Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia đa thức: $\frac{-x^2-3x+4}{x-3}=\frac{(-x-6)(x-3)-14}{x-3}=-x-6-\frac{14}{x-3}$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-x-6)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-14}{x-3}=0$.

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=-x-6$.

b) Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

- Tiệm cận đứng: $x=3$.
- Tiệm cận xiên: $y=-x-6$.

Giao điểm: thay $x=3$ vào $y=-x-6$ ta được $y=-3-6=-9$.

Kiểm tra bằng định nghĩa tâm đối xứng $I(3;b)$: với $t\ne 0$,
$f(3+t)+f(3-t)=\left(-3-t-6-\frac{14}{t}\right)+\left(-3+t-6+\frac{14}{t}\right)=-18=2b$, suy ra $b=-9$.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(3;-9)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm hữu tỉ có tiệm cận xiên khi bậc tử số cao hơn bậc mẫu số đúng 1 đơn vị. A: bậc tử (1) < bậc mẫu (2) → có tiệm cận ngang $y=0$. B: bậc bằng nhau → tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$. D: bậc tử (0) < bậc mẫu (1) → tiệm cận ngang $y=0$. C: $y=\frac{x^2+3x-2}{x+3}$ có bậc tử (2) cao hơn bậc mẫu (1) đúng 1 đơn vị, chia đa thức: $x^2+3x-2=(x+3)x-2$, nên $y=x-\frac{2}{x+3}$, do đó đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$ (và tiệm cận đứng $x=-3$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^3-3x-2}{x^2+3x+2}$. Mẫu số: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, nên hàm số xác định khi $x\ne -1,x\ne -2$. Tử số: $x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$.
- Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}y={\lim }_{x\to -1}\frac{(x+1{)}^2(x-2)}{(x+1)(x+2)}={\lim }_{x\to -1}\frac{(x+1)(x-2)}{x+2}=\frac{0\cdot (-3)}{1}=0$, hữu hạn nên $x=-1$ KHÔNG là tiệm cận đứng (điểm rút gọn).
- Tại $x=-2$: tử số bằng $(-2{)}^3-3(-2)-2=-8+6-2=-4\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{1-2x}{1+x}$: bậc tử = bậc mẫu nên có 1 tiệm cận đứng $x=-1$ và 1 tiệm cận ngang $y=-2$ → 2 tiệm cận.
- B: $y=\frac{1}{4-x^2}$: mẫu $=0$ tại $x=\pm 2$ cho 2 tiệm cận đứng $x=2$, $x=-2$; bậc tử < bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=0$ → tổng cộng 3 tiệm cận.
- C: $y=\frac{x+3}{5x-1}$: 1 tiệm cận đứng $x=\frac{1}{5}$ và 1 tiệm cận ngang $y=\frac{1}{5}$ → 2 tiệm cận.
- D: $y=\frac{x}{x^2-x+9}$: mẫu vô nghiệm thực ($\Delta <0$) nên không có tiệm cận đứng; chỉ có tiệm cận ngang $y=0$ → 1 tiệm cận.
Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là hàm số ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng. B) $y=\frac{2}{\sqrt{x}}$ xác định khi $x>0$; khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. C) $x^2-x+2>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =-7<0$) nên không có tiệm cận đứng. D) $x^4+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: nhánh trái và nhánh phải của đồ thị đều tiến gần đến đường nét đứt đi qua điểm $(-1;0)$ và $(0;1)$, tức đường thẳng $y=x+1$ khi $x\to \pm \infty$; vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$ → A đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng là trục $Oy$, tức $x=0$ (không phải $x=1$) → B sai. Khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to \pm \infty$ theo đường xiên nên không có tiệm cận ngang $y=0$ → C sai. Đồ thị có tiệm cận nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (còn ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=3$ hữu hạn, không tạo tiệm cận đứng). Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$ nên có hai tiệm cận ngang $y=0$ và $y=5$. Tổng: $1+2=3$ đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ (chỉ cần một phía tiến tới vô cực). Khi $x\to -\infty$, $y\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số không xác định tại $x=-2$ và $x=0$ (các cột kép). Tại $x=-2$, $y\to -\infty$ (một bên) nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tại $x=0$, khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to +\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Vậy có 2 tiệm cận đứng. Khi $x\to +\infty$, $y\to 0$ nên đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang (khoảng $(-\infty ,-2)$ bị tô xám, không cho thêm tiệm cận). Tổng cộng: 2 tiệm cận đứng + 1 tiệm cận ngang = 3 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$. a) TCĐ là $x=-1$ (mẫu bằng 0), không phải $x=1$ → Sai. b) $g(x)=2f(x)=2-\frac{6}{x+1}$, khi $x\to \pm \infty$ thì $g(x)\to 2$ nên TCN là $y=2$ → Đúng. c) $g(0)=2f(0)=2\cdot (-2)=-4$, giao điểm với trục tung là $A(0;-4)$ → Đúng. d) Tâm đối xứng của $(C)$ là $I(-1;1)$. Điểm $B(x;y)\in (C)$ với $x$ nguyên dương, $y$ nguyên: $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}$; với $x>0$ chỉ có $x+1=3\Rightarrow x=2,y=0$, tức $B(2;0)$. Khoảng cách $BI=\sqrt{(2+1{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=2-\frac{6}{x+1}\to 2$ khi $x\to \pm \infty$, nên TCN là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(0)=2f(0)=2\cdot \frac{-2}{1}=-4$, nên giao điểm là $A(0;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng $I(-1;1)$. Với $x$ nguyên dương và $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên, chỉ có $x=2,y=0$, tức $B(2;0)$; $BI=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=\frac{(x+2{)}^2+1}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$.
