Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+4+8+12+3+2=30$. Khoảng biến thiên $R=115-85=30$ (cm). Tứ phân vị: $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[95;100)$ nên $Q_1=95+\frac{7,5-5}{8}\cdot 5=96,5625$ cm; $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[100;105)$ nên $Q_3=100+\frac{22,5-13}{12}\cdot 5\approx 103,9583$ cm. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 7,40$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $20,5$; $23,5$; $26,5$; $29,5$; $32,5$; $35,5$ với tần số tương ứng $5;7;8;16;12;7$ và $n=55$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{5\cdot 20,5+7\cdot 23,5+8\cdot 26,5+16\cdot 29,5+12\cdot 32,5+7\cdot 35,5}{55}=\frac{1589,5}{55}=28,9.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{5(20,5-28,9{)}^2+7(23,5-28,9{)}^2+8(26,5-28,9{)}^2+16(29,5-28,9{)}^2+12(32,5-28,9{)}^2+7(35,5-28,9{)}^2}{55}$$
$$=\frac{352,8+204,12+46,08+5,76+155,52+304,92}{55}=\frac{1069,2}{55}\approx 19,44.$$

Vậy phương sai làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là $19,4$, thuộc khoảng $(19;20)$ → chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=7,3$; $x_2=7,5$; $x_3=7,7$; $x_4=7,9$ với tần số tương ứng $2;4;7;6$, nên $n=19$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 7,3+4\cdot 7,5+7\cdot 7,7+6\cdot 7,9}{19}=\frac{145,9}{19}\approx 7,679$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=2\cdot 53,29+4\cdot 56,25+7\cdot 59,29+6\cdot 62,41=1121,07$. Phương sai: $s^2=\frac{1121,07}{19}-{\bar{x}}^2\approx 59,0037-58,9662\approx 0,0375$. Độ lệch chuẩn: $s\approx \sqrt{0,0375}\approx 0,1935$, gần nhất với $0,193$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm) để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Các trung điểm lần lượt là: $x_1=45,x_2=47,x_3=49,x_4=53,x_5=55,x_6=57$ với tần số tương ứng $n_1=3,n_2=3,n_3=10,n_4=15,n_5=7,n_6=2$ và $n=40$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{45\cdot 3+47\cdot 3+49\cdot 10+53\cdot 15+55\cdot 7+57\cdot 2}{40}=\frac{135+141+490+795+385+114}{40}=\frac{2060}{40}=51,5\text{(cm)}.$$

Tính $\sum n_i{x}_i^2$:
$$45^2\cdot 3+47^2\cdot 3+49^2\cdot 10+53^2\cdot 15+55^2\cdot 7+57^2\cdot 2=6075+6627+24010+42135+21175+6498=106520.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{106520}{40}-{\left(51,5\right)}^2=2663-2652,25=10,75.$$

