Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đẳng thức đúng.
- B: Quy tắc hình hộp cho $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
- C: $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$, cùng chiều, cùng độ dài nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (hai vecto không cùng phương), đẳng thức sai.
Vậy đẳng thức sai là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OA}=(2;-1;3)$, $\overrightarrow{OB}=(5;2;-1)$ nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(5-2;2-(-1);-1-3)=(3;3;-4)$. Kết quả trùng với đáp án B và bảng đáp án mã đề 102 (câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: $G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)=\left(\frac{0-5-1}{3};\frac{2+4+0}{3};\frac{-1+2+5}{3}\right)=(-2;2;2)$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (Câu 1, Mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OA}=(2;0;1)$, $\overrightarrow{OB}=(0;5;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\cdot 0+0\cdot 5+1\cdot (-1)=-1$. Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án (Mã đề 101, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$ nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 3$ → Sai. b) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=A+\overrightarrow{BC}$ với $\overrightarrow{BC}=(-3;5;-5)$, suy ra $D=(4-3;2+5;1-5)=(1;7;-4)\ne (1;4;-4)$ → Sai. c) Trung điểm $I$ của $AB$: $I=\left(\frac{4+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{1+3}{2}\right)=(3;0;2)$ → Đúng. d) $\overrightarrow{OA}=\left(4;2;1\right)$ vì $O(0;0;0)$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: SSĐĐ (a Sai, b Sai, c Đúng, d Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-3;5;-5)$ nên $D=(1;7;-4)\ne (1;4;-4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$I=\left(\frac{4+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{1+3}{2}\right)=(3;0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}=\left(4;2;1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Các vectơ chỉ phương của ba lực: $\overrightarrow{SA}=(0;-6;-20)$, $\overrightarrow{SB}=(3\sqrt{3};3;-20)$, $\overrightarrow{SC}=(-3\sqrt{3};3;-20)$, cùng độ lớn $k$ (N). Trọng lực $\vec{P}=(0;0;-2)$ nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;2)$ (cân bằng). Do tính đối xứng của ba chân, các thành phần ngang triệt tiêu, chỉ còn thành phần theo trục $Oz$: $3k\cdot \frac{-20}{|SA|}=-2$ với $|SA|=\sqrt{0+36+400}=\sqrt{436}=2\sqrt{109}$. Suy ra $k=\frac{|SA|}{30}$, do đó $\overrightarrow{F_1}=\frac{k}{|SA|}(0;-6;-20)=\frac{1}{30}(0;-6;-20)=(0;-0,2;-\frac{2}{3})$, tức $a=0,b=-0,2,c=-\frac{2}{3}$. Vậy $T=3a+5b+6c=0+5(-0,2)+6(-\frac{2}{3})=-1-4=-5$, khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III câu 1: -5).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=C-A=(-1;3;-3)$. Suy ra $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=(-4-3;4+9;0-9)=(-7;13;-9)$. Do đó $D=A+(-7;13;-9)=(-10;17;-7)$. Vậy $S=x_D+y_D+4z_D=-10+17+4(-7)=-21$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $A(2;2;1)$ nên $OA=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;1;-1)$ trên trục $Oz$ là điểm có tọa độ dạng $(0;0;z)$ với $z$ bằng tung độ $z$ của $M$, tức là $(0;0;-1)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-5;-2-0;-1+7)=(-4;-2;6)$, $\overrightarrow{BC}=C-B=(6-1;-5+2;-2+1)=(5;-3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$.
a) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ nên $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+25+25}=\sqrt{51}$ → Đúng.
b) Hình chiếu của $M(5;10;-7)$ trên mặt phẳng $Oxy$ là $(5;10;0)\ne A(5;0;-7)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)$ và $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ không cùng phương (không tỉ lệ) nên ba điểm không thẳng hàng → Sai.
