Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 1103, Phần II): a) Sắp xếp 8 bạn chọn từ 10 thành hàng ngang là chỉnh hợp A(10,8) = 1.814.400, không phải tổ hợp C(10,8) = 45 → SAI. b) Bình và An có tham gia: chọn thêm 6 bạn từ 8 bạn còn lại: C(8,6) = 28, sắp xếp 8 người thành hàng: 8! = 40320, tổng 28 × 40320 = 1.128.960 ≠ 20160 → SAI. c) Bình và An đứng hai đầu hàng: 2! = 2 cách cho hai đầu, 6 vị trí giữa chọn và xếp từ 8 bạn còn lại: A(8,6) = 20160, tổng 2 × 20160 = 40320 → ĐÚNG. d) Bình và An đứng cạnh nhau: gộp thành một khối, có 7 vị trí cho khối, 2! = 2 cách đổi chỗ trong khối, 6 bạn còn lại chọn từ 8 và xếp vào 6 vị trí: A(8,6) = 20160, tổng 7 × 2 × 20160 = 282240 → ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án chính thức (mã 1103, câu 2: a S, b S, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 8 bạn chọn từ 10 thành hàng ngang là chỉnh hợp A(10,8) = 1.814.400, không phải C(10,8) = 45.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình, An có tham gia: C(8,6) × 8! = 28 × 40320 = 1.128.960 cách, không phải 20160.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: 2! = 2 cách; 6 vị trí giữa: A(8,6) = 20160; tổng 2 × 20160 = 40320 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gộp Bình, An thành khối: 7 vị trí × 2! × A(8,6) = 7 × 2 × 20160 = 282240 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần đếm gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, lấy từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, chia hết cho 6 tức chia hết cho cả 2 và 3. Tổng tất cả 7 chữ số là $21\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, nên tổng 5 chữ số được chọn chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng 2 chữ số bị loại chia hết cho 3. Các cặp bị loại thỏa mãn: trong nhóm dư 0 là $\{0,3\},\{0,6\},\{3,6\}$; mỗi phần tử nhóm dư 1 ($\{1,4\}$) với nhóm dư 2 ($\{2,5\}$): $\{1,2\},\{1,5\},\{2,4\},\{4,5\}$ — tổng cộng 7 cặp.

TH1: Cặp bị loại chứa 0 (cặp $\{0,3\},\{0,6\}$):
- Loại $\{0,3\}$: còn $\{1,2,4,5,6\}$, chữ số chẵn là $2,4,6$: có $3\cdot 4!=72$ số.
- Loại $\{0,6\}$: còn $\{1,2,3,4,5\}$, chữ số chẵn là $2,4$: có $2\cdot 4!=48$ số.
Tổng: $120$.

TH2: Cặp bị loại không chứa 0, tức tập còn lại gồm 0 và 4 chữ số khác (5 tập: $\{0,3,4,5,6\},\{0,2,3,4,6\},\{0,1,3,5,6\},\{0,1,2,4,5\},\{0,1,2,3,6\}$). Với mỗi tập, chữ số cuối chẵn (kể cả 0), chữ số đầu khác 0:
- Nếu chữ số cuối khác 0: $4!-3!=18$ cách xếp 4 chữ số còn lại với chữ đầu khác 0.
- Nếu chữ số cuối là 0: $4!=24$ cách.
Tính cụ thể:
- $\{0,3,4,5,6\}$: chẵn khác 0 là $4,6$: $2\cdot 18+24=60$.
- $\{0,2,3,4,6\}$: chẵn khác 0 là $2,4,6$: $3\cdot 18+24=78$.
- $\{0,1,3,5,6\}$: chẵn khác 0 là $6$: $1\cdot 18+24=42$.
- $\{0,1,2,4,5\}$: chẵn khác 0 là $2,4$: $2\cdot 18+24=60$.
- $\{0,1,2,3,6\}$: chẵn khác 0 là $2,6$: $2\cdot 18+24=60$.
Tổng TH2: $60+78+42+60+60=300$.

