Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc tia Oy nên M(0;m;0) với m≥0. Tam giác ABM vuông tại M nên (A−M)·(B−M)=0: (2−m)(−3−m)+(−1)(6)=0 ⟹ m²+m−12=0 ⟹ m=3 (nhận, m≥0) hoặc m=−4 (loại). Vậy M(0;3;0). Khi đó MA=(0;−1;−1), MB=(1;−6;6), MA×MB=(−12;−1;1), |MA×MB|=√146. Diện tích tam giác ABM = ½√146 ≈ 6,04.

(AI giải đề cho tôi)
Khi có dòng hải lưu, vận tốc tổng hợp là $\vec{v}+\vec{w}=(11+4;7+2;-4+0)=(15;9;-4)$. Tốc độ là độ lớn: $|\vec{v}+\vec{w}|=\sqrt{15^2+9^2+(-4{)}^2}=\sqrt{225+81+16}=\sqrt{322}\approx 17,94\approx 17,9$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc không đổi: vector chuyển động trong 10 phút là $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Sau 5 phút tiếp theo, máy bay đi thêm nửa đoạn đó: $(70;25;0,5)$. Vậy tọa độ mới là $(940+70;550+25;8+0,5)=(1010;575;8,5)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;2-1;1-(-2))=(1;1;3)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ đơn vị của trục $Oy$ có tọa độ $(0;1;0)$ vì nó cùng hướng với trục $Oy$ và có độ dài bằng 1. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 122, câu 1: A.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình lập phương: $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}\cdot \text{cạnh}=2a\sqrt{3}\Rightarrow$ cạnh $=2a$.
a) Đúng: $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.
b) Đúng: Với $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$ thì $C(2a;2a;0)$, $C^{\prime }(2a;2a;2a)$, nên $C$ là hình chiếu của $C^{\prime }$ lên $(Oxy)$.
c) Sai: $I(a;a;a)$, $J$ tâm $A^{\prime }AB{B}^{\prime }$: $J(a;0;a)$, $K$ tâm $A^{\prime }AD{D}^{\prime }$: $K(0;a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OK}=(0;a;-a)$, nên $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{KD}=-a^2\ne -\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.
d) Đúng: Với $Ox\equiv AD$, $Oy\equiv AB$, $Oz\equiv A{A}^{\prime }$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$ với $G(a;a;0)$ là tâm $ABCD$. $|\overrightarrow{MG}|$ ngắn nhất khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, tức $M(a;a;2a)$. Vậy $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a-1)$. Khớp đáp án mã đề 122: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài vectơ bằng độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(2a;2a;0)$ và $C^{\prime }(2a;2a;2a)$ nên $C$ là hình chiếu vuông góc của $C^{\prime }$ lên $(Oxy)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=(0;a;-a)$ nên tích vô hướng bằng $-a^2$, không bằng $-\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vectơ bằng $4\overrightarrow{MG}$, $G(a;a;0)$; $M$ ngắn nhất tại $(a;a;2a)$, suy ra $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M\in (Oxz)$ nên $M(a;0;c)$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-a;a;2-c)$... tính trực tiếp: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=a^2-1+(2-c{)}^2$, $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=a^2-2a+c^2-3c+1$, $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=a^2-4a+c^2-3c+5$. Do đó $S=2\left(a^2-1+c^2-4c+4\right)+\left(a^2-2a+c^2-3c+1\right)+3\left(a^2-4a+c^2-3c+5\right)=6a^2-14a+6c^2-20c+22$. Hàm số đạt nhỏ nhất khi $a=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$, $c=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$. Khi đó $T=6a-5b+3c=6\cdot \frac{7}{6}-0+3\cdot \frac{5}{3}=7+5=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-5;2)$ nên ${\overrightarrow{AB}}^2=9+25+4=38$. $\overrightarrow{AC}=(-5;1;2)$, $\overrightarrow{CD}=(11;-5;7)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-55-5+14=-46$. Vậy $P=38-(-46)=84$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ luôn đúng với mọi ba điểm $A,B,C$. Các phương án khác sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$. Khớp với đáp án nguồn B (mã đề 122, câu 7).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$ có tọa độ là trung bình cộng tọa độ của hai điểm: $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$. Điều này khớp với phương án C và cũng trùng với đáp án mã đề 122, câu 9 là C trong bảng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-5;2)$ nên ${\overrightarrow{AB}}^2=9+25+4=38$. $\overrightarrow{AC}=(-5;1;2)$, $\overrightarrow{CD}=(11;-5;7)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-55-5+14=-46$. Vậy $P=38-(-46)=84$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 121, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình lập phương: $A{C}^{\prime }=\text{cạnh}\cdot \sqrt{3}=2a\sqrt{3}\Rightarrow$ cạnh $=2a$.

