Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức cộng (Toán học Lớp 11)

Để Ngọc nhận được bút, ta xét các trường hợp:

• Trường hợp 1: Vũ nhận bút, Hồng nhận bút, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận bút: $\frac{9}{17}$.
Sau khi Vũ nhận bút, còn lại 8 bút và 8 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận bút: $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.
Sau khi Hồng nhận bút, còn lại 7 bút và 8 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{7}{15}$. Xác suất của trường hợp này: $\frac{9}{17}.\frac{1}{2}.\frac{7}{15}=\frac{63}{510}$

• Trường hợp 2: Vũ nhận bút, Hồng nhận vở, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận bút: $\frac{9}{17}$.
Sau khi Vũ nhận bút, còn lại 8 bút và 8 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận vở: $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.
Sau khi Hồng nhận vở, còn lại 8 bút và 7 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{8}{15}$. Xác suất của trường hợp này: $\frac{9}{17}.\frac{1}{2}.\frac{8}{15}=\frac{72}{510}$.

• Trường hợp 3: Vũ nhận vở, Hồng nhận bút, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận vở: $\frac{8}{17}$.
Sau khi Vũ nhận vở, còn lại 9 bút và 7 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận bút: $\frac{9}{16}$.
Sau khi Hồng nhận bút, còn lại 8 bút và 7 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{8}{15}$.
Xác suất của trường hợp này: $\left(\frac{8}{17}\right).\left(\frac{9}{16}\right).\left(\frac{8}{15}\right)=\frac{72}{510}$.

• Trường hợp 4: Vũ nhận vở, Hồng nhận vở, Ngọc nhận bút:
+ Xác suất Vũ nhận vở: $\frac{8}{17}$.
Sau khi Vũ nhận vở, còn lại 9 bút và 7 vở, tổng cộng 16 phần quà.
+ Xác suất Hồng nhận vở: $\frac{7}{16}$.
Sau khi Hồng nhận vở, còn lại 9 bút và 6 vở, tổng cộng 15 phần quà.
+ Xác suất Ngọc nhận bút: $\frac{9}{15}$.
Xác suất của trường hợp này: $\left(\frac{8}{17}\right)\cdot \left(\frac{7}{16}\right)\cdot \left(\frac{9}{15}\right)=\frac{504}{4080}=\frac{63}{510}$.

Vậy xác suất để Ngọc nhận được quà là cây bút là:

$\left(\frac{63}{510}\right)+\left(\frac{72}{510}\right)+\left(\frac{72}{510}\right)+\left(\frac{63}{510}\right)=\frac{270}{510}=\frac{9}{17}\approx 0,53$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số dãy 5 chữ số là $10^5=100000$ (giả sử mỗi vị trí chọn ngẫu nhiên độc lập từ 0 đến 9).

a) Biến cố $A$: không có chữ số 5, mỗi vị trí có 9 cách chọn nên $P(A)={\left(\frac{9}{10}\right)}^5=(0,9{)}^5=0,59049$. Đúng.

b) $P(\overline{B})=1-P(B)=1-(0,9{)}^5=1-0,59049=0,40951\approx 0,41\ne 0,59$. Sai.

c) $P(A\cap B)$: biển không có cả chữ số 5 lẫn chữ số 3, mỗi vị trí có 8 cách chọn nên $P(A\cap B)=(0,8{)}^5=0,32768$. Khi đó $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=2\cdot 0,59049-0,32768=0,8533\approx 0,85$. Đúng.

d) Chữ số 5 và 3 xuất hiện đúng 1 lần và cặp 53 đứng cạnh nhau (5 trước, 3 sau): coi khối '53' là một đối tượng, còn 3 vị trí còn lại chọn từ 8 chữ số khác (khác 5 và 3). Số dãy thỏa mãn: khối '53' có thể bắt đầu ở vị trí 1, 2, 3 hoặc 4 (4 cách), 3 chữ số còn lại mỗi vị trí 8 cách: $4\cdot 8^3=2048$. Xác suất $=\frac{2048}{100000}=0,02048\approx 0,02$. Đúng.