Vậy tổng số số cần đếm là $120+300=420$, khớp đáp án A (bảng đáp án chính thức, Mã 1102, Câu 12 là A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Bình và An đứng hai đầu: 2! cách đổi chỗ cho hai người, 6 vị trí giữa chọn từ 8 bạn còn lại: $A_8^6=20160$. Tổng: $2\cdot 20160=40320$ cách. Đúng.
b) Cả hai tham gia và đứng cạnh nhau: chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; coi cặp Bình-An là một khối nên có $7!\cdot 2!=10080$ cách xếp. Tổng: $28\cdot 10080=282240$ cách. Đúng.
c) Xếp 8 bạn thành hàng ngang từ 10 bạn là hoán vị chập k của 10: $A_{10}^8$, không phải $C_{10}^8$ (chỉ là chọn chứ chưa xếp hàng). Sai.
d) Cả hai tham gia: chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại rồi xếp 8 người thành hàng: $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960$ cách, khác 20160. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: $2!\cdot A_8^6=2\cdot 20160=40320$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^6\cdot 7!\cdot 2!=28\cdot 10080=282240$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng $A_{10}^8$ vì có sắp xếp thứ tự hàng ngang, không phải chỉ chọn $C_{10}^8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^6\cdot 8!=1128960$ cách, không phải 20160.

(AI giải đề cho tôi)
Coi khối ba chữ số liên tiếp '123' hoặc '321' (thỏa mãn chữ số 2 đứng liền giữa 1 và 3) như một phần tử. Chọn 4 chữ số còn lại khác nhau từ tập $\{0,4,5,6,7,8,9\}$: có $C_7^4=35$ cách. Xếp 5 phần tử (khối + 4 chữ số) vào 7 vị trí: $5!=120$ cách, và khối có 2 cách thứ tự. Tổng: $35\cdot 120\cdot 2=8400$. Loại các số có chữ số 0 đứng đầu: chọn 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số khác 0: $C_6^3=20$; với 0 ở vị trí đầu, xếp khối và 3 chữ số vào 6 vị trí còn lại: $4!\cdot 2=48$ cách. Số bị loại: $20\cdot 48=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xem khối '123' hoặc '321' (chữ số 2 đứng giữa 1 và 3) như một khối. Có 2 cách xếp 1 và 3 trong khối. Khối cùng 4 chữ số khác chiếm 5 vị trí: có 5 cách đặt khối. Chọn và xếp 4 chữ số khác từ 7 chữ số còn lại (0,4,5,6,7,8,9): $A_7^4=840$. Tổng: $5\cdot 2\cdot 840=8400$. Trừ các số có chữ số 0 ở đầu: xảy ra khi khối không ở vị trí đầu (4 cách đặt khối), chữ số đầu là 0, chọn xếp 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $4\cdot 2\cdot A_6^3=4\cdot 2\cdot 120=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm chia hết cho $6$ nên chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho $3$. Các chữ số lấy từ $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, đôi một khác nhau, tổng tất cả bằng $21$ chia hết cho $3$. Chọn $5$ chữ số có tổng chia hết cho $3$ tương đương loại $2$ chữ số có tổng chia hết cho $3$; các cặp bị loại: $(0,3),(0,6),(3,6),(1,2),(1,5),(2,4),(4,5)$ — $7$ bộ chữ số. Với mỗi bộ, đếm hoán vị có chữ số tận cùng chẵn và chữ số đầu khác $0$ (hiệu: $5!$ nhân số chữ số chẵn trừ các trường hợp đầu $=0$):
- $\{1,2,3,4,6\}$: $3\cdot 24=72$.
- $\{0,3,6,1,2\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,3,6,1,5\}$: $2\cdot 24-6=42$.
- $\{0,3,6,2,4\}$: $4\cdot 24-3\cdot 6=78$.
- $\{0,3,6,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,1,2,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{1,2,3,4,5\}$: $2\cdot 24=48$.
Tổng: $72+60+42+78+60+60+48=420$. Kết quả khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 8 trong 10 bạn xếp thành hàng ngang.
a) Hai bạn Bình và An đều tham gia: chọn thêm 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; xếp 8 bạn thành hàng: $8!=40320$. Tổng: $28\cdot 40320=1128960\ne 20160$ → Sai.
b) Bình và An đứng hai đầu hàng: $2!=2$ cách xếp hai đầu; chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; xếp 6 bạn vào giữa: $6!=720$. Tổng: $2\cdot 28\cdot 720=40320$ → Đúng.
c) Xếp 8 bạn từ 10 bạn thành hàng ngang là chỉnh hợp: $A_{10}^8$, không phải tổ hợp $C_{10}^8$ (chỉ chọn chứ chưa xếp) → Sai.
d) Bình và An cùng tham gia và đứng cạnh nhau: chọn 6 bạn từ 8: $C_8^6=28$; coi Bình và An là một khối, xếp 7 phần tử: $7!\cdot 2!=10080$. Tổng: $28\cdot 10080=282240$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a: S, b: Đ, c: S, d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình và An đều tham gia: $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960$ cách, không phải 20160.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: $2!=2$; chọn 6 bạn giữa: $C_8^6=28$; xếp giữa: $6!=720$; tổng $2\cdot 28\cdot 720=40320$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 8 bạn thành hàng ngang là chỉnh hợp chập 8 của 10: $A_{10}^8$, không phải $C_{10}^8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 bạn từ 8: $C_8^6=28$; Bình và An cạnh nhau coi là một khối: $7!\cdot 2!=10080$; tổng $28\cdot 10080=282240$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là số học sinh nhận cặp (Toán, Lý), $b$ là số học sinh nhận cặp (Toán, Hóa), $c$ là số học sinh nhận cặp (Lý, Hóa). Vì mỗi học sinh nhận 2 cuốn khác thể loại và dùng hết 20 cuốn nên: $a+b=8$ (Toán), $a+c=7$ (Lý), $b+c=5$ (Hóa). Giải hệ được $a=5$, $b=3$, $c=2$ (thỏa mãn $a+b+c=10$). Vậy có 5 học sinh nhận cặp (Toán, Lý), 3 học sinh nhận cặp (Toán, Hóa), 2 học sinh nhận cặp (Lý, Hóa). Số cách phát thưởng là số cách chia 10 học sinh (phân biệt) thành 3 nhóm này: $\frac{10!}{5!3!2!}=\frac{3628800}{120\cdot 6\cdot 2}=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2520.