a) Đúng: Độ dài vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ chính là độ dài đoạn $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.

b) Đúng: Với hệ trục $O\equiv A$, $Ox\equiv AB$, $Oy\equiv AD$, $Oz\equiv A{A}^{\prime }$, ta có $C^{\prime }(2a;2a;2a)$ và $C(2a;2a;0)$. Hình chiếu vuông góc của $C^{\prime }$ lên $(Oxy)$ là điểm có cùng tọa độ $x,y$ và $z=0$, tức $(2a;2a;0)\equiv C$.

c) Sai: Tọa độ $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$. Điểm cách đều 8 đỉnh là tâm lập phương $I(a;a;a)$; $J$ tâm $A^{\prime }AB{B}^{\prime }$: $J(a;0;a)$; $K$ tâm $A^{\prime }AD{D}^{\prime }$: $K(0;a;a)$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OK}=(0;a;-a)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{KD}=0+(-a)(a)+0=-a^2\ne -\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.

d) Đúng: Với $Ox\equiv AD$, $Oy\equiv AB$, $Oz\equiv A{A}^{\prime }$: $A(0;0;0)$, $B(0;2a;0)$, $C(2a;2a;0)$, $D(2a;0;0)$. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{OM}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=4\overrightarrow{OM}-(4a;4a;0)$. Biểu thức này ngắn nhất khi $\overrightarrow{OM}=(a;a;2a)$ (vì $M\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $z_M=2a$). Khi đó $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a)-(0;0;1)=(a;a;2a-1)$.

Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 121: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ bằng độ dài đoạn thẳng $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ trục đã cho, $C^{\prime }(2a;2a;2a)$, hình chiếu lên $(Oxy)$ là $(2a;2a;0)\equiv C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $I(a;a;a)$, $J(a;0;a)$, $K(0;a;a)$: $\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=(0;a;-a)$, nên $\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{KD}=-a^2\ne -\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{OM}-(4a;4a;0)$ ngắn nhất khi $M(a;a;2a)$, suy ra $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto đơn vị của trục $Oy$ là vecto có độ dài 1 cùng chiều dương trục $Oy$, tọa độ $(0;1;0)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $O(0;0;0)$, cột điện dọc trục $Oz$ với $A(0;0;h)$, $B(6;0;0)$, và vì góc nhị diện $[B,OA,C]=135^0$ nên $C(6\cos 135^0;6\sin 135^0;0)=(-3\sqrt{2};3\sqrt{2};0)$.

Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và mặt phẳng $(OBC)$ bằng $45^0$: $\sin 45^0=\frac{h}{AB}=\frac{h}{\sqrt{36+h^2}}$, suy ra $h^2=36$, $h=6$.

Vậy $\overrightarrow{AB}=(6;0;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(-3\sqrt{2};3\sqrt{2};-6)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-18\sqrt{2}+36$; $|AB|=|AC|=6\sqrt{2}$.

$$\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{36-18\sqrt{2}}{72}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\approx 0,1464\approx 0,1$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,1.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M(a;b;c)\in (Oxz)$ nên $b=0$, đặt $M(a;0;c)$. Khi đó $\overrightarrow{MA}=(1-a;0;2-c)$, $\overrightarrow{MB}=(-1-a;2;2-c)$, $\overrightarrow{MC}=(3-a;1;1-c)$.

