Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ vì ba vectơ này đồng xuất tại đỉnh $B$ của hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và hợp của chúng là đường chéo $B{D}^{\prime }$ của hình hộp. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì tổng ba vectơ không cùng phương không thể bằng $\vec{0}$; B sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}-2\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{D^{\prime }B}$; D sai vì $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 1213, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}$ có tọa độ là các hệ số tương ứng: $\vec{u}=(-3;2;-4)$. Đáp án khớp với phương án B và với bảng đáp án (mã đề 1213, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;-2;4)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ giữ nguyên tung độ $x$ và cao độ $z$, còn hoành độ $y=0$. Vậy hình chiếu là $A^{\prime }(1;0;4)$, trùng với phương án B. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1213, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);-3-(-1);-1-4)=(3;-2;-5)$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1213, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(-2;3;2)$ và $\vec{b}=(2;1;-1)$, ta có $\vec{u}=\vec{a}-\vec{b}=(-2-2;3-1;2-(-1))=(-4;2;3)$. Kết quả trùng với đáp án A và khớp với bảng đáp án (mã đề 1212, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 2+(-4)\cdot (-1)+1\cdot 0=6+4+0=10$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (mã đề 1212, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $MN$: $x=\frac{4+4}{2}=4$, $y=\frac{-2+4}{2}=1$, $z=\frac{1+(-5)}{2}=-2$. Vậy trung điểm có tọa độ $\left(4;1;-2\right)$, khớp với đáp án D trong đề và bảng đáp án (mã đề 1212, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-3;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-7;5)$. a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(1;4;-5)$ nên $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+16+25}=\sqrt{42}$: đúng. b) $\overrightarrow{AC}=(1-1;-4-3;5-0)=(0;-7;5)$: đúng. c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương (không tỉ lệ) nên ba điểm không thẳng hàng: sai. d) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ cho theo từng tọa độ: $(1-a)+(2-a)-4(1-a)=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$; $(3-b)+(0-b)-4(-4-b)=0\Rightarrow b=-\frac{19}{2}$; $(0-c)+(0-c)-4(5-c)=0\Rightarrow c=10$. Vậy $a+b+c=\frac{1}{2}-\frac{19}{2}+10=1$: đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(1;4;-5)$, độ dài bằng $\sqrt{42}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=C-A=(0;-7;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;-7;5)$ không cùng phương nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ theo từng tọa độ được $a=\frac{1}{2},b=-\frac{19}{2},c=10$, nên $a+b+c=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo hình vẽ: $A(0;0;0)$, $B(30;0;0)$, $D(0;150;0)$, $C(30;150;0)$, $G(0;0;80)$, $H(30;0;80)$, $J(0;30;80)$, $I(30;30;80)$, $K$ thẳng hàng dưới $I$ với $IK=20$ nên $K(30;30;60)$, $L(0;30;60)$, $E(30;150;10)$, $F(0;150;10)$.

a) Từ $I(30;30;80)$ hạ xuống $20$ theo phương thẳng đứng ta được $K(30;30;60)$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Hình chiếu của $K$ lên $(Oxy)$ là $K^{\prime }(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$. Mệnh đề SAI.

c) $KE=\sqrt{(30-30{)}^2+(150-30{)}^2+(10-60{)}^2}=\sqrt{120^2+50^2}=130$ cm. Mệnh đề ĐÚNG.

d) Gọi $M(m;30;80)$ trên $IJ$ với $0\le m\le 30$, khi đó $N=(m;30;60)$ trên $KL$ (vì $MN\parallel IK$).
- Đoạn 1 (mặt $(HGJI)$, mặt phẳng $z=80$): $GM=\sqrt{m^2+30^2}$, $t_1=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}$.
- Đoạn 2: $MN=20$, $t_2=\frac{20}{10}=2$ s.
- Đoạn 3: mặt $(KLFE)$ là hình chữ nhật $30\times 130$ (vì $\overrightarrow{KE}=(0;120;-50)$, $|KE|=130$, $\overrightarrow{KE}\cdot \overrightarrow{KL}=0$). Khi trải phẳng, $NE=\sqrt{(30-m{)}^2+130^2}$, $t_3=\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}$.