(AI giải đề cho tôi)
Xem Bình và An như một khối, ta có 41 đối tượng xếp thành hàng dọc: $41!$ cách. Hai bạn trong khối có thể đổi chỗ cho nhau: $2!$ cách. Vậy tổng số cách là $41!\times 2!$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7, 9: chữ số tận cùng phải chẵn, chỉ có thể là 2, 4 hoặc 6 (3 cách). Sau đó chọn hàng trăm: 5 cách (trừ chữ số đã dùng), hàng chục: 4 cách. Tổng: $3\cdot 5\cdot 4=60$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7, 9 phải có chữ số hàng đơn vị chẵn: 2, 4, 6 (3 cách chọn). Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, còn 5 chữ số để chọn hàng trăm và 4 chữ số để chọn hàng chục. Vậy tổng số cách là $3\cdot 5\cdot 4=60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập là số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7, 9. Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) phải chẵn: chỉ có 2, 4, 6 → 3 cách chọn. Sau khi chọn chữ số tận cùng, còn 5 chữ số để chọn hàng trăm và 4 chữ số để chọn hàng chục. Vậy tổng số số lập được là $3\times 5\times 4=60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7, 9 phải có chữ số tận cùng chẵn: 2, 4 hoặc 6 (3 cách chọn). Sau khi chọn chữ số tận cùng, còn 5 chữ số để chọn chữ số hàng trăm và 4 chữ số để chọn chữ số hàng chục. Vậy tổng số cách là $3\cdot 5\cdot 4=60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn 1 nam trong 6 và 1 nữ trong 6: có $6\cdot 6=36$ cách, không phải 12 → Sai. b) Xếp 12 học sinh phân biệt vào một hàng dọc: $12!$ cách → Đúng. c) Xếp xen kẽ nam nữ (6 nam, 6 nữ): có $2\cdot 6!\cdot 6!=2\cdot 720\cdot 720=1036800$ cách, không phải 518400 → Sai. d) Tổng số cách xếp hàng ngang là $12!$; số cách Hoa và Hùng đứng cạnh nhau là $2\cdot 11!$ (coi hai bạn là một khối). Vậy số cách không cạnh nhau: $12!-2\cdot 11!=12\cdot 11!-2\cdot 11!=10\cdot 11!$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn một cặp nam nữ là $6\cdot 6=36$, không phải 12.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 12 học sinh phân biệt vào hàng dọc: $12!$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp xen kẽ nam nữ: $2\cdot 6!\cdot 6!=1036800$ cách, không phải 518400.
d) (AI giải đề cho tôi)
$12!-2\cdot 11!=10\cdot 11!$ cách để Hoa và Hùng không đứng cạnh nhau.

