Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2+1;3+1;2+(-1))=(3;4;1)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức trung điểm của $AC$ trùng trung điểm của $BD$. Gọi $D(x;y;z)$, điều kiện $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ cho: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-4;-2;2)$ và $\overrightarrow{DC}=C-D=(2-x;4-y;-1-z)$. Suy ra $2-x=-4\Rightarrow x=6$; $4-y=-2\Rightarrow y=6$; $-1-z=2\Rightarrow z=-3$. Vậy $D(6;6;-3)$, khớp với đáp án nguồn (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hình chiếu của A(5;2;1) lên (Oyz) là (0;2;1) → Đúng.
b) AB = √(4²+(-4)²+2²) = 6; AC = √((-3)²+(-1)²+0²) = √10 → AB+AC = 6+√10 → Đúng.
c) AB→ = (4;-4;2), AC→ = (-3;-1;0), tích vô hướng = -12+4+0 = -8, nên cos BAC = -8/(6√10) = -2√10/15 ≠ 2√10/15 → Sai.
d) M(m;0;0). MA→·MB→ = MA→·MC→ ⇔ MA→·(MB→-MC→) = 0 ⇔ MA→·BC→ = 0 với BC→ = (-7;3;-2). MA→ = (5-m;2;1) nên -7(5-m)+6-2 = 7m-31 = 0 ⇒ m = 31/7 ≈ 4,43 < 5 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(5;2;1) lên mặt phẳng (Oyz) giữ lại tung độ và cao độ: (0;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = √(16+16+4) = 6, AC = √(9+1+0) = √10, nên AB+AC = 6+√10.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB→·AC→ = (4)(-3)+(-4)(-1)+(2)(0) = -8, |AB→| = 6, |AC→| = √10, nên cos BAC = -8/(6√10) = -2√10/15, khác 2√10/15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với M(m;0;0), điều kiện MA→·BC→ = 0 với BC→ = (-7;3;-2) cho -7(5-m)+6-2 = 0 ⇒ m = 31/7 ≈ 4,43 < 5, nên hoành độ không lớn hơn 5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ nằm giữa $A$ và $B$ với $BC=2AC$ nên $AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}(6;3;0)=(2;1;0)$. Suy ra $\overrightarrow{CA}=(-2;-1;0)$, do đó $A=C+\overrightarrow{CA}=(1-2;1-1;2+0)=(-1;0;2)$. Vậy $m+3n+4p=-1+3\cdot 0+4\cdot 2=7$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục tọa độ gốc $A$, trục $Ox$ dọc $AB$, trục $Oy$ dọc $AD$, trục $Oz$ dọc $A{A}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$, $\overrightarrow{F_3}=(0;2;0)$. Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(2;2;3)$ nên $\left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{2^2+2^2+3^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB: $x=\frac{1+5}{2}=3$, $y=\frac{2+(-12)}{2}=-5$, $z=\frac{-3+17}{2}=7$. Vậy trung điểm là $(3;-5;7)$, khớp đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}+\vec{b}=(1-2;-2+1;3+2)=(-1;-1;5)$. Khi đó $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=(-1)(-2)+(-1)(1)+5\cdot 2=2-1+10=11$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;2;1)$, $B(-3;0;3)$, $C(2;4;-1)$: $x_D=1+2-(-3)=6$; $y_D=2+4-0=6$; $z_D=1+(-1)-3=-3$. Vậy $D(6;6;-3)$, trùng với đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hình chiếu của A(5;2;1) lên (Oyz) là (0;2;1) → Đúng. b) AB=√(16+16+4)=6, AC=√(9+1+0)=√10 → AB+AC=6+√10 → Đúng. c) AB=(4;−4;2), AC=(−3;−1;0), AB·AC=−12+4=−8, cos BAC = −8/(6√10) = −2√10/15 ≠ 2√10/15 → Sai. d) M(m;0;0): MA·MB=MA·MC ⇔ MA·(C−B)=0 với C−B=(−7;3;−2): −7(5−m)+6−2=0 ⇔ 7m−31=0 ⇔ m=31/7≈4,43<5 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(5;2;1) lên mặt phẳng (Oyz) có hoành độ bằng 0, giữ nguyên tung và cao: (0;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=√((9−5)²+(−2−2)²+(3−1)²)=√(16+16+4)=6; AC=√((2−5)²+(1−2)²+0²)=√10. Vậy AB+AC=6+√10.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(4;−4;2), AC=(−3;−1;0). AB·AC=−12+4+0=−8. cos BAC = −8/(6·√10) = −2√10/15, giá trị âm nên khẳng định với dấu dương là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
