Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$ nên $\vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$ có tọa độ $(-1;2;-3)$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 0101 (câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trừ từng thành phần: $\vec{u}-\vec{v}=(1-2;3-1;-2-(-1))=(-1;2;-1)$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án HDC (Câu 7, mã đề 0101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của điểm $M(1;2;3)$ trên trục $Oy$ có tọa độ dạng $(0;y;0)$, giữ lại tung độ $y=2$, nên là điểm $Q(0;2;0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M^{\prime }$ trên trục $Ox$ có dạng $M^{\prime }(a;0;0)$. Khi đó $M{M}^{\prime }=\sqrt{(a+4{)}^2+5^2+5^2}=\sqrt{(a+4{)}^2+50}$, nhỏ nhất khi $a=-4$. Vậy $M^{\prime }(-4;0;0)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo đề: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên. Khinh khí cầu thứ nhất: 2 km nam → x=2; 1 km đông → y=1; cao 0,5 km → z=0,5, nên A(2;1;0,5) → câu a đúng. Khinh khí cầu thứ hai: 1 km bắc → x=-1; 1,5 km tây → y=-1,5; cao 0,8 km → z=0,8, nên B(-1;-1,5;0,8), không phải (-1,5;-1;0,8) → câu b sai. Khoảng cách từ O đến A: OA=√(2²+1²+0,5²)=√5,25≈2,29 km ≠ √21 → câu c sai. Khoảng cách AB=√((2+1)²+(1+1,5)²+(0,5-0,8)²)=√(9+6,25+0,09)=√15,34≈3,9166≈3,92 km → câu d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nam 2 km → x=2, đông 1 km → y=1, cao 0,5 km → z=0,5, nên A(2;1;0,5).
b) (AI giải đề cho tôi)
Bắc 1 km → x=-1, tây 1,5 km → y=-1,5, cao 0,8 km → z=0,8, nên B(-1;-1,5;0,8) chứ không phải (-1,5;-1;0,8).
c) (AI giải đề cho tôi)
OA=√(4+1+0,25)=√5,25≈2,29 km, không bằng √21.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=√(3²+2,5²+0,3²)=√15,34≈3,92 km.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-2)$, $|AB|=3$. Vì $CD\parallel AB$ nên $\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{AB}$, suy ra $D=(6+t;1-2t;-1-2t)$.

Chiều cao của hình thang là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $CD$ (đi qua $C$ theo phương $AB$): $\overrightarrow{AC}=(5;-1;-1)$, $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=(0;9;-9)$, độ dài $9\sqrt{2}$, nên $h=\frac{9\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{2}$.

Diện tích: $S=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot h=\frac{1}{2}(3+3|t|)\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\Rightarrow 3+3|t|=4\Rightarrow |t|=\frac{1}{3}$.

Xét tính lồi của tứ giác $ABCD$: với $t=\frac{1}{3}$, $D$ nằm kéo dài quá $C$ theo chiều $\overrightarrow{AB}$, tứ giác không lồi (góc tại $C$ phản xạ). Với $t=-\frac{1}{3}$: $D=\left(\frac{17}{3};\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right)$, kiểm tra các tích có hướng $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=(0;-9;9)$ và $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{CD}=(0;-3;3)$ cùng phương cùng chiều → tứ giác lồi, thỏa mãn.

Vậy $P=3a+b-c=3\cdot \frac{17}{3}+\frac{5}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=17+2=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }BD$ là tứ diện đều cạnh 3 nên $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD},\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ có độ dài 3 và góc giữa mỗi cặp là $60^{\circ }$. Trong hình hộp: $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\vec{w}$, $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$, nên $D^{\prime }=D+\vec{w}$, $C^{\prime }=D+\vec{w}+\vec{u}$. Trọng tâm $G$ của tam giác $D{D}^{\prime }{C}^{\prime }$: $\overrightarrow{AG}=\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}+\frac{1}{3}\vec{u}$. Khi đó $A{G}^2=9+4+1+2\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{9}{2}+2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}+2\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{9}{2}=14+6+3+2=25$, suy ra $AG=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $x_G=\frac{1+(-5)+(-5)}{3}=\frac{-9}{3}=-3$; $y_G=\frac{3+(-4)+13}{3}=\frac{12}{3}=4$; $z_G=\frac{(-3)+(-1)+(-8)}{3}=\frac{-12}{3}=-4$. Vậy $G(-3;4;-4)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương khi tồn tại $k$ sao cho $\vec{u}=k\vec{v}$. Từ thành phần thứ nhất: $2=-2k\Rightarrow k=-1$. Kiểm tra thành phần thứ ba: $1=(-1)(-1)=1$ thỏa mãn. Thành phần thứ hai: $m-2=k\cdot 1=-1\Rightarrow m=1$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(2;1;1)$, $B(1;2;1)$, $C(2;-1;3)$.

a) Với hình bình hành $ABCD$ (theo thứ tự đỉnh), ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=B+C-A=(1+2-2;2-1-1;1+3-1)=(1;0;3)$. Đề nói $D(3;-2;3)$ (đó thực chất là $A+C-B$, tức đỉnh của hình bình hành $ABDC$) → SAI.

b) $AB=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$. Chu vi $=3\sqrt{2}+\sqrt{14}\approx 4,243+3,742=7,985<8$ → SAI.

