Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải hệ: $\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ cho hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}-3x+2y+4z=2\\ 2x+3y-z=15\\ x+5y+4z=27\end{array}$$ Từ phương trình thứ hai: $z=2x+3y-15$. Thay vào phương trình thứ nhất: $-3x+2y+4(2x+3y-15)=2\iff 5x+14y=62$. Thay vào phương trình thứ ba: $x+5y+4(2x+3y-15)=27\iff 9x+17y=87$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x+14y=62\\ 9x+17y=87\end{array}$: nhân phương trình thứ nhất với 9 và thứ hai với 5, trừ nhau được $41y=123\Rightarrow y=3$; suy ra $x=(62-42)/5=4$ và $z=2(4)+3(3)-15=2$. Kiểm tra: $-3(4)+2(3)+4(2)=-12+6+8=2$ ✓; $2(4)+3(3)-2=15$ ✓; $4+15+8=27$ ✓. Vậy $x+y+z=4+3+2=9$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn bằng nhau $60N$ và hợp với nhau góc $120^{\circ }$, nên tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn $2\cdot 60\cdot \cos 60^{\circ }=60N$ (tính theo quy tắc hình bình hành, đường chéo của hình thoi góc $120^{\circ }$). Lực thứ ba $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn $80N$ và vuông góc với mặt phẳng chứa $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$, do đó vuông góc với $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn $|\vec{F}|=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100N$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (100).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}=\vec{a}-\vec{b}=(-2-2;3-1;2-(-1))=(-4;2;3)$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án (mã đề 1214, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;-2;4)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ giữ nguyên tọa độ $x$ và $z$, còn tọa độ $y=0$. Vậy hình chiếu là điểm $(1;0;4)$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1214 (câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 30^{\circ }=3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1214, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=3$. Độ dài $|\vec{a}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto bằng $30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 2+(-4)\cdot (-1)+1\cdot 0=6+4+0=10$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án (mã đề 1214, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);-3-(-1);-1-4)=(3;-2;-5)$. Độ dài $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1214, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 30^{\circ }=3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1213, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=(-2;3;2)$, $\vec{b}=(2;1;-1)$. Khi đó $\vec{u}=\vec{a}-\vec{b}=(-2-2;3-1;2-(-1))=(-4;2;3)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1213, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của đoạn thẳng $MN$ với $M(4;-2;1)$, $N(4;4;-5)$ có tọa độ: $x=\frac{4+4}{2}=4$, $y=\frac{-2+4}{2}=1$, $z=\frac{1+(-5)}{2}=-2$. Vậy trung điểm là $(4;1;-2)$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 1213).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 2+(-4)\cdot (-1)+1\cdot 0=6+4+0=10$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án (mã đề 1213, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD cạnh 5, M trung điểm BC.
a) Tam giác ABC đều nên góc BAC = 60°, do đó (AB, AC) = 60°. Đúng.
b) Vì M là trung điểm BC nên AB + AC = 2AM, suy ra AB + AC + AD = 2AM + AD ≠ 3AM (vì AD không cùng phương AM). Sai.
c) MC = C − M = (C − B)/2 và BM = M − B = (C − B)/2, nên MC = BM. Đúng.
d) BA · BC = |BA|·|BC|·cos60° = 5·5·(1/2) = 25/2 ≠ 25. Sai.
Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai — khớp đáp án nguồn (Đ S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều nên góc giữa AB và AC bằng 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB + AC = 2AM nên AB + AC + AD = 2AM + AD ≠ 3AM.
c) (AI giải đề cho tôi)
MC = (C−B)/2 = BM vì M là trung điểm BC.
d) (AI giải đề cho tôi)
BA·BC = 5·5·cos60° = 25/2 ≠ 25.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, trục $Ox$ theo $AB$, $Oy$ theo $AD$, $Oz$ theo $AG$. Khi đó $B(30;0;0)$, $D(0;150;0)$, $C(30;150;0)$, $G(0;0;80)$, $H(30;0;80)$, $I(30;30;80)$, $J(0;30;80)$, $E(30;150;10)$, $F(0;150;10)$.

a) $I(30;30;80)$ và $IK=20$ hướng thẳng xuống theo phương $Oz$ nên $K(30;30;60)$. Đúng.

b) Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$. Sai.

c) $\overrightarrow{KE}=(0;120;-50)$ nên $KE=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{16900}=130(cm)$. Đúng.

d) Gọi $M(30;m;80)$ với $0\le m\le 30$ trên $IJ$. Đoạn thứ hai song song $IK$ nên $N(30;m;60)$, độ dài $20cm$, thời gian $20/10=2s$.
- Đoạn thứ nhất: $GM=\sqrt{30^2+m^2}$, thời gian $\frac{\sqrt{900+m^2}}{5}$.
- Đoạn thứ ba: trải phẳng mặt $(KLFE)$ (mặt phẳng chứa các phương $Oy$ và $Oz$), khoảng cách từ $N(30;m;60)$ đến $E(30;150;10)$ trên mặt phẳng này là $\sqrt{(150-m{)}^2+50^2}$, thời gian $\frac{\sqrt{(150-m{)}^2+50^2}}{8}$.