Vậy phương sai của 40 bé sơ sinh là $s^2=10,75$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm chứa giá trị lớn nhất và đầu mút trái của nhóm chứa giá trị nhỏ nhất (hai nhóm có tần số dương đầu tiên và cuối cùng). Lớp $12A$: nhóm có tần số dương đầu tiên là $[150;155)$ (tần số 2), nhóm cuối có tần số dương là $[175;180)$ (tần số 1), nên $R_1=180-150=30$ (cm). Lớp $12B$: nhóm đầu có tần số dương là $[155;160)$ (tần số 9), nhóm cuối là $[175;180)$ (tần số 5), nên $R_2=180-155=25$ (cm). Vậy $R_1=30$ cm; $R_2=25$ cm, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 dựa vào bảng số liệu ghép nhóm ở Câu 2 (các nhóm $[150;155),\dots ,[175;180)$). Khi thay tất cả các tần số bằng 4:
- Khoảng biến thiên $R$ chỉ phụ thuộc vào hai đầu của dãy giá trị (giá trị nhỏ nhất xấp xỉ đầu nhóm đầu tiên $150$ và giá trị lớn nhất xấp xỉ cuối nhóm cuối cùng $180$), không phụ thuộc tần số, nên $R=180-150=30$ không đổi.
- Khoảng tứ phân vị phụ thuộc vào vị trí $Q_1$, $Q_3$ vốn xác định theo tần số tích lũy; khi tần số thay đổi thì $Q_1$, $Q_3$ thay đổi nên khoảng tứ phân vị thay đổi.
- Phương sai và độ lệch chuẩn phụ thuộc vào các giá trị trung tâm nhóm nhân với tần số tương ứng, nên khi tần số thay đổi thì chúng thay đổi.
Vậy số đặc trưng không thay đổi là khoảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
n = 92. Vị trí Q1: n/4 = 23, thuộc nhóm [6;11) (tần số tích lũy 44 ≥ 23). Q1 = 6 + 5·(23 − 14)/30 = 6 + 45/30 = 7,5. Vị trí Q3: 3n/4 = 69, thuộc nhóm [11;16) (tần số tích lũy 69 ≥ 69). Q3 = 11 + 5·(69 − 44)/25 = 11 + 5 = 16. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 16 − 7,5 = 8,5 = 17/2. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên: $R=110-74=36$.
Tứ phân vị: $\frac{n}{4}=6,75$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[80;86)$: $Q_1=80+\frac{6,75-4}{6}\cdot 6=82,75$.
$\frac{3n}{4}=20,25$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[104;110)$: $Q_3=104+\frac{20,25-20}{7}\cdot 6\approx 104,21$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q\approx 104,21-82,75\approx 21,45$.
Vậy chọn đáp án A: $36;21,45$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên: $R=11-1=10$. Tính tứ phân vị: $\frac{n}{4}=9$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[5;7)$: $Q_1=5+\frac{9-5}{10}\cdot 2=5,8$. $\frac{3n}{4}=27$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[7;9)$: $Q_3=7+\frac{27-15}{14}\cdot 2=7+\frac{12}{7}\approx 8,71$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 8,71-5,8=2,9$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trung bình: $\bar{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 14+52,5\cdot 8+57,5\cdot 10+62,5\cdot 6+67,5\cdot 2}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53,18$. Tính $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{44}=\frac{7225+31587,5+22050+33062,5+23437,5+9112,5}{44}=\frac{126475}{44}\approx 2874,43$. Vậy phương sai $s^2\approx 2874,43-53,18^2\approx 46,1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$ với tần số $n_i=3;6;5;4;2$, $n=20$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2\right]=\frac{2,628}{20}=0,1314$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625\approx 0,36$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 9, 11, 13, 15, 17 với tần số 4, 6, 8, 4, 3 (n = 25). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{9\cdot 4+11\cdot 6+13\cdot 8+15\cdot 4+17\cdot 3}{25}=\frac{317}{25}=12,68$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=81\cdot 4+121\cdot 6+169\cdot 8+225\cdot 4+289\cdot 3=324+726+1352+900+867=4169$. Phương sai: $s^2=\frac{4169}{25}-12,68^2=166,76-160,7824=5,9776$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{5,9776}\approx 2,4449\approx 2,44$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 15; 33; 43; 53; 58; 60 với n = 60.
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là R = 40 - 0 = 40, không phải 30 → Sai.
b) Tổng các tần số 15+18+10+10+5+2 = 60 → n = 60 → Đúng.
c) Vị trí Q1: 60/4 = 15, nhóm chứa Q1 là [15;20). Q1 = 15 + (15 - 15)/18 · 5 = 15 → Đúng.
d) Vị trí Q3: 3·60/4 = 45, nhóm chứa Q3 là [25;30). Q3 = 25 + (45 - 43)/10 · 5 = 26. Vậy Δ_Q = Q3 - Q1 = 26 - 15 = 11 ≠ 3 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 40 - 0 = 40 ≠ 30.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số 15+18+10+10+5+2 = 60.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 15 + (15-15)/18·5 = 15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 25 + (45-43)/10·5 = 26, nên Δ_Q = 26 - 15 = 11 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
n = 28. a) R = 45 − 20 = 25, đúng. b) Vị trí Q1 = 28/4 = 7, nhóm chứa Q1 là [25;30) (tần số tích lũy 6 < 7 ≤ 11), nên sai. c) Vị trí Q3 = 3·28/4 = 21, nhóm [35;40): Q3 = 35 + (21−18)/8 · 5 = 35 + 15/8 = 295/8 = 36,875 ≠ 37, sai. d) Q1 = 25 + (7−6)/5 · 5 = 26; ΔQ = 295/8 − 26 = 87/8, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = giá trị lớn nhất của nhóm cuối − giá trị nhỏ nhất của nhóm đầu = 45 − 20 = 25.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí Q1 = 28/4 = 7. Tần số tích lũy của [20;25) là 6 < 7, của [25;30) là 11 ≥ 7, nên nhóm chứa Q1 là [25;30), không phải [20;25).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí Q3 = 21 thuộc nhóm [35;40): Q3 = 35 + (21−18)/8 · 5 = 295/8 = 36,875 ≠ 37.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 25 + (7−6)/5 · 5 = 26; Q3 = 295/8; ΔQ = 295/8 − 26 = 87/8.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa cận trên của nhóm có tần số dương cuối cùng và cận dưới của nhóm có tần số dương đầu tiên. Xét bảng của Tuấn và An: nhóm có tần số dương đầu tiên là $[15;20)$ (Tuấn có tần số 5), nhóm có tần số dương cuối cùng là $[35;40)$ (Tuấn có tần số 2). Vậy khoảng biến thiên $R=40-15=25$ (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu. Cả hai lớp đều có dữ liệu trải trên các nhóm từ $[50;55)$ đến $[80;85)$, nên khoảng biến thiên của lớp 12A là $R_A=85-50=35$ (kg) và của lớp 12B cũng là $R_B=85-50=35$ (kg). Vì $R_A=R_B=35$ nên nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì cân nặng của học sinh nam hai lớp có độ phân tán bằng nhau, không lớp nào lớn hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+3+12+15+24+2+2=60$.