a) Sai: điều kiện $x+2\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}$.
b) Đúng: vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+2)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$ nên $(C)$ có tiệm cận xiên $y=x+2$.
c) Đúng: ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
d) Đúng: tâm đối xứng của đồ thị hàm $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ là giao điểm của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$, tức $I(-2;0)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định $x+2\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+2+\frac{1}{x+2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$, tức $I(-2;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 2^{\pm }$ thì $f(x)\to +\infty$ (bên trái) và $f(x)\to -\infty$ (bên phải), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to -1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$ (không phải $x=-1$). Vậy tổng số tiệm cận là 2 (một đứng, một ngang). Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=2$ (vì $f(x)\to \pm \infty$ khi $x\to 2$), nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=-\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang là $y=-1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-1$), không phải $x=-1$; $x=-1$ không phải tiệm cận.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 1 tiệm cận đứng $x=2$ và 1 tiệm cận ngang $y=-1$, tổng cộng 2 đường tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}$ là $D=(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.
- Khi $x\to +\infty$: $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}\to 1$, nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
- Khi $x\to -\infty$: $f(x)\to -1$, nên $y=-1$ là tiệm cận ngang.
- Khi $x\to 1^{+}$: $f(x)\to +\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
- Khi $x\to -1^{-}$: $f(x)\to +\infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có tất cả $4$ tiệm cận (2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+2025}{x-2}=x-3+\frac{2019}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2019}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ nên $b=-1$; tiệm cận ngang là $y=2$ nên $a=2$. Thử lại: $y=\frac{2x+1}{x+1}$, tại $x=0$ có $y=1$ khớp với đồ thị (đồ thị đi qua điểm $(0;1)$). Vậy $a=2$, $b=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to -\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng (1 đường). Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to -1$ nên $y=-1$ là tiệm cận ngang (2 đường). Tổng: $1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^2+2x-3=(x-2)(x+4)+5$, nên $y=\frac{x^2+2x-3}{x-2}=x+4+\frac{5}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x-2}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=x+4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x+3}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$: hai tiệm cận. B) $y=\frac{x^2+3x-2}{x+3}$ có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận xiên $y=x$ (vì $x^2+3x-2=(x+3)x-2$): hai tiệm cận. C) $y=\frac{4}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=0$: hai tiệm cận. D) $y=\frac{2x}{x^2+1}$: mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$: đúng một tiệm cận. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phân thức: $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}=x-4+\frac{10}{x+2}$.
- a) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$, tức hai đường tiệm cận.
- b) Đúng: giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $(-2;-6)$.
- c) Sai: khoảng cách từ $O$ đến $y=x-4$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.
- d) Đúng: với $x=0$, $y=x-4=-4$, nên tiệm cận xiên đi qua $M(0;-4)$.
a) $y=x-4+\frac{10}{x+2}$: có TCĐ $x=-2$ và TCX $y=x-4$, tổng cộng 2 tiệm cận.
b) Giao của $x=-2$ và $y=x-4$: $y=-6$, tức $I(-2;-6)$.
c) $d(O,y=x-4)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, không bằng $4\sqrt{2}$.
d) TCX $y=x-4$ tại $x=0$ cho $y=-4$, nên đi qua $M(0;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$, chọn D.