Tính các tích vô hướng:
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(1-a)(-1-a)+(2-c{)}^2=a^2-1+(2-c{)}^2=a^2+c^2-4c+3$.
$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=(-1-a)(3-a)+2+(2-c)(1-c)=a^2-2a-3+2+c^2-3c+2=a^2-2a+c^2-3c+1$.
$\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=(3-a)(1-a)+(1-c)(2-c)=a^2-4a+3+c^2-3c+2=a^2-4a+c^2-3c+5$.

Do đó:
$$S=2(a^2+c^2-4c+3)+(a^2-2a+c^2-3c+1)+3(a^2-4a+c^2-3c+5)$$
$$S=6a^2-14a+6c^2-20c+22=6{\left(a-\frac{7}{6}\right)}^2+6{\left(c-\frac{5}{3}\right)}^2-\frac{49}{6}-\frac{25}{6}+22$$

S đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=\frac{7}{6}$, $c=\frac{5}{3}$ (và $b=0$). Khi đó:
$$T=6a-5b+3c=6\cdot \frac{7}{6}-0+3\cdot \frac{5}{3}=7+5=12.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$, suy ra $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$. Do đó $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$. Khớp với bảng đáp án (Mã đề 121, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=(-2;1;-2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=2+1+0=3$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{4+1+4}=3$. Vậy $\cos (AB;CD)=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $a=2$ và $P=2a=4$.

Chọn B
Đặt vị trí vật tại điểm $O$, dựng lần lượt các vectơ ${\vec{F}}_1=\overrightarrow{OA},{\vec{F}}_2=\overrightarrow{OE},{\vec{F}}_3=\overrightarrow{OC}$.
Dựng hình lập phương $OABC.EFGH$

Vì các sợi dây có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau một góc $90^{\circ }$ nên $\left|{\vec{F}}_1\right|=\left|{\vec{F}}_2\right|=\left|{\vec{F}}_3\right|$.
Theo quy tắc hình hộp, ta có: ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3=\overrightarrow{OG}=\vec{F}\Rightarrow \left|{\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3\right|=\left|\overrightarrow{OG}\right|=\left|\vec{F}\right|$.
Để vật cân bằng thì độ lớn của tổng hợp lực sẽ bằng với trọng lượng của vật.
Từ đó suy ra $\left|\vec{F}\right|=60N$, mà $OG=OA.\sqrt{3}$ nên $\left|{\vec{F}}_1\right|=\frac{60}{\sqrt{3}}\approx 34,6N$.

Chọn A
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, suy ra $G(1;2;1)$.
Gọi $H(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{HA}-4\overrightarrow{HC}=\vec{0}$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2-x=4(-1-x)\\ 3-y=4(0-y)\\ -1-z=4(2-z)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\\ z=3\end{array}\Rightarrow H(-2;-1;3).$$
Nhận thấy $G$ và $H$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng $(Oxz)$; $HG=\sqrt{22}$.
Ta có: $S=\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$
$=\left|\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HA}-4\overrightarrow{MH}-4\overrightarrow{HC}\right|+\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|-3\overrightarrow{MH}\right|+\left|3\overrightarrow{MG}\right|$
$=3\left(MH+MG\right)\ge 3GH=3\sqrt{22}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $H$, $M$, $G$ thẳng hàng theo thứ tự.
Lại do $M\in (Oxz)$ nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $GH$ với mặt phẳng $(Oxz)$.
Vậy $M\left(-1;0;\frac{7}{3}\right)$.