M(m;0;0). MA·MB=MA·MC ⇔ MA·(MC−MB)=0. MC−MB=C−B=(−7;3;−2), MA=(5−m;2;1). Tích: −7(5−m)+6−2=7m−31=0 ⇔ m=31/7≈4,43<5, nên hoành độ không lớn hơn 5.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục tại $A$: $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$ (theo $A{A}^{\prime }$), $\overrightarrow{F_3}=(0;3;0)$ (theo $AD$). Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(2;3;2)$, do đó $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ nằm trên đoạn $AB$ với $BC=2AC$ nên $AC=\frac{1}{3}AB$, tức $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$. Suy ra $A=C-\overrightarrow{AC}=(1-2;1-1;2-0)=(-1;0;2)$. Vậy $m=-1,n=0,p=2$ và $m+3n+4p=-1+0+8=7$, khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ với $A(1;2;-3)$ và $B(5;-12;17)$ có tọa độ: $x=\frac{1+5}{2}=3$, $y=\frac{2+(-12)}{2}=-5$, $z=\frac{-3+17}{2}=7$. Vậy trung điểm là $(3;-5;7)$, khớp với đáp án B và đáp án nguồn trang 18 (Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2+1;3+1;2+(-1))=(3;4;1)$. Kết quả khớp với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1-2;-2+1;3+2)=(-1;-1;5)$. Khi đó $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}=(-1)(-2)+(-1)(1)+5\cdot 2=2-1+10=11$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, trùng với đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1-2;-2+1;3+2)=(-1;-1;5)$. Khi đó $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}=(-1)(-2)+(-1)(1)+5\cdot 2=2-1+10=11$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hình chiếu của A(5;2;1) lên (Oyz) là (0;2;1) → Đúng. b) AB=√(16+16+4)=6, AC=√(9+1+0)=√10, nên AB+AC=6+√10 → Đúng. c) AB=(4;−4;2), AC=(−3;−1;0), AB·AC=−12+4=−8, cos BAC = −8/(6√10) = −2√10/15 < 0, không bằng 2√10/15 → Sai. d) M(m;0;0): MA·MB=MA·MC ⇔ MA·(C−B)=0 với C−B=(−7;3;−2): −7(5−m)+6−2=0 ⇔ 7m−31=0 ⇔ m=31/7≈4,43<5 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(5;2;1) lên mặt phẳng (Oyz) là (0;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=√(4²+(−4)²+2²)=6, AC=√((−3)²+(−1)²+0²)=√10, nên AB+AC=6+√10.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC=4(−3)+(−4)(−1)+2·0=−8, |AB||AC|=6√10, nên cos BAC=−8/(6√10)=−2√10/15, âm nên khác 2√10/15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với M(m;0;0), MA·MB=MA·MC ⇔ MA·(C−B)=0 ⇔ −7(5−m)+3·2+(−2)·1=0 ⇔ 7m−31=0 ⇔ m=31/7≈4,43<5, nên hoành độ không lớn hơn 5.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục tại $A$: $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$ (trên $A{A}^{\prime }$), $\overrightarrow{F_3}=(0;3;0)$ (trên $AD$). Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(2;3;2)$, nên $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ nằm trên đoạn $AB$ với $BC=2AC$ nên $AC=\frac{1}{3}AB$, tức $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$. Suy ra $A=C-\overrightarrow{AC}=(1-2;1-1;2-0)=(-1;0;2)$. Vậy $m=-1,n=0,p=2$ và $m+3n+4p=-1+0+8=7$, khớp với đáp án nguồn.