $m=3$. Số học sinh chỉ thích đúng một môn: chỉ thích Cầu lông: $(50+m)-(18+m)-(12+2m)+5=25-2m=19$; chỉ thích Bóng rổ: $(48+m)-(18+m)-10+5=25$; chỉ thích Bóng đá: $40-(12+2m)-10+5=23-2m=17$. Tổng: $19+25+17=61$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (61).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là tập thích Cầu lông, $B$ thích Bóng rổ, $C$ thích Bóng đá. Số học sinh thích ít nhất một môn: $120-20=100$.
Theo công thức bao hàm - loại trừ:
$$|A\cup B\cup C|=(50+m)+(48+m)+40-(18+m)-(12+2m)-10+5=103-m.$$
Suy ra $103-m=100\Rightarrow m=3$ (thỏa mãn $m\in \mathbb{Z}$, các giá trị đều không âm).
Số học sinh chỉ thích đúng một môn:
- Chỉ thích Cầu lông: $(50+m)-(18+m)-(12+2m)+5=25-2m=25-6=19$.
- Chỉ thích Bóng rổ: $(48+m)-(18+m)-10+5=25$.
- Chỉ thích Bóng đá: $40-(12+2m)-10+5=23-2m=17$.
Tổng: $19+25+17=61$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Để $B=[m;2m+1]\subset A=(1;2025]$ với $B\ne \varnothing$ (luôn đúng vì $m\le 2m+1$), cần: $m>1$ (vì $A$ không chứa $1$, nên đầu mút trái $m$ của $B$ phải lớn hơn $1$) và $2m+1\le 2025\iff m\le 1012$. Vậy $1<m\le 1012$, tức $m\in \{2;3;\dots ;1012\}$, có $1012-2+1=1011$ giá trị nguyên. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1011.

(AI giải đề cho tôi)
Để $B=[m;2m+1]\subset A=(1;2025]$ cần $m>1$ và $2m+1\le 2025$. Suy ra $m\le 1012$. Vậy $m\in \{2,3,\dots ,1012\}$, có $1012-2+1=1011$ giá trị nguyên. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1011).

Điều kiện: $m-3<m-2\Rightarrow 0<1$ (luôn đúng $\forall m\in \mathbb{R}$) — 0,25

Để A là tập con của B thì $\{\begin{array}{l}m-3>-3\\ m+2<5\end{array}\Rightarrow 0<m<3$ — 0,5

Vì m nguyên nên $m=1$ hoặc $m=2$. — 0,25

Để $A\cap B=\varnothing \iff \left[\begin{array}{c}m+2\le -2\\ m>5\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}m\le -4\\ m>5\end{array}\right]$ (0,25 điểm).
Kết hợp điều kiện $m\in [-2025;2026)$ nên $\left[\begin{array}{c}-2025\le m\le -4\\ 5<m<2026\end{array}\right]$
Mà m là số nguyên nên $m\in \{-2025;-2024;....-4;6;6;7;...;2025\}$
Vậy có 2022+2020= 4042 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán (0,25 điểm).

Để $A\cap B=\varnothing \iff [<table><tbody><tr><td>m+1<-1</td></tr><tr><td>m\ge 3</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>m<-2</td></tr><tr><td>m\ge 3</td></tr></tbody></table>$ (0,25 điểm).
Kết hợp điều kiện $m\in [-2025;2026)$ nên $[<table><tbody><tr><td>-2025\le m<-2</td></tr><tr><td>3\le m<2026</td></tr></tbody></table>$
Mà m là số nguyên nên $m\in \{-2025;-2024;...;-3;3;4;5;...;2025\}$
Vậy có 2023+2023= 4046 giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên thuộc $A=[-1;3]$ là $-1,0,1,2,3$. Để $A\cap B$ có đúng 3 số nguyên, ba số nguyên lớn nhất của $A$ phải thuộc $B$, tức $1,2,3\in B$ và $0\notin B$: $0\le \frac{m-1}{3}<1\iff 1\le m<4\iff m\in \{1;2;3\}$. Tổng các giá trị nguyên của $m$ là $1+2+3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a. Gọi E, T, N lần lượt là tập đại biểu sử dụng được tiếng Anh, tiếng Trung, tiếng Nga; x là số đại biểu sử dụng được cả ba ngôn ngữ. Vì 30 đại biểu chỉ sử dụng được tiếng Nga nên số đại biểu sử dụng được tiếng Anh hoặc tiếng Trung là 100 − 30 = 70. Theo công thức bù trừ: |E ∪ T| = |E| + |T| − |E ∩ T| = 40 + 45 − |E ∩ T| = 70, suy ra |E ∩ T| = 15. Trong đó có 10 đại biểu chỉ sử dụng được hai ngôn ngữ Anh và Trung, nên số đại biểu sử dụng được cả ba ngôn ngữ là x = 15 − 10 = 5.

Câu 1b. Ta có A \ B = (−10; 2m+1) \ (3m; +∞) = (−10; min(2m+1; 3m)]. Các số tự nhiên chẵn trong (−10; X] là 0, 2, 4, 6, 8, ... Để A \ B chứa đúng 4 số tự nhiên chẵn thì tập đó phải chứa đúng {0, 2, 4, 6} và không chứa 8, tức là 6 ≤ min(2m+1; 3m) < 8.

Trường hợp 1: 2m+1 ≤ 3m ⟺ m ≥ 1. Khi đó cần 6 ≤ 2m+1 < 8 ⟺ 5/2 ≤ m < 7/2. Kết hợp với m ≥ 1 được m ∈ [5/2; 7/2).

Trường hợp 2: 2m+1 > 3m ⟺ m < 1. Khi đó cần 6 ≤ 3m < 8 ⟺ 2 ≤ m < 8/3, mâu thuẫn với m < 1, loại.

Kiểm tra: với m = 5/2, A \ B = (−10; 6] chứa 0, 2, 4, 6 (đúng 4 số chẵn); với m tiến đến 7/2, 2m+1 tiến đến 8, tại m = 7/2 tập chứa thêm 8 (5 số chẵn) nên loại đúng. Vậy m ∈ [5/2; 7/2).