Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của MN: $x_I=\frac{2+4}{2}=3$, $y_I=\frac{1+5}{2}=3$, $z_I=\frac{2+(-6)}{2}=-2$. Vậy $I(3;3;-2)$, khớp đáp án C và với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 10 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A) Do $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$, cùng hướng và bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ — đúng. B) Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ — đúng. C) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$, không phải $\overrightarrow{BA}$ — sai. D) Trong hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ — đúng. Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MN}=(4-2;5-1;-6-2)=(2;4;-8)$. Xét từng điểm: $\overrightarrow{MI}=(4;5;-6)$ không cùng phương với $\overrightarrow{MN}$; $\overrightarrow{MJ}=(0;3;-10)$ không cùng phương; $\overrightarrow{MK}=(1;2;0)$ không cùng phương; $\overrightarrow{MH}=(1-2;-1-1;6-2)=(-1;-2;4)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$, cùng phương với $\overrightarrow{MN}$. Vậy điểm $H(1;-1;6)$ thẳng hàng với $M,N$, khớp với đáp án nguồn D.

Đáp án theo bảng HD chấm (đề 101, Phần II, Câu 2): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Lưu ý: bản gốc đánh nhãn hai ý là 'b)' (không có 'c)'), giữ nguyên theo nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OM}=-\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k}$, suy ra tọa độ điểm $M$ là $M(-1;2;5)$. Đáp án khớp với key C (mã đề 101, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua trục $Oz$ đổi dấu hai tọa độ $x,y$ và giữ nguyên $z$: $A(2;-5;2)\to A^{\prime }(-2;5;2)$. Khớp với đáp án A và bảng đáp án (Câu 6, mã 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vecto $\overrightarrow{MN}=N-M=(-4-2;1-5;1-2)=(-6;-4;-1)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b}$ với $\vec{a}=(-2;3;2)$, $\vec{b}=(-1;1;4)$: $2\vec{a}=(-4;6;4)$, nên $\vec{c}=(-4-(-1);6-1;4-4)=(-3;5;0)$. Kết quả trùng với đáp án A và với đáp án của đề (mã 101, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-4)+5\cdot 1+2\cdot 1=-8+5+2=-1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của điểm $E(-2;-9;-13)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm có cùng hoành độ và tung độ với $E$, còn cao độ bằng $0$. Vậy hình chiếu là $(-2;-9;0)$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB=\sqrt{450^2+600^2+0^2}=\sqrt{562500}=750$ m → đúng. b) Tốc độ $=750/30=25$ m/phút, không phải 30 → sai. c) $\overrightarrow{OA}=(100;150;40)$, $\overrightarrow{OB}=(550;750;40)$ không tỉ lệ (100/550 ≠ 150/750 ≠ 40/40) nên $O,A,B$ không thẳng hàng → sai. d) $OB=\sqrt{550^2+750^2+40^2}=\sqrt{866600}\approx 930.9134$ m; thời gian $=930.9134/25\approx 37.2365\approx 37.24$ phút → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{450^2+600^2+0^2}=750$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ $=750/30=25$ m/phút ≠ 30.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ không tỉ lệ nên ba điểm không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OB=\sqrt{866600}\approx 930.91$ m; $930.91/25\approx 37.24$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot 2+1\cdot m+(-2)(-1)=m+4$. Độ dài: $|\vec{u}|=\sqrt{6}$, $|\vec{v}|=\sqrt{m^2+5}$. Góc $60^{\circ }$ nên $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{m+4}{\sqrt{6}\sqrt{m^2+5}}=\frac{1}{2}$. Bình phương: $4(m+4{)}^2=6(m^2+5)\Rightarrow 4m^2+32m+64=6m^2+30\Rightarrow m^2-16m-17=0\Rightarrow m=17$ hoặc $m=-1$. Kiểm tra: với $m=17$, $m+4=21>0$; với $m=-1$, $m+4=3>0$, cả hai đều thỏa (cos dương). Vậy $S=\{17;-1\}$, tổng các phần tử là $17+(-1)=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, tứ giác $ABCD$ và $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là các hình bình hành, nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{C_1{D}_1}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$. Vậy vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{C_1{D}_1}$. Các vectơ $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DC}$ không đối với $\overrightarrow{AB}$ (trong đó $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$), còn $\overrightarrow{AB}$ trùng chính nó.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB: $x_I=\frac{1+3}{2}=2$, $y_I=\frac{2+(-2)}{2}=0$, $z_I=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$. Vậy $I(2;0;-2)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $MN$: $x=\frac{4+4}{2}=4$, $y=\frac{-2+4}{2}=1$, $z=\frac{1+(-5)}{2}=-2$. Vậy trung điểm có tọa độ $(4;1;-2)$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1214, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt phẳng $(ABCD)$). Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (quy tắc ba vectơ cùng điểm gốc, vì $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$). Vậy khẳng định đúng là B. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ không đúng (dấu trừ); C sai vì tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \vec{0}$; D sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}-2\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{D^{\prime }B}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 1214), Phần II. a) Từ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ suy ra $(1+1-4)\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OC}$, tức $-2\overrightarrow{OM}=(-1;19;-20)$, nên $M(0,5;-9,5;10)$ và $a+b+c=0,5-9,5+10=1$. Đúng. b) $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(1-1;-4-3;5-0)=(0;-7;5)$. Đúng. c) $\overrightarrow{AB}=(1;-3;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-7;5)$ không tỉ lệ nên $A,B,C$ không thẳng hàng. Sai. d) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=(2-1;0+4;0-5)=(1;4;-5)$, nên $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+16+25}=\sqrt{42}$. Đúng. Kết quả khớp đáp án mã 1214: Đ, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ M thỏa $(1+1-4)\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OC}=(-1;19;-20)$, nên $M(0,5;-9,5;10)$, $a+b+c=1$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(1-1;-4-3;5-0)=(0;-7;5)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;-7;5)$ không tỉ lệ, nên ba điểm không thẳng hàng. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=(1;4;-5)$, độ dài $\sqrt{1+16+25}=\sqrt{42}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ theo hình vẽ: $A(0;0;0)$, $B(30;0;0)$, $C(30;150;0)$, $D(0;150;0)$, $G(0;0;80)$, $H(30;0;80)$, $I(30;30;80)$, $J(0;30;80)$ (do $HI=GJ=IJ=30$), $K(30;30;60)$, $L(0;30;60)$ (do $IK=JL=20$), $E(30;150;10)$, $F(0;150;10)$ (do $EC=FD=10$).