a) Sai: Khi $QT=7m$ thì $z_Q=7\ne 5$ (mâu thuẫn).
b) Sai: $OD=8-2=6m\to D(-6;0;0)$; $K(0;0;5)\to E(-2;0;5)$; $Q(-6;3;7)$, $G(-6;6;5)$. $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{EQ};\vec{i}\right]=(0;2;-3)$, $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{QG};\vec{i}\right]=(0;-2;-3)$. $\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{5}{13}\to \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)\approx 67,3$ độ.
c) Đúng: $V_1=8.\frac{1}{2}.2.6=48\left(m^3\right)$; $V_2=AB.AD.AE=240\left(m^3\right)$; $V_1+V_2=288\left(m^3\right)$.
d) Sai: Trải phẳng 2 lần, với $M$ trung điểm $FG$: $M_1\left(-2;0;5+2\sqrt{13}\right)$ và $M_2\left(-2;11;0\right)$. Quãng đường ngắn nhất cần tìm là $\min \left\{O{M}_1;O{M}_2\right\}=5\sqrt{5}$ (m), không phải $5+2\sqrt{10}$ m.
a) Sai: Ta dễ thấy khi $QT=7m$ thì $z_Q=7\ne 5$ (mâu thuẫn).
b) Sai: Từ hình vẽ ta suy ra $OD=AD-OA=8-2=6m\to D(-6;0;0)$. Tiếp đến $K\in Oz$ và $AE=5m$ nên suy ra $K(0;0;5)\to E(-2;0;5)$. Tại điểm $Q,G$ ta có $x_G=x_Q=x_T=x_D=-6$ và $y_G=y_C=\overline{CD}=\overline{AB}=6$. Do $T$ là trung điểm của $DC$ nên $DT=\frac{DC}{2}\to y_Q=y_T=\frac{y_C}{2}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{\overline{AB}}{2}=3\to Q(-6;3;7)$. Mà $\overrightarrow{HE}\parallel Ox$ (với $\vec{i}=(1;0;0)$) nên suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng $(EHQP)$ là $\overrightarrow{n_1}$ trong đó $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{EQ};\vec{i}\right]=(0;2;-3)$. Tiếp đến ta có: $z_G=z_E=5$ nên $G(-6;6;5)$ nên suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng $(FGQP)$ là $\overrightarrow{n_2}$ trong đó $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{QG};\vec{i}\right]=(0;-2;-3)$. Suy ra góc giữa hai mái nhà có cosin là $$\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{5}{13}\to \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\approx 67,3\text{ (độ)}$$
c) Đúng: Thể tích khối lăng trụ $EFP.HGQ$ là $V_1=AD.\frac{1}{2}\left|z_Q-z_H\right|.AB=8.\frac{1}{2}.\left|7-5\right|.6=48\left(m^3\right)$. Thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ là $V_2=AB.AD.AE=240\left(m^3\right)$. Suy ra thể tích toàn bộ căn nhà này bằng: $V_1+V_2=288\left(m^3\right)$.
d) Sai: Ta cần trải phẳng 2 lần như sau: Lần 1: Trải 2 mặt phẳng $(EHQP)$ và $(FGQP)$ sao cho đồng phẳng liên tiếp với $(ADHE)$. Lần 2: Trải mặt phẳng $(BCGF)$ sao cho đồng phẳng với $(ABCD)$. Từ đây ta có hình vẽ như sau: (gọi $M$ là trung điểm $FG$)
[Hình cần kiểm tra lại: p21_f1]
Ta có $x_{M_1}=x_{M_2}=\frac{x_D}{2}+1=-2$; $\{\begin{array}{l}{y}_{M_1}=0\\ y_{M_2}=y_B+\overline{B{F}_2}=\overline{AB}+\overline{BF}=6+5=11\end{array}$
Do $d(P;EF)=\left|z_Q-z_H\right|=7-5=2$
Nên tiếp đến ta có: $\{\begin{array}{l}{z}_{M_1}=z_K+\overline{E{P}_1}+\overline{P_1{F}_1}=5+2EP=5+2\sqrt{2^2+3^2}=5+2\sqrt{13}\\ z_{M_2}=0\end{array}$
Suy ra: $M_1\left(-2;0;5+2\sqrt{13}\right)$ và $M_2\left(-2;11;0\right)$
Khi ấy quãng đường ngắn nhất cần tìm là $\min \left\{O{M}_1;O{M}_2\right\}=\left\{\sqrt{81+20\sqrt{13}};5\sqrt{5}\right\}=5\sqrt{5}$ (m)