d) $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)\ne (6;-2;-8)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$, độ dài $=\sqrt{1+25+25}=\sqrt{51}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $M(5;10;-7)$ trên $Oxy$ là $(5;10;0)$, khác $A(5;0;-7)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ không cùng phương nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)\ne (6;-2;-8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(7;0;0)$, $D(0;7;0)$, $A^{\prime }(0;0;7)$, suy ra $C^{\prime }(7;7;7)$. Trung điểm $F$ của $A{C}^{\prime }$: $F\left(\frac{7}{2};\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{FD}=D-F=\left(-\frac{7}{2};\frac{7}{2};-\frac{7}{2}\right)$. Tung độ (thành phần theo $Oy$) của $\overrightarrow{FD}$ bằng $\frac{7}{2}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng của hai vectơ là một số: $\vec{a}.\vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$, không phải một vectơ có tọa độ $(a_1{b}_1;a_2{b}_2;a_3{b}_3)$. Do đó khẳng định D sai. Các khẳng định A, B, C đều đúng theo định nghĩa phép toán trên vectơ trong không gian Oxyz.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác: $G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2I}{3}$ vì $I$ là trung điểm $BC$. Tọa độ: $a=\frac{-2+2\cdot 1}{3}=0$, $b=\frac{3+2\cdot 3}{3}=3$, $c=\frac{-5+2\cdot 1}{3}=-1$. Vậy $G(0;3;-1)$ và $P=a+b+c=0+3-1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $B$ làm gốc $O$, $A$ thuộc tia Ox nên $A(a;0;0)$, $C$ thuộc tia Oy nên $C(0;a;0)$, $B_1$ thuộc tia Oz nên $B_1(0;0;a)$. Suy ra $D(a;a;0)$, $A_1(a;0;a)$, $C_1(0;a;a)$. Do đó khẳng định đúng là $D(a;a;0)$, tức phương án B. Các phương án A, C, D sai vì $A_1(a;a;a)$, $C(a;a;0)$, $C_1(a;a;a)$ đều không đúng tọa độ thực.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=5\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}$ nên tọa độ của vecto là $\vec{a}=(5;-1;-2)$.

Chọn B. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm $O$ lần lượt có độ lớn là $25N,12N,4N$. Vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{F_3}$. Dựng hình bình hành $OADB$ và hình bình hành $ODEC$. Hợp lực tác động vào vật là $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $OBD$, ta có $O{D}^2=B{D}^2+O{B}^2-2.BD.OB.\cos \widehat{OBD}=O{A}^2+O{B}^2+2.OA.OB.\cos 100^{\circ }$. Vì $OC\perp \left(OADB\right)$ nên $OC\perp OD$ suy ra $ODEC$ là hình chữ nhật. Do đó tam giác $ODE$ vuông tại $D$. Ta có $O{E}^2=O{C}^2+O{D}^2=O{C}^2+O{A}^2+O{B}^2+2.OA.OB.\cos 100^{\circ }$. Suy ra $OE=\sqrt{O{C}^2+O{A}^2+O{B}^2+2.OA.OB.\cos 100^{\circ }}$ $=\sqrt{4^2+25^2+12^2+2\cdot 25\cdot 12\cdot \cos 100^{\circ }}\approx 26,092$. Vậy độ lớn của hợp lực là $F=OE\approx 26N$.

Chọn A. Ta có $\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|}=\frac{2.0-1.2+3.1}{\sqrt{2^2+1^2+3^2}.\sqrt{(-2{)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{70}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo của hình hộp xuất phát từ đỉnh $A$). Thật vậy, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, rồi $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$\vec{j}=(0;1;0)$, $|\vec{j}|=1$, $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$. Tích vô hướng $\vec{j}\cdot \vec{a}=0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 0=1$. Do đó $\cos (\vec{j},\vec{a})=\frac{1}{1\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $45^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Trọng tâm G = ((2+3+1)/3; (-1+1-1)/3; (-2+2+1)/3) = (2; -1/3; 1/3), trùng với G đã cho nên đúng. b) $\overrightarrow{BA}$=(-1;-2;-4), $\overrightarrow{BC}$=(-2;-2;-3), cos ABC = (2+4+12)/(√21·√17) = 18/√357 ≈ 0,9527 nên góc ABC ≈ 17,7° ≠ 60°, sai. c) Với hình bình hành ABCD: $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ nên D = A + C - B = (2+1-3; -1-1-1; -2+1-2) = (0; -3; -3) ≠ (0; 3; 3), sai. d) Đường thẳng AB: (x;y;z) = (2+t; -1+2t; -2+4t). M ∈ Oxy nên z = 0 ⇒ t = 1/2 ⇒ M = (5/2; 0; 0) ≠ (3; 1; 0), sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
G = ((2+3+1)/3; (-1+1-1)/3; (-2+2+1)/3) = (2; -1/3; 1/3), đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos ABC = 18/√357 ≈ 0,9527 nên ABC ≈ 17,7° ≠ 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
D = A + C - B = (0; -3; -3) ≠ (0; 3; 3).
d) (AI giải đề cho tôi)
M trên AB với z = 0: t = 1/2, M = (5/2; 0; 0) ≠ (3; 1; 0).