a) Mỗi số lập được là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử => Số các số lập được là: $A_9^4=3024$.
b) Giả sử số cần lập có dạng $x=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}$. Ta coi vai trò chữ số 0 như các chữ số còn lại (tức là chữ số 0 có thể đứng đầu).
Có 5 cách chọn bộ 3 vị trí liền kề.
Khi đó có 2 cách xếp bộ 3 chữ số để chữ số 2 liền giữa chữ số 1 và chữ số 3 là 123 và 321.
Còn $A_7^4$ cách sắp xếp 4 chữ số được chọn từ tập $\{0,4,5,6,7,8,9\}$ để xếp vào 4 vị trí còn lại.
Theo quy tắc nhân trường hợp này có $\mathrm{5.2.}{A}_7^4$ (số).
Ta xét trong các số vừa lập ở trên mà có chữ số 0 đứng đầu:
Có 4 cách chọn bộ 3 vị trí liền kề.
Khi đó có 2 cách xếp bộ 3 chữ số để chữ số 2 liền giữa chữ số 1 và chữ số 3 là 123 và 321.
Còn $A_6^3$ cách sắp xếp 3 chữ số được chọn từ tập hợp $\{4,5,6,7,8,9\}$ để xếp vào 3 vị trí còn lại.
Do vậy có $\mathrm{4.2.}{A}_6^3$ (số). Vậy số các số tự nhiên thoả mãn bài ra là $\mathrm{5.2.}{A}_7^4-\mathrm{4.2.}{A}_6^3=7440$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 6 nam: $6!=720$ cách, tạo 7 khoảng trống, chọn 4 chèn 4 nữ: $C_7^4\cdot 4!=35\cdot 24=840$. Tổng: $720\cdot 840=604800$ cách → đúng. b) Chọn 3 từ 10 (không thứ tự): $C_{10}^3=120$, không phải 720 → sai. c) $C_{10}^3-C_6^3=120-20=100$ → đúng. d) Chọn 1 từ 10: 10 cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 6 nam: $6!=720$ cách; có 7 khoảng trống, chọn 4 chỗ cho 4 nữ: $C_7^4\cdot 4!=840$ cách. Tổng $720\times 840=604800$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh từ 10 (không xét thứ tự): $C_{10}^3=120$ cách, không phải 720.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cách chọn 3 từ 10 là $C_{10}^3=120$; cách không có nữ là $C_6^3=20$. Vậy ít nhất 1 nữ: $120-20=100$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 học sinh làm nhóm trưởng từ 10 học sinh: có 10 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Xem mỗi loại sách là một khối: có 3 khối, xếp thứ tự các khối: $3!=6$ cách. Trong từng khối: hồi ký $3!=6$ cách, văn hóa xã hội $4!=24$ cách, lịch sử $2!=2$ cách. Tổng: $3!\cdot 3!\cdot 4!\cdot 2!=6\cdot 6\cdot 24\cdot 2=1728$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 người từ 8 người là $C_8^3=56$. Số cách chọn 3 người không có nữ (tức chọn 3 nam từ 5 nam) là $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn 3 người có ít nhất 1 nữ là $56-10=46$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 8 chữ số 0;1;2;3;5;6;8;9, số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 phải có chữ số tận cùng chẵn. Các chữ số chẵn: 0;2;6;8 (4 chữ số), các chữ số lẻ: 1;3;5;9 (4 chữ số).

TH1: Chữ số tận cùng là 0. Ba chữ số đầu chọn từ 7 chữ số còn lại, sắp xếp có thứ tự: $A_7^3=7\cdot 6\cdot 5=210$ số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 6 hoặc 8 (3 cách chọn). Chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 6 cách; chữ số hàng trăm có 6 cách; chữ số hàng chục có 5 cách. Số số: $3\cdot 6\cdot 6\cdot 5=540$ số.

Vậy tổng số: $210+540=750$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 học sinh nam trước: có $4!$ cách. 4 nam tạo ra 5 khe (trước, sau và giữa các nam). Để 5 nữ không ai đứng cạnh nhau, phải xếp mỗi nữ vào đúng một khe: có $5!$ cách xếp nữ vào 5 khe đó. Vậy tổng số cách là $4!\cdot 5!$. Đáp án B.