Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ với $A(1;2;-3)$ và $B(5;-12;17)$ có tọa độ: $x=\frac{1+5}{2}=3$, $y=\frac{2+(-12)}{2}=-5$, $z=\frac{-3+17}{2}=7$. Vậy trung điểm là $(3;-5;7)$, khớp với đáp án C (đáp án nguồn cũng là C).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2+1;3+1;2+(-1))=(3;4;1)$. Kết quả khớp với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức trung điểm của $AC$ trùng trung điểm của $BD$, suy ra $A+C=B+D$ nên $D=A+C-B$. Với $A(1;2;1)$, $B(-3;0;3)$, $C(2;4;-1)$: $$D=(1+2-(-3);2+4-0;1+(-1)-3)=(6;6;-3).$$ Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;2)$ và $\overrightarrow{DC}=(2-6;4-6;-1-(-3))=(-4;-2;2)$, hai vectơ bằng nhau nên $ABCD$ là hình bình hành. Kết quả khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2;1-(-1);-3-0)=(-1;2;-3)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, các mặt là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{C_1{D}_1}$... xét kỹ: $\overrightarrow{C_1{D}_1}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$. Thật vậy $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng), $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{C_1{D}_1}$ ngược hướng với $\overrightarrow{A_1{B}_1}$ nên $\overrightarrow{C_1{D}_1}=-\overrightarrow{AB}$. Vậy vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{C_1{D}_1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) M trên trục hoành: M(m;0;0). Tam giác MAB vuông tại A ⟺ AM·AB=0. AM=(m−1;0;−1), AB=(1;1;1), tích vô hướng = (m−1)+0−1 = m−2 = 0 ⟹ m=2. Chỉ có 1 điểm M(2;0;0), nên khẳng định 'có 2 điểm' là SAI. b) AC=(0;−1;0) nên |AC|=1, ĐÚNG. c) AB=(2−1;1−0;2−1)=(1;1;1), ĐÚNG. d) Hình bình hành ABCD: AB=DC ⟹ D=B+C−A=(2;1;2)+(1;−1;1)−(1;0;1)=(2;0;2)≠(0;2;0), SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
M(m;0;0), AM·AB=(m−1)+0−1=m−2=0 ⟹ m=2, chỉ có 1 điểm M(2;0;0), không phải 2 điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC=(0;−1;0) nên |AC|=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2−1;1−0;2−1)=(1;1;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
D=B+C−A=(2;0;2), không phải (0;2;0).

(AI giải đề cho tôi)
a) Các vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$ với điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lập phương: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{A_1{B}_1}$, $\overrightarrow{D_1{C}_1}$ — chỉ có 4 vectơ, không phải 5 → Sai.
b) $\overrightarrow{D_1{A}_1}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{D_{1}D}$; hai vectơ này vuông góc nên $\left|\overrightarrow{D_1{A}_1}+\overrightarrow{B_{1}B}\right|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$ → Đúng.
d) Chọn hệ trục với $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$, $\overrightarrow{D{C}_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}_1}=(0,a,a)$, tích vô hướng $=a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 vectơ: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{A_1{B}_1}$, $\overrightarrow{D_1{C}_1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ thành phần vuông góc, độ lớn tổng bằng $a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, cộng $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}$ được $\overrightarrow{A{C}_1}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=(a,0,0)\cdot (0,a,a)=a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}.\vec{b}=1.(-1)+(-3).1+1.2=-1-3+2=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $x$. Đường chéo $A^{\prime }C=x\sqrt{3}=\frac{3}{16}$ nên $x=\frac{3}{16\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{16}$.

Vì $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$ (các đỉnh đối xứng qua $O$).

Gọi $O^{\prime }$ là tâm hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tương tự $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=4\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$.

Do đó $\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$, suy ra $OS=4\cdot O{O}^{\prime }=4x=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Vậy $a=1,b=4$ (tối giản), $P=a^2+b^2=1+16=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $C=2I-A=(-1;4;-7)$ và $D=2I-B=(-3;8;-7)$. Vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=D^{\prime }-D=(9;0;17)$. Tâm $I^{\prime }$ của $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa $\overrightarrow{I{I}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $I^{\prime }=I+(9;0;17)=\left(\frac{19}{2};4;\frac{27}{2}\right)$. Vậy $T=x.y.z=\frac{19}{2}\cdot 4\cdot \frac{27}{2}=513$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$ có tọa độ $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$. Thay số: $x_G=\frac{1+2-3}{3}=0$, $y_G=\frac{2-1+5}{3}=2$, $z_G=\frac{-1+3+1}{3}=1$. Vậy $G(0;2;1)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm G của tứ diện ABCD thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (nên D đúng). Với điểm O bất kỳ: $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ (C đúng). Chọn O trùng A: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$ (B đúng). Vậy mệnh đề A với hệ số $\frac{2}{3}$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}$; $Q$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{QD}=\vec{0}$. Ta có $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$. Vì $J$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$. Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ})$. Vì $G$ là trung điểm của $IJ$ nên $\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\vec{0}$, suy ra tổng bằng $\vec{0}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng $Oxy$ nên $M(x;y;0)$. Ba điểm $A$, $B$, $M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương. $\overrightarrow{AB}=(-2;3;1)$, $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;-1)$. Vì $-1=-1\cdot 1$, ta có $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}$, suy ra $x-2=2$, $y+2=-3$, tức $x=4$, $y=-5$. Vậy $M(4;-5;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(5-2;-5+1;7-5)=(3;-4;2)$. Vì $A,B,M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, tức $M=A+k\overrightarrow{AB}$. Tọa độ $z$: $5+2k=1\Rightarrow k=-2$. Suy ra $x=2+3(-2)=-4$, $y=-1+(-4)(-2)=-1+8=7$. Vậy $M(-4;7;1)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(-1;2;-3)$, $B(1;0;2)$, $C(x;y;-2)$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(2;-2;5)$ và $\overrightarrow{AC}=(x+1;y-2;1)$. Từ thành phần thứ ba: $1=5t\Rightarrow t=\frac{1}{5}$. Suy ra $x+1=\frac{2}{5}\Rightarrow x=-\frac{3}{5}$ và $y-2=-\frac{2}{5}\Rightarrow y=\frac{8}{5}$. Vậy $x+y=-\frac{3}{5}+\frac{8}{5}=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3\vec{v}=(-3;-6;3)$, nên $\vec{u}+3\vec{v}=(1+(-3);-4+(-6);0+3)=(-2;-10;3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}-\vec{v}=(1-2;3-1;-2-(-1))=(-1;2;-1)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trừ từng thành phần: $\vec{a}-\vec{b}=(2-1;3-1;2-(-1))=(1;2;3)$. Vậy đáp án D.