Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$, do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Kiểm tra từng phương án: $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$ (sai vì ngược hướng); $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$ (sai); $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ là vectơ chéo không song song với $\overrightarrow{CD}$ (sai); $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=3$. Độ dài $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của MN: $x=\frac{4+4}{2}=4$, $y=\frac{-2+4}{2}=1$, $z=\frac{1+(-5)}{2}=-2$. Vậy trung điểm có tọa độ $(4;1;-2)$, khớp đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1211, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);-3-(-1);-1-4)=(3;-2;-5)$. Do đó $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}$ nên tọa độ của $\vec{u}$ là $(-3;2;-4)$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 1211, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(30;0;0)$, $D(0;150;0)$, $C(30;150;0)$, $G(0;0;80)$, $H(30;0;80)$, $J(0;30;80)$, $I(30;30;80)$, $E(30;150;10)$, $F(0;150;10)$.

a) $I(30;30;80)$, $IK=20$ theo phương thẳng đứng xuống nên $K(30;30;80-20)=K(30;30;60)$. Đúng.

b) Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$. Sai.

c) $\overrightarrow{KE}=(0;120;-50)$ nên $KE=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{16900}=130$ cm. Đúng.

d) Gọi $M(m;30;80)$ trên $IJ$ với $0\le m\le 30$, khi đó $N(m;30;60)$ trên $KL$. Thời gian:
$$T(m)=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}+\frac{20}{10}+\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}.$$
Giải $T^{\prime }(m)=\frac{m}{5\sqrt{m^2+900}}-\frac{30-m}{8\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}=0$ cho nghiệm $m\approx 3,5$; khi đó $T\approx 6,04+2+16,58\approx 24,6$ s, làm tròn tới hàng đơn vị là $25$ s $\ne 20$ s. Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án nguồn (mã đề 1211, Câu 1: Đ S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$I(30;30;80)$, $IK=20$ theo phương $Oz$ nên $K(30;30;80-20)=K(30;30;60)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{KE}=(0;120;-50)$, $KE=\sqrt{120^2+50^2}=130$ cm. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M(m;30;80)$, $N(m;30;60)$: $T(m)=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}+2+\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}$, nhỏ nhất tại $m\approx 3,5$ với $T\approx 24,6\approx 25$ s $\ne 20$ s. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Từ MA+MB−4MC=0 suy ra M=(A+B−4C)/(−2). A+B−4C=(1+2−4; 3+0+16; 0+0−20)=(−1;19;−20), nên M=(1/2; −19/2; 10), khi đó a+b+c=1/2−19/2+10=1. Đúng. b) AB−AC=CB=(2−1; 0+4; 0−5)=(1;4;−5), |CB|=√(1+16+25)=√42. Đúng. c) AC=(1−1; −4−3; 5−0)=(0;−7;5). Đúng. d) AB=(1;−3;0), AC=(0;−7;5) không tỉ lệ nên A, B, C không thẳng hàng. Sai. Khớp đáp án mã 1211: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
MA+MB−4MC=0 ⇒ M=(A+B−4C)/(−2)=(1/2;−19/2;10), nên a+b+c=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB−AC=CB=(1;4;−5), độ dài √42.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC=(0;−7;5).
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(1;−3;0) và AC=(0;−7;5) không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải hệ: $\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ tương đương $$\{\begin{array}{l}-3x+2y+4z=2\\ 2x+3y-z=15\\ x+5y+4z=27\end{array}$$ Từ phương trình thứ hai: $z=2x+3y-15$. Thay vào phương trình thứ nhất: $-3x+2y+4(2x+3y-15)=2\iff 5x+14y=62$. Thay vào phương trình thứ ba: $x+5y+4(2x+3y-15)=27\iff 9x+17y=87$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x+14y=62\\ 9x+17y=87\end{array}$: nhân phương trình thứ nhất với 9 và thứ hai với 5, trừ nhau: $41y=123\Rightarrow y=3$; suy ra $5x=62-42=20\Rightarrow x=4$; và $z=2\cdot 4+3\cdot 3-15=2$. Kiểm tra: $-3(4)+2(3)+4(2)=-12+6+8=2$ ✓; $2(4)+3(3)-2=15$ ✓; $4+15+8=27$ ✓. Vậy $x+y+z=4+3+2=9$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1211, Câu 1 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy hình vuông là $x$ (m) và chiều cao cabin là $h$ (m). Theo đề: $x^{2}h=5,4$ và $2x^2+4xh=18,9$. Thay $h=5,4/x^2$: $2x^2+21,6/x=18,9\Rightarrow 2x^3-18,9x+21,6=0\Rightarrow x^3-9,45x+10,8=0$. Thử $x=1,5$: $3,375-14,175+10,8=0$, thỏa mãn (và $1,5<2$ như giả thiết). Khi đó $h=5,4/2,25=2,4$ m. Với đơn vị trục là $10$ cm: cạnh đáy $=15$, chiều cao $=24$. Theo hình vẽ, gốc tọa độ tại $A$, trục $x$ theo $AD$, trục $y$ theo $AB$, trục $z$ hướng lên. Mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là mặt phẳng $x=15$, mặt $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng $y=0$. Camera cách hai vách này đều $20$ cm $=2$ đơn vị, nên $a=15-2=13$, $b=2$. Camera trên trần cabin nên $c=24$. Vậy $T=a+b+c=13+2+24=39$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, hay $B+D=A+C$. Suy ra $D=A+C-B$: $a=3+6-1=8$; $b=5+1-(-1)=7$; $c=-1+1-3=-3$. Vậy $D(8;7;-3)$ và $T=a+b+c=8+7-3=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn $60N$ và hợp nhau góc $120^{\circ }$ nên tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\sqrt{60^2+60^2+2\cdot 60\cdot 60\cdot \cos 120^{\circ }}=\sqrt{3600+3600-3600}=60N$. Lực thứ ba $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn $80N$ và vuông góc với mặt phẳng chứa $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$, tức vuông góc với $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Do đó hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn $\left|\vec{F}\right|=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{10000}=100N$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay bay với vận tốc và hướng không đổi, trong mỗi 10 phút nó đi được một đoạn bằng nhau. Vector dịch chuyển trong 10 phút đầu là $\overrightarrow{AB}=(400-300;300-100;20-10)=(100;200;10)$. Sau 10 phút tiếp theo, máy bay ở điểm $C$ sao cho $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, tức $C=B+(100;200;10)=(500;500;30)$. Vậy $a+b+c=500+500+30=1030$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 2+(-4)\cdot (-1)+1\cdot 0=6+4+0=10$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án (mã đề 1211, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 30^{\circ }=3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án (mã đề 1211, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(-2;3;2)$ và $\vec{b}=(2;1;-1)$, ta có $\vec{u}=\vec{a}-\vec{b}=(-2-2;3-1;2-(-1))=(-4;2;3)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1211, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;-2;4)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ giữ nguyên tọa độ $x$ và $z$, còn tọa độ $y=0$. Vậy hình chiếu là điểm $(1;0;4)$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1211, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{b}-\vec{a}+2\vec{c}=\vec{0}$ suy ra $\vec{b}=\vec{a}-2\vec{c}=(3;0;1)-2(1;1;0)=(3-2;0-2;1-0)=(1;-2;1)$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$ nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 5$ → Sai. b) Trung điểm $I$ của $BC$: $I\left(\frac{2-1}{2};\frac{-2+3}{2};\frac{3-2}{2}\right)=(0,5;0,5;0,5)\ne (3;0;2)$ → Sai. c) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=B+C-A=(2-1-4;-2+3-2;3-2-1)=(-3;-1;0)\ne (1;4;-4)$ → Sai. d) $\overrightarrow{OA}=(4;2;1)$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: S, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $(0,5;0,5;0,5)$, không phải $(3;0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $D=B+C-A=(-3;-1;0)\ne (1;4;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}=(4;2;1)$ đúng theo tọa độ điểm $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ ba lực cùng trọng lực cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;-2)$. Do tính đối xứng của cấu hình (ba chân cách đều, độ lớn ba lực bằng nhau), các thành phần ngang triệt tiêu khi cộng lại và mỗi lực có thành phần thẳng đứng bằng $\frac{2}{3}$ N, tức $c=-\frac{2}{3}$. Lực $\overrightarrow{F_1}$ hướng dọc theo $\overrightarrow{SA}=(0;-6;-20)$, $|\overrightarrow{SA}|=\sqrt{436}$. Thành phần thẳng đứng: $F\cdot \frac{20}{\sqrt{436}}=\frac{2}{3}\Rightarrow F=\frac{\sqrt{436}}{30}$. Suy ra $\overrightarrow{F_1}=\frac{\sqrt{436}}{30}\cdot \frac{(0;-6;-20)}{\sqrt{436}}=\left(0;-\frac{1}{5};-\frac{2}{3}\right)$, tức $a=0,b=-\frac{1}{5},c=-\frac{2}{3}$. Khi đó $T=3\cdot 0+5\cdot \left(-\frac{1}{5}\right)+30\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-1-20=-21$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 2: $-21$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5;0)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2;-3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+10+0=4$. Độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$. Do đó $\cos A=\frac{4}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{17}}=\frac{4}{17\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{17}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.