So sánh với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi vị trí có 9 cách chọn (khác 5) nên $P(A)=(0,9{)}^5=0,59049$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{B})=1-(0,9{)}^5=0,40951\approx 0,41$, không phải 0,59.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\cup B)=2(0,9{)}^5-(0,8{)}^5=1,18098-0,32768=0,8533\approx 0,85$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số dãy thỏa: $4\cdot 8^3=2048$, xác suất $=0,02048\approx 0,02$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: các số tự nhiên có 5 chữ số từ 10000 đến 99999, gồm 90000 số. Số các số chia hết cho 13: floor(99999/13) - floor(9999/13) = 7692 - 769 = 6923. Số các số chia hết cho 17: floor(99999/17) - floor(9999/17) = 5882 - 588 = 5294. Số các số chia hết cho cả 13 và 17 (tức chia hết cho 221): floor(99999/221) - floor(9999/221) = 452 - 45 = 407. Theo công thức cộng xác suất, số các số chia hết cho 13 hoặc 17 là 6923 + 5294 - 407 = 11810. Vậy P(A) = 11810/90000 ≈ 0,13122 ≈ 0,1312. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Khối 11 có 280 nam và 325 nữ, tổng $n=280+325=605$ học sinh. Chọn 2 học sinh bất kỳ nên không gian mẫu có $|\Omega |=C_{605}^2=\frac{605\cdot 604}{2}=182710$ kết quả.

a) Biến cố $A\cup B$ là biến cố “Hai học sinh được chọn cùng giới tính (cùng là nam hoặc cùng là nữ)”. Số kết quả thuận lợi cho $A\cup B$ là số cách chọn 2 học sinh nam cộng số cách chọn 2 học sinh nữ (hai biến cố $A$, $B$ xung khắc):
$$n(A\cup B)=C_{280}^2+C_{325}^2=\frac{280\cdot 279}{2}+\frac{325\cdot 324}{2}=39060+52650=91710.$$

b) Xác suất của biến cố $A\cup B$:
$$P(A\cup B)=\frac{n(A\cup B)}{|\Omega |}=\frac{91710}{182710}=\frac{9171}{18271}\approx 0,5019.$$

Kiểm tra: $P(A)=\frac{39060}{182710}\approx 0,2138$, $P(B)=\frac{52650}{182710}\approx 0,2881$, tổng $\approx 0,5019$ khớp với kết quả trên (do $A\cap B=\varnothing$).

Đáp số: 0,36
Giả sử 2 người gọi điện là $A$ và $B$
Xác suất để người A gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần
$$P(A)=P(A_1)+P(A_1)=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}.\frac{1}{9}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5},$$
(Nguồn in "P(A)=P(A_1)+P(A_1)" - chỉ số thứ hai có vẻ là lỗi in của đề gốc, nên là $P(A_2)$; giữ nguyên theo nguồn.)
Tương tự: $P(B)=P(B_1)+P(B_2)=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}.\frac{1}{9}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$
Xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{25}=0,36.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số thỏa mãn: chọn 3 chữ số khác nhau từ $M=\{1;2;3;4;5\}$ và xếp thứ tự: $n(\Omega )=5\cdot 4\cdot 3=60$.

Biến cố $A$ (chia hết cho 3): xét số dư mod 3: nhóm dư 0: $\{3\}$; nhóm dư 1: $\{1;4\}$; nhóm dư 2: $\{2;5\}$. Ba chữ số có tổng chia hết cho 3 khi bộ số dư là $(0;1;2)$ (không thể chọn 3 chữ số cùng dư 1 hoặc cùng dư 2 vì mỗi nhóm chỉ có 2 chữ số). Số cách chọn bộ chữ số: $1\cdot 2\cdot 2=4$ bộ, mỗi bộ có $3!=6$ hoán vị, nên $n(A)=24$, $P(A)=\frac{24}{60}=0,4$.

Biến cố $B$ (chia hết cho 2): chữ số cuối là 2 hoặc 4: $n(B)=2\cdot 4\cdot 3=24$, $P(B)=0,4$.

Biến cố $A\cap B$ (chia hết cho 6): đếm các số chia hết cho 3 có chữ số cuối chẵn. Các bộ chữ số: $\{3;1;2\}$: số tận cùng 2: 312, 132 → 2 số; $\{3;4;2\}$: tận cùng 2: 342, 432; tận cùng 4: 324, 234 → 4 số; $\{3;1;5\}$: 0 số; $\{3;4;5\}$: tận cùng 4: 354, 534 → 2 số. Vậy $n(A\cap B)=8$.