c) Trọng tâm $G=\left(\frac{2+1+2}{3};\frac{1+2-1}{3};\frac{1+1+3}{3}\right)=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)$, khác $\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)$ → SAI.

d) $\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-2;2)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-2$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{2}$ nên $\cos \widehat{BAC}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ là góc tù → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=B+C-A=(1;0;3)\ne (3;-2;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{2}$, $AC=2\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{14}$, chu vi $=3\sqrt{2}+\sqrt{14}\approx 7,985<8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)$, tung độ phải là $\frac{2}{3}$ chứ không phải $-\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$ nên $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, góc tù.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: A(3;2;5) (3m về Nam, 2m về Đông, cao 5m), B(-6;-6;5) (6m về Bắc, 6m về Tây, cao 5m). M nằm trên mặt đất nên c=0. Phản chiếu A qua mặt phẳng (Oxy) được A'(3;2;-5). Khi đó MA+MB = MA'+MB, nhỏ nhất khi M là giao điểm của đường thẳng A'B với mặt đất. Đường A'B: (x;y;z) = (3;2;-5) + t(-9;-8;10). Cho z=0: -5+10t=0 → t=1/2, suy ra M(-3/2; -2; 0). Vậy a=-3/2, b=-2, c=0, do đó b-a+c = -2+3/2+0 = -1/2.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M^{\prime }\in Oy$ có dạng $M^{\prime }(0;y;0)$. Ta có $M{M}^{\prime 2}=(0-1{)}^2+(y+2{)}^2+(0-3{)}^2=(y+2{)}^2+10\ge 10$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $y=-2$. Vậy $M^{\prime }(0;-2;0)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Với $A(1;2;1)$, $B(-3;0;3)$, $C(2;4;-1)$: $D=(1+2-(-3);2+4-0;1+(-1)-3)=(6;6;-3)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;2)$, $\overrightarrow{DC}=(2-6;4-6;-1-(-3))=(-4;-2;2)$, đúng bằng nhau. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (Câu 11: D, mã đề 2307).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hình chiếu của A(5;2;1) lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ (0; 2; 1) → Đúng.
b) $\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)$ nên $AB=\sqrt{16+16+4}=6$; $\overrightarrow{AC}=(-3;-1;0)$ nên $AC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Vậy $AB+AC=6+\sqrt{10}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\cdot (-3)+(-4)(-1)+2\cdot 0=-8$; $\cos \widehat{BAC}=\frac{-8}{6\sqrt{10}}=-\frac{2\sqrt{10}}{15}\ne \frac{2\sqrt{10}}{15}$ → Sai.
d) Với $M(m;0;0)$: $\overrightarrow{MA}=(5-m;2;1)$, $\overrightarrow{MB}=(9-m;-2;3)$, $\overrightarrow{MC}=(2-m;1;1)$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(5-m)(9-m)+2(-2)+1\cdot 3=m^2-14m+44$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=(5-m)(2-m)+2\cdot 1+1\cdot 1=m^2-7m+13$ (lưu ý các tích vô hướng $2\cdot 1+1\cdot 1=+3$, không phải $-2$).
Phương trình $m^2-14m+44=m^2-7m+13\Rightarrow 7m=31\Rightarrow m=\frac{31}{7}\approx 4,43<5$ → Sai.
Kết quả khớp hoàn toàn với đáp án chính thức trang 20 (Câu 1: a Đ, b Đ, c S, d S). Lưu ý nhận xét trong dữ liệu lỗi cho rằng $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$ phải là $(5-m)(2-m)-2$ là sai, vì $\overrightarrow{MA}=(5-m;2;1)$ và $\overrightarrow{MC}=(2-m;1;1)$ nên phần tích các thành phần $y,z$ là $2\cdot 1+1\cdot 1=3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(5;2;1) lên (Oyz) là (0;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = 6, AC = √10 nên AB + AC = 6 + √10.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos BAC = -8/(6√10) = -2√10/15 ≠ 2√10/15.
d) (AI giải đề cho tôi)
MA→·MB→ = m²−14m+44; MA→·MC→ = (5−m)(2−m)+2+1 = m²−7m+13. Suy ra 7m = 31, m = 31/7 ≈ 4,43 < 5 → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ nằm trên đoạn $AB$ với $BC=2AC$ nên $AC=\frac{1}{3}AB$, tức $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$. Suy ra $A=C-(2;1;0)=(1-2;1-1;2-0)=(-1;0;2)$. Vậy $m=-1,n=0,p=2$, do đó $m+3n+4p=-1+0+8=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật, nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục sao cho $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$, $\overrightarrow{F_3}=(0;3;0)$. Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{2^2+2^2+3^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2+1;3+1;2+(-1))=(3;4;1)$. Kết quả khớp với đáp án D trong đề (trang đáp án cũng ghi câu 3 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$: $x=\frac{1+5}{2}=3$, $y=\frac{2-12}{2}=-5$, $z=\frac{-3+17}{2}=7$. Vậy trung điểm là $(3;-5;7)$, khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1-2;-2+1;3+2)=(-1;-1;5)$. Khi đó $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}=(-1)(-2)+(-1)(1)+5\cdot 2=2-1+10=11$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành). Vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Kết quả khớp với đáp án B của đề.