Hàm thời gian $T(m)=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}+2+\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}$. Giải $T^{\prime }(m)=0$ cho $m\approx 3,8$, khi đó $t_1\approx 6,05$, $t_3\approx 16,57$, $T\approx 24,6\approx 25$ s (kiểm tra biên: $m=0$ cho $T\approx 26,7$ s; $m=30$ cho $T\approx 26,7$ s). Thời gian ngắn nhất làm tròn là $25$ s, không phải $20$ s. Mệnh đề SAI.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I(30;30;80)$, $IK=20$ theo phương thẳng đứng xuống nên $K(30;30;60)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$KE=\sqrt{0^2+120^2+(-50{)}^2}=\sqrt{16900}=130$ cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M(m;30;80)$, $N(m;30;60)$: $T(m)=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}+2+\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}$. Giải $T^{\prime }(m)=0$ được $m\approx 3,8$ và $T_{\min }\approx 24,6\approx 25$ s $\ne 20$ s.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn $60N$ và hợp nhau góc $120^{\circ }$ nên hợp lực của chúng có độ lớn $F_{12}=\sqrt{60^2+60^2+2\cdot 60\cdot 60\cdot \cos 120^{\circ }}=\sqrt{3600+3600-3600}=60N$, phương theo phân giác của góc $120^{\circ }$ (như hình vẽ, $\vec{F}$ nằm trong mặt phẳng tạo bởi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$). Lực thứ ba $\overrightarrow{F_3}=80N$ vuông góc với mặt phẳng đó nên vuông góc với $\overrightarrow{F_{12}}$. Do đó hợp lực của ba lực là $F=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{10000}=100N$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, Câu 1: 100).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải hệ: $\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ cho hệ phương trình: $-3x+2y+4z=2$; $2x+3y-z=15$; $x+5y+4z=27$. Từ phương trình thứ hai: $z=2x+3y-15$. Thay vào phương trình thứ nhất: $-3x+2y+4(2x+3y-15)=2\Rightarrow 5x+14y=62$. Thay vào phương trình thứ ba: $x+5y+4(2x+3y-15)=27\Rightarrow 9x+17y=87$. Giải hệ: nhân phương trình đầu với 9 và phương trình sau với 5: $45x+126y=558$; $45x+85y=435$ nên $41y=123\Rightarrow y=3$. Suy ra $x=(62-42)/5=4$ và $z=2(4)+3(3)-15=2$. Kiểm tra: $-3(4)+2(3)+4(2)=2$ ✓; $2(4)+3(3)-2=15$ ✓; $4+5(3)+4(2)=27$ ✓. Vậy $x+y+z=4+3+2=9$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó $\frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2}$, suy ra $D=A+C-B=(3+6-1;5+1-(-1);-1+1-3)=(8;7;-3)$. Vậy $a=8,b=7,c=-3$ và $T=a+b+c=8+7-3=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=3$. Độ dài $|\vec{a}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $30^{\circ }$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1212, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (m) là cạnh đáy hình vuông và $h$ (m) là chiều cao cabin. Theo đề: $x^{2}h=5,4$ và $2x^2+4xh=18,9$. Thay $h=5,4/x^2$ vào: $2x^2+21,6/x=18,9\iff 2x^3-18,9x+21,6=0\iff x^3-9,45x+10,8=0$. Thử $x=1,5$: $3,375-14,175+10,8=0$, nên $x=1,5$ là nghiệm. Phương trình còn nghiệm $x\approx 2,04$ (loại vì cạnh đáy không tới $2m$). Vậy $x=1,5m$, $h=5,4/2,25=2,4m$. Đổi theo đơn vị của hệ trục ($1$ đơn vị $=10cm$): cạnh đáy $=15$, chiều cao $=24$. Hệ trục có gốc tại $A$ (trục $z$ đi qua $A,A^{\prime }$), trục hoành dọc theo $AB$, trục tung dọc theo $AD$. Khi đó vách $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng chứa gốc tọa độ (tọa độ $0$) và vách $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là mặt phẳng tọa độ $15$. Camera $P(a;b;c)$ trên trần cabin nên $c=24$; camera cách mỗi vách $20cm=2$ đơn vị, nên tọa độ ứng với vách qua gốc bằng $2$ và tọa độ ứng với vách $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $15-2=13$. Do đó $\{a;b\}=\{13;2\}$, $c=24$, suy ra $T=a+b+c=13+2+24=39$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc không đổi nên $B$ là trung điểm của $AC$. Suy ra $C=2B-A=(2\cdot 400-300;2\cdot 300-100;2\cdot 20-10)=(500;500;30)$. Vậy $a+b+c=500+500+30=1030$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);-3-(-1);-1-4)=(3;-2;-5)$. Độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1212, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;-2;4)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ giữ nguyên tọa độ $x$ và $z$, còn tọa độ $y$ bằng $0$ (vì $A$ chiếu vuông góc xuống $(Oxz)$ theo phương song song với trục $Oy$). Vậy hình chiếu là $A^{\prime }(1;0;4)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (quy tắc hình bình hành tại đỉnh $B$). Suy ra $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh xuất phát từ $B$). Vậy khẳng định đúng là D. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }D}\ne \overrightarrow{D^{\prime }B}$; B sai vì $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$; C sai vì tổng ba vectơ này khác $\vec{0}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 30^{\circ }=3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}$ có tọa độ là bộ ba hệ số tương ứng với $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$, tức $\vec{u}=(-3;2;-4)$. So với bảng đáp án, mã đề 1212 câu 7 là A, khớp với kết quả.