Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức cộng (Toán học Lớp 11)

Theo hướng dẫn chấm:
Kí hiệu $U$ là tập hợp 100 người được khảo sát, $A$ là tập hợp người thêm đường, $B$ là tập hợp người thêm sữa (trong số 100 người đó).
Khi đó tập $A\cap B$ là tập hợp người thêm cả đường và sữa và $A\cup B$ là tập hợp người thêm ít nhất đường hoặc sữa. Sơ đồ Ven:



Theo giả thiết ta có $n(A)=55$; $n(B)=65$; $n(A\cap B)=30$.
Số người thêm ít nhất đường hoặc sữa là
$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=55+65-30=90.$$

Để Ngọc nhận được bút, ta xét các trường hợp:

• Trường hợp 1: Vũ nhận bút, Hồng nhận bút, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận bút: $\frac{9}{17}$.
Sau khi Vũ nhận bút, còn lại 8 bút và 8 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận bút: $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.
Sau khi Hồng nhận bút, còn lại 7 bút và 8 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{7}{15}$. Xác suất của trường hợp này: $\frac{9}{17}.\frac{1}{2}.\frac{7}{15}=\frac{63}{510}$

• Trường hợp 2: Vũ nhận bút, Hồng nhận vở, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận bút: $\frac{9}{17}$.
Sau khi Vũ nhận bút, còn lại 8 bút và 8 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận vở: $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.
Sau khi Hồng nhận vở, còn lại 8 bút và 7 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{8}{15}$. Xác suất của trường hợp này: $\frac{9}{17}.\frac{1}{2}.\frac{8}{15}=\frac{72}{510}$.

• Trường hợp 3: Vũ nhận vở, Hồng nhận bút, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận vở: $\frac{8}{17}$.
Sau khi Vũ nhận vở, còn lại 9 bút và 7 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận bút: $\frac{9}{16}$.
Sau khi Hồng nhận bút, còn lại 8 bút và 7 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{8}{15}$.
Xác suất của trường hợp này: $\left(\frac{8}{17}\right).\left(\frac{9}{16}\right).\left(\frac{8}{15}\right)=\frac{72}{510}$.

• Trường hợp 4: Vũ nhận vở, Hồng nhận vở, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận vở: $\frac{8}{17}$.
Sau khi Vũ nhận vở, còn lại 9 bút và 7 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận vở: $\frac{7}{16}$.
Sau khi Hồng nhận vở, còn lại 9 bút và 6 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{9}{15}$.
Xác suất của trường hợp này: $\left(\frac{8}{17}\right)\cdot \left(\frac{7}{16}\right)\cdot \left(\frac{9}{15}\right)=\frac{504}{4080}=\frac{63}{510}$.

Vậy xác suất để Ngọc nhận được quà là cây bút là:

$\left(\frac{63}{510}\right)+\left(\frac{72}{510}\right)+\left(\frac{72}{510}\right)+\left(\frac{63}{510}\right)=\frac{270}{510}=\frac{9}{17}\approx 0,53$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số dãy 5 chữ số là $10^5=100000$ (giả sử mỗi vị trí chọn ngẫu nhiên độc lập từ 0 đến 9).

a) Biến cố $A$: không có chữ số 5, mỗi vị trí có 9 cách chọn nên $P(A)={\left(\frac{9}{10}\right)}^5=(0,9{)}^5=0,59049$. Đúng.

b) $P(\overline{B})=1-P(B)=1-(0,9{)}^5=1-0,59049=0,40951\approx 0,41\ne 0,59$. Sai.

c) $P(A\cap B)$: biển không có cả chữ số 5 lẫn chữ số 3, mỗi vị trí có 8 cách chọn nên $P(A\cap B)=(0,8{)}^5=0,32768$. Khi đó $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=2\cdot 0,59049-0,32768=0,8533\approx 0,85$. Đúng.

d) Chữ số 5 và 3 xuất hiện đúng 1 lần và cặp 53 đứng cạnh nhau (5 trước, 3 sau): coi khối '53' là một đối tượng, còn 3 vị trí còn lại chọn từ 8 chữ số khác (khác 5 và 3). Số dãy thỏa mãn: khối '53' có thể bắt đầu ở vị trí 1, 2, 3 hoặc 4 (4 cách), 3 chữ số còn lại mỗi vị trí 8 cách: $4\cdot 8^3=2048$. Xác suất $=\frac{2048}{100000}=0,02048\approx 0,02$. Đúng.