Tổng thời gian $f(m)=\frac{\sqrt{900+m^2}}{5}+\frac{\sqrt{(150-m{)}^2+50^2}}{8}+2$. Giải $f^{\prime }(m)=\frac{m}{5\sqrt{900+m^2}}-\frac{150-m}{8\sqrt{(150-m{)}^2+50^2}}=0$ được $m\approx 21,5$ (kiểm tra: $\frac{21,5}{5\cdot 36,9}\approx 0,1165=\frac{128,5}{8\cdot 137,9}$). Khi đó $f(m)\approx 7,38+17,24+2\approx 26,6\approx 27(s)\ne 20(s)$. Mệnh đề Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng đáp án chính thức mã 1213 (Đ S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I(30;30;80)$, $IK=20$ theo phương thẳng đứng nên $K(30;30;60)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{KE}=(0;120;-50)$ nên $KE=\sqrt{120^2+50^2}=130(cm)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $M(30;m;80)$, $N(30;m;60)$. Trải phẳng mặt $(KLFE)$, khoảng cách từ $N$ đến $E$ là $\sqrt{(150-m{)}^2+50^2}$. Tổng thời gian $f(m)=\frac{\sqrt{900+m^2}}{5}+\frac{\sqrt{(150-m{)}^2+50^2}}{8}+2$ đạt cực tiểu tại $m\approx 21,5$ với giá trị $\approx 26,6\approx 27(s)\ne 20(s)$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (mã 1213), Phần II. a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(1-1;-4-3;5-0)=(0;-7;5)$ → Đúng. b) $\overrightarrow{AB}=(1;-3;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-7;5)$ không cùng phương (tỉ số 1/0 không xác định) nên $A,B,C$ không thẳng hàng → Sai. c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ cho hệ: theo $x$: $(a-1)+(a-2)-4(a-1)=0\Rightarrow -2a+1=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$; theo $y$: $(b-3)+b-4(b+4)=0\Rightarrow -2b-19=0\Rightarrow b=-\frac{19}{2}$; theo $z$: $c+c-4(c-5)=0\Rightarrow -2c+20=0\Rightarrow c=10$. Vậy $a+b+c=\frac{1}{2}-\frac{19}{2}+10=1$ → Đúng. d) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(1;4;-5)$, độ dài $\sqrt{1+16+25}=\sqrt{42}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(1-1;-4-3;5-0)=(0;-7;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;-7;5)$ không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ suy ra $a=\frac{1}{2},b=-\frac{19}{2},c=10$, nên $a+b+c=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(1;4;-5)$ có độ dài $\sqrt{42}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Cụ thể: $D=(3+6-1;5+1-(-1);-1+1-3)=(8;7;-3)$. Vậy $T=a+b+c=8+7-3=12$, khớp với bảng đáp án Phần III, Mã đề 1213, Câu 1 = 12.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc không đổi nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}=(400-300;300-100;20-10)=(100;200;10)$. Do đó $C=B+\overrightarrow{AB}=(500;500;30)$, tức $a=500,b=500,c=30$. Vậy $a+b+c=1030$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1213, Câu 2 = 1030).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có hệ: $-3x+2y+4z=2$; $2x+3y-z=15$; $x+5y+4z=27$. Từ phương trình thứ hai: $z=2x+3y-15$. Thay vào phương trình nhất: $-3x+2y+8x+12y-60=2\Rightarrow 5x+14y=62$. Thay vào phương trình thứ ba: $x+5y+8x+12y-60=27\Rightarrow 9x+17y=87$. Giải hệ: $45x+126y=558$ và $45x+85y=435$ nên $41y=123\Rightarrow y=3$; suy ra $x=4$, $z=2(4)+3(3)-15=2$. Kiểm tra: $-3(4)+2(3)+4(2)=2$; $2(4)+3(3)-2=15$; $4+5(3)+4(2)=27$. Vậy $x+y+z=4+3+2=9$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=3$. Độ dài $|\vec{a}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1213, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$, do đó $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài). Kiểm tra các phương án: $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ không song song với $\overrightarrow{CD}$ (nó có thành phần theo chiều cao của hình hộp); $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$ (ngược hướng); $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$ (ngược hướng). Vậy chỉ có $\overrightarrow{BA}$ bằng $\overrightarrow{CD}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1213, câu 3: C).