a) $K$ nằm dưới $I$ với $IK=20$ theo phương $Oz$: $I(30;30;80)\Rightarrow K(30;30;60)$. Đúng.

b) Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$. Sai.

c) $KE=\sqrt{(30-30{)}^2+(150-30{)}^2+(10-60{)}^2}=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{16900}=130$ cm. Đúng.

d) Gọi $M(x;30;80)$ trên $IJ$ với $0\le x\le 30$; vì $MN\parallel IK$ nên $N(x;30;60)$ trên $KL$. Thời gian:
$$T(x)=\frac{\sqrt{x^2+900}}{5}+\frac{20}{10}+\frac{\sqrt{(30-x{)}^2+16900}}{8}.$$
$T^{\prime }(x)=\frac{x}{5\sqrt{x^2+900}}-\frac{30-x}{8\sqrt{(30-x{)}^2+16900}}=0$ cho nghiệm $x\approx 3,75$. Khi đó $T\approx \frac{30,23}{5}+2+\frac{132,63}{8}\approx 6,05+2+16,58\approx 24,6\approx 25$ (s), không phải 20 s. Sai.

Kết luận: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai (khớp đáp án Đ S Đ S của mã đề 1214).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $IK=20$ và $I(30;30;80)$ nên $K(30;30;60)$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$: sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $KE=\sqrt{0^2+120^2+(-50{)}^2}=130$ cm: đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $M(x;30;80)$, $N(x;30;60)$, $T(x)=\frac{\sqrt{x^2+900}}{5}+2+\frac{\sqrt{(30-x{)}^2+16900}}{8}$ đạt nhỏ nhất khoảng $24,6\approx 25$ s tại $x\approx 3,75$, không phải 20 s: sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(3;5;-1),B(1;-1;3),C(6;1;1)$ ta được $D=(3+6-1;5+1-(-1);-1+1-3)=(8;7;-3)$. Khi đó $T=a+b+c=8+7-3=12$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1214, Câu 1: 12).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}$ nên tọa độ của $\vec{u}$ là $(-3;2;-4)$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 1214, câu 2: D).