So sánh với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi vị trí có 9 cách chọn (khác 5) nên $P(A)=(0,9{)}^5=0,59049$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{B})=1-(0,9{)}^5=0,40951\approx 0,41$, không phải 0,59.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\cup B)=2(0,9{)}^5-(0,8{)}^5=1,18098-0,32768=0,8533\approx 0,85$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số dãy thỏa: $4\cdot 8^3=2048$, xác suất $=0,02048\approx 0,02$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố "thích Toán", $B$ là biến cố "thích Lý". $P(A)=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$, $P(AB)=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$. Xác suất thích ít nhất một môn: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{2}+\frac{5}{12}-\frac{1}{6}=\frac{6+5-2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì A và B độc lập nên P(AB)=P(A)·P(B)=0,6·0,3=0,18. Do đó P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0,6+0,3−0,18=0,72.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: các số tự nhiên có 5 chữ số từ 10000 đến 99999, gồm 90000 số. Số các số chia hết cho 13: floor(99999/13) - floor(9999/13) = 7692 - 769 = 6923. Số các số chia hết cho 17: floor(99999/17) - floor(9999/17) = 5882 - 588 = 5294. Số các số chia hết cho cả 13 và 17 (tức chia hết cho 221): floor(99999/221) - floor(9999/221) = 452 - 45 = 407. Theo công thức cộng xác suất, số các số chia hết cho 13 hoặc 17 là 6923 + 5294 - 407 = 11810. Vậy P(A) = 11810/90000 ≈ 0,13122 ≈ 0,1312. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức cộng xác suất: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Suy ra $P(AB)=P(A\cap B)=0,4+0,5-0,6=0,3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'người được chọn hâm mộ đội $X$' với $P(A)=0,22$; $B$ là biến cố 'người được chọn hâm mộ đội $Y$' với $P(B)=0,39$; $P(A\cap B)=0,07$. Xác suất hâm mộ ít nhất một đội: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,22+0,39-0,07=0,54$. Xác suất không hâm mộ đội nào: $P(\overline{A\cup B})=1-0,54=0,46$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức cộng xác suất: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,3+0,5-0,1=0,7$. Theo công thức biến cố đối: $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,3=0,7$; $P(\overline{B})=1-P(B)=1-0,5=0,5$. Với phép lấy phần bù của giao: $P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=1-0,1=0,9$. Với phép lấy phần bù của hợp: $P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-0,7=0,3$. Vậy $P(A\cup B)=0,7$; $P(\overline{A})=0,7$; $P(\overline{B})=0,5$; $P(\overline{A\cap B})=0,9$; $P(\overline{A\cup B})=0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Khối 11 có tất cả $280+325=605$ học sinh. Chọn 2 học sinh từ 605 học sinh nên không gian mẫu có $n(\Omega )=C_{605}^2=\frac{605\cdot 604}{2}=182710$ kết quả.

a) Biến cố $A\cup B$ là biến cố “Hai học sinh được chọn cùng giới tính (cùng là nam hoặc cùng là nữ)”. Số kết quả thuận lợi cho $A\cup B$ là số cách chọn 2 học sinh nam hoặc 2 học sinh nữ:
$$C_{280}^2+C_{325}^2=\frac{280\cdot 279}{2}+\frac{325\cdot 324}{2}=39060+52650=91710.$$

b) Xác suất của biến cố $A\cup B$:
$$P(A\cup B)=\frac{91710}{182710}=\frac{9171}{18271}\approx 0,5019.$$

Kiểm tra: $A$ và $B$ xung khắc nên $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{39060}{182710}+\frac{52650}{182710}=\frac{91710}{182710}$, khớp kết quả trên.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: rút 1 lá từ 30 lá nên n(Ω)=30. Gọi A là biến cố 'Lá thăm chia hết cho 4 hoặc 5'. Số lá chia hết cho 4: 4,8,12,16,20,24,28 → 7 lá. Số lá chia hết cho 5: 5,10,15,20,25,30 → 6 lá. Số lá chia hết cho cả 4 và 5 (tức chia hết cho 20): 20 → 1 lá. Theo công thức cộng xác suất, số kết quả thuận lợi n(A)=7+6−1=12. Vậy P(A)=12/30=2/5=0,4.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Khối 11 có 280 nam và 325 nữ, tổng $n=280+325=605$ học sinh. Chọn 2 học sinh bất kỳ nên không gian mẫu có $|\Omega |=C_{605}^2=\frac{605\cdot 604}{2}=182710$ kết quả.