a) Khoảng biến thiên: $R=27,5-6,5=21$ (phút).

b) Tần số tích lũy: 2; 5; 17; 32; 56; 58; 60.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=15$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ (nhóm có tần số tích lũy đầu tiên $\ge 15$ là nhóm 3 với 17):
$$Q_1=12,5+\frac{15-5}{12}\cdot 3=12,5+2,5=15.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=45$, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$ (tần số tích lũy 56):
$$Q_3=18,5+\frac{45-32}{24}\cdot 3=18,5+\frac{39}{24}=18,5+1,625=20,125\approx 20,13.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=20,13-15=5,13\text{ (phuˊt)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20+78+45+23+12=178$.

a) Khoảng biến thiên: $R=21-6=15$ (triệu đồng).

b) Tính tích lũy: $[6;9)$: 20; $[9;12)$: 98; $[12;15)$: 143; $[15;18)$: 166; $[18;21)$: 178.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=44,5$ nằm trong nhóm $[9;12)$:
$$Q_1=9+\frac{44,5-20}{78}\cdot 3=9+\frac{73,5}{78}\approx 9,94.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=133,5$ nằm trong nhóm $[12;15)$:
$$Q_3=12+\frac{133,5-98}{45}\cdot 3=12+\frac{35,5}{15}\approx 14,37.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 14,37-9,94=4,42\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Kích thước mẫu $n=6+12+19+9+4=50$. Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=5,x_2=7,x_3=9,x_4=11,x_5=13$ (trung điểm của mỗi khoảng).

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{6\cdot 5+12\cdot 7+19\cdot 9+9\cdot 11+4\cdot 13}{50}=\frac{30+84+171+99+52}{50}=\frac{436}{50}=8,72.$$

Tính $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 25+12\cdot 49+19\cdot 81+9\cdot 121+4\cdot 169=150+588+1539+1089+676=4042$.

Phương sai:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{4042}{50}-(8,72{)}^2=80,84-76,0384=4,8016\approx 4,80.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=24$. Xác định tứ phân vị theo công thức mẫu số liệu ghép nhóm: vị trí $\frac{n}{4}=6$ và $\frac{3n}{4}=18$. Tần số tích lũy: $[0;10)$: 3, $[10;20)$: 11, $[20;30)$: 14, $[30;40)$: 24.

$Q_1$ thuộc nhóm $[10;20)$: $Q_1=10+\frac{6-3}{8}\cdot 10=13,75$.

$Q_3$ thuộc nhóm $[30;40)$: $Q_3=30+\frac{18-14}{10}\cdot 10=34$.

Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=34-13,75=20,25$. Chọn D.