Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2}{4}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$, $H\in BC$. Kẻ $AH\perp BC$, ta có $AH=AB\sin 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $BH=AB\cos 60^{\circ }=\frac{a}{2}<a\sqrt{3}$ nên $H$ thuộc đoạn $BC$. Do $SH\perp (ABC)$ nên góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là $\widehat{SAH}=45^{\circ }$.
Suy ra chiều cao $SH=AH\tan 45^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V=\frac{1}{3}Bh$.

Đường kính đáy bằng $2\text{ cm}\Rightarrow$ bán kính đáy $R=1\text{ cm}$. Chiều cao $h=3\text{ cm}$.
Thể tích của cả hình trụ là $V_{\text{trụ}}=\pi R^{2}h=\pi \cdot 1^2\cdot 3=3\pi {\text{ cm}}^3$.
Thể tích nửa hình trụ là $V=\frac{1}{2}{V}_{\text{trụ}}=\frac{3\pi }{2}{\text{ cm}}^3$.

Hai khối chóp $M.ABC$ và $S.ABC$ có chung đáy $(ABC)$, tỉ số khoảng cách từ đỉnh xuống đáy là $\frac{d(M,(ABC))}{d(S,(ABC))}=\frac{MA}{SA}=\frac{1}{2}$. Do đó $\frac{V_{M.ABC}}{V_{S.ABC}}=\frac{1}{2}$.

Đường kính đáy $d=a\Rightarrow$ bán kính đáy $R=\frac{a}{2}$. Chiều cao $h=a$.
Thể tích hình trụ là $V=\pi R^{2}h=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2\cdot a=\frac{\pi a^3}{4}$.

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là $V=\pi r^{2}h$.

Thể tích của khối lập phương cạnh $3a$ là $V=(3a{)}^3=27a^3$. Chọn A.

Thể tích khối trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là $V=\pi R^{2}h$. Chọn D.

Độ dài đường sinh của hình nón là $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(2a{)}^2+a^2}=a\sqrt{5}$.
Diện tích xung quanh của khối nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot a\sqrt{5}=\sqrt{5}\pi a^2$. Chọn A.


Gọi khối chóp tứ giác đều là $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, khi đó $SO\perp (ABCD)$.
Góc giữa cạnh bên $SA$ và đáy $(ABCD)$ là $\widehat{SAO}=60^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SOA$:
$SO=SA\sin 60^{\circ }=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
$OA=SA\cos 60^{\circ }=2a\cdot \frac{1}{2}=a$.
Vì $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $AC=2OA=2a⟹AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=A{B}^2=(a\sqrt{2}{)}^2=2a^2$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}\cdot 2a^2=\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$. Chọn A.


Áp dụng công thức tỉ số thể tích khối đa diện trong hình hộp:
Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt phẳng đi qua các điểm $A,M\in B{B}^{\prime },N\in C{C}^{\prime },P\in D{D}^{\prime }$ (trong đó $M,N,P$ đồng phẳng với $A$).
Tỉ số thể tích của khối đa diện $AMNP.ABCD$ so với toàn bộ khối hộp là:
$\frac{V_{AMNP.ABCD}}{V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}=\frac{1}{2}\left(\frac{AA}{A{A}^{\prime }}+\frac{CN}{C{C}^{\prime }}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{BM}{B{B}^{\prime }}+\frac{DP}{D{D}^{\prime }}\right)$.
Vì $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ nên $\frac{BM}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.
Vì $DP=\frac{1}{4}D{D}^{\prime }$ nên $\frac{DP}{D{D}^{\prime }}=\frac{1}{4}$.
Suy ra:
$\frac{V_{AMNP.ABCD}}{V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}$.
Thể tích khối lập phương ban đầu là $V=(2a{)}^3=8a^3$.
Do đó thể tích khối đa diện $AMNPBCD$ là:
$V_{AMNPBCD}=\frac{3}{8}\cdot 8a^3=3a^3$. Chọn B.

Chọn B.
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$ và diện tích $S_{ABCD}=a^2$.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{(a\sqrt{5}{)}^2-(a\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

Chọn C.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 5^2\cdot 2=\frac{50}{3}\pi$.

Chọn C.
Thể tích khối lập phương cạnh $3a$ là $V=(3a{)}^3=27a^3$.

Chọn A.
Ta có $BA=a,BC=2a$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}BA\cdot BC=\frac{1}{2}a\cdot 2a=a^2$.
Vì lăng trụ đứng nên $A^{\prime }A\perp (ABC)$, góc giữa $A^{\prime }B$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }BA}=60^{\circ }$.
Suy ra $A^{\prime }A=AB\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }A=a^2\cdot a\sqrt{3}=a^3\sqrt{3}$.

Chọn B.
Theo công thức tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành, ta giải ra $x=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$.

Thể tích khối trụ có bán kính đáy $r=a$ và chiều cao $h=a\sqrt{3}$ là $V=\pi r^{2}h=\pi a^2\cdot a\sqrt{3}=\pi a^3\sqrt{3}$.

Ta có $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^{2}a=\frac{4\pi a^3}{3}⟹r=2a$. Độ dài đường sinh là $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5}$.

Thể tích khối tứ diện đều cạnh $x=a\sqrt{2}$ là $V=\frac{x^3\sqrt{2}}{12}=\frac{(a\sqrt{2}{)}^3\sqrt{2}}{12}=\frac{4a^3}{12}=\frac{a^3}{3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $\widehat{GSM}=30^{\circ }$ nên trong tam giác vuông $SGM$ có $SG=GM\sqrt{3}$. Đặt $GM=1⟹AM=3,SG=\sqrt{3}⟹SA=\sqrt{A{G}^2+S{G}^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$ và $SM=2$. Mặt phẳng qua $BC$ vuông góc với $SA$ tại $H$ có $SH=\frac{SG\cdot AM}{SA}$? Trong $△SAM$: $\cos S=\frac{S{A}^2+S{M}^2-A{M}^2}{2\cdot SA\cdot SM}=\frac{7+4-9}{4\sqrt{7}}=\frac{1}{2\sqrt{7}}⟹SH=SM\cos S=\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1}{7}SA$. Do đó $\frac{V_1}{V}=\frac{SH}{SA}=\frac{1}{7}⟹\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{6}$.