a) Biến cố $A\cup B$ là biến cố “Hai học sinh được chọn cùng giới tính (cùng là nam hoặc cùng là nữ)”. Số kết quả thuận lợi cho $A\cup B$ là số cách chọn 2 học sinh nam cộng số cách chọn 2 học sinh nữ (hai biến cố $A$, $B$ xung khắc):
$$n(A\cup B)=C_{280}^2+C_{325}^2=\frac{280\cdot 279}{2}+\frac{325\cdot 324}{2}=39060+52650=91710.$$

b) Xác suất của biến cố $A\cup B$:
$$P(A\cup B)=\frac{n(A\cup B)}{|\Omega |}=\frac{91710}{182710}=\frac{9171}{18271}\approx 0,5019.$$

Kiểm tra: $P(A)=\frac{39060}{182710}\approx 0,2138$, $P(B)=\frac{52650}{182710}\approx 0,2881$, tổng $\approx 0,5019$ khớp với kết quả trên (do $A\cap B=\varnothing$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$, $B$ xung khắc nên $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Do đó $P(B)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức cộng xác suất: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=1$. Vậy $P(A\cup B)=1$, tức biến cố $A\cup B$ chắc chắn xảy ra. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức cộng xác suất: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{2}{5}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{12+20-15}{30}=\frac{17}{30}$. Khi đó $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{17/30}{2/3}=\frac{17}{20}=0,85$.

Đáp số: 0,36
Giả sử 2 người gọi điện là $A$ và $B$
Xác suất để người A gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần
$$P(A)=P(A_1)+P(A_1)=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}.\frac{1}{9}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5},$$
(Nguồn in "P(A)=P(A_1)+P(A_1)" - chỉ số thứ hai có vẻ là lỗi in của đề gốc, nên là $P(A_2)$; giữ nguyên theo nguồn.)
Tương tự: $P(B)=P(B_1)+P(B_2)=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}.\frac{1}{9}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$
Xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{25}=0,36.$$

(AI giải đề cho tôi)
Hai biến cố xung khắc nghĩa là $A\cap B=\varnothing$, do đó $P(A\cap B)=0$. Theo công thức cộng xác suất: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)$. Vậy phát biểu đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)P(B)$. Suy ra $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0,2}{0,5}=0,4$. Khi đó $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,5+0,4-0,2=0,7$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 10 kết quả cùng khả năng. A = {7, 8, 9, 10} nên P(A) = 4/10 = 0,4. B = {1, 2, 3, 4, 5} nên P(B) = 5/10 = 0,5. A và B xung khắc (không có thẻ nào vừa lớn hơn 6 vừa không vượt quá 5), do đó P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,4 + 0,5 = 0,9. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: Cho $P(A)=0,4$, $P(B)=0,2$.
(a) Đúng. Nếu $A,B$ xung khắc thì $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,4+0,2=0,6$.
(b) Đúng. Nếu $A,C$ xung khắc thì $P(A\cup C)=P(A)+P(C)$, nên $P(C)=0,7-0,4=0,3$.
(c) Đúng. Nếu $\overline{A},B$ xung khắc thì $P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(B)=(1-0,4)+0,2=0,8$.
(d) Sai. Nếu $A,\overline{D}$ xung khắc thì $P(A\cup \overline{D})=P(A)+P(\overline{D})=0,6$, suy ra $P(\overline{D})=0,2$, do đó $P(D)=1-0,2=0,8\ne 0,9$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xung khắc: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,4+0,2=0,6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xung khắc: $P(C)=P(A\cup C)-P(A)=0,7-0,4=0,3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xung khắc: $P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(B)=0,6+0,2=0,8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{D})=0,6-0,4=0,2$ nên $P(D)=0,8\ne 0,9$.