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{24+24-8}{60}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\approx 0,67.$$

Kết quả: $P(A\cup B)\approx 0,67$.

$n(\Omega )=5!=120$

Gọi A là biến cố “Sơn ngồi đúng ghế cũ của mình”.

B là biến cố “Hải ngồi đúng ghế cũ của mình”.

C là biến cố “Có ít nhất một trong hai bạn Sơn hoặc Hải ngồi đúng ghế cũ của mình”.

$n(A)=1.4!=24$

$n(B)=1.4!=24$

$n(AB)=1.3!=6$

$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

$=\frac{24}{120}+\frac{24}{120}-\frac{6}{120}=\frac{7}{20}$

$n(\Omega )=4!=24$

Gọi A là biến cố “Nam ngồi đúng ghế cũ của mình”.

B là biến cố “Hùng ngồi đúng ghế cũ của mình”.

C là biến cố “Có ít nhất một trong hai anh em ngồi đúng ghế cũ của mình”.

$n(A)=1.3!=6$

$n(B)=1.3!=6$

$n(AB)=1.2!=2$

$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

$=\frac{6}{24}+\frac{6}{24}-\frac{2}{24}=\frac{5}{12}$

Chọn B.
- Con súc sắc thứ nhất cân đối nên xác suất xuất hiện mỗi mặt là $\frac{1}{6}$.
- Con súc sắc thứ hai có xác suất mặt tôm là $0,2$, nên 5 mặt còn lại mỗi mặt có xác suất là $\frac{1-0,2}{5}=\frac{0,8}{5}=\frac{4}{25}$.
- Con súc sắc thứ ba có xác suất mặt nai là $0,25$, nên 5 mặt còn lại mỗi mặt có xác suất là $\frac{1-0,25}{5}=\frac{0,75}{5}=\frac{3}{20}$.
Gọi $A$ là biến cố: "Hai súc sắc xuất hiện mặt cua và một súc sắc xuất hiện mặt bầu". Có 3 trường hợp xung khắc:
1. Súc sắc 1 ra bầu, súc sắc 2 ra cua, súc sắc 3 ra cua:
$P(A_1)=\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{25}\cdot \frac{3}{20}=\frac{1}{250}$.
2. Súc sắc 1 ra cua, súc sắc 2 ra bầu, súc sắc 3 ra cua:
$P(A_2)=\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{25}\cdot \frac{3}{20}=\frac{1}{250}$.
3. Súc sắc 1 ra cua, súc sắc 2 ra cua, súc sắc 3 ra bầu:
$P(A_3)=\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{25}\cdot \frac{3}{20}=\frac{1}{250}$.
Vì các biến cố đôi một xung khắc nên: $P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=\frac{3}{250}$.

Gọi $p=P(A),q=P(B)$ là xác suất giảm giá của cổ phiếu A và B, với $P(AB)=0,1$. Từ $\frac{p-0,1}{1-q}=\frac{2}{5}$ và $\frac{q-0,1}{1-p}=\frac{4}{7}$, giải hệ ta được $p=0,3,q=0,5$. Xác suất có ít nhất một cổ phiếu giảm giá là $P(A\cup B)=p+q-P(AB)=0,3+0,5-0,1=0,7$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): 0,7.

Ta có $P(AB)=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{7}{30}\Rightarrow P(B\mid A)=\frac{7/30}{2/5}=\frac{7}{12}\Rightarrow a=7,b=12\Rightarrow 2a+3b=50$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

Gọi $A,B$ là biến cố xã A, xã B có mưa; đặt $p=P(\overline{A}\cap \overline{B})$. Ta có $P(\overline{B})=\frac{p}{0,65}=\frac{20}{13}p$ và $P(\overline{A})=\frac{p}{0,60}=\frac{5}{3}p$.
Từ $1-p=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\left(1-\frac{5}{3}p\right)+\left(1-\frac{20}{13}p\right)-0,1\Rightarrow p=\frac{351}{860}$.
Xác suất ít nhất một xã có mưa là $1-p=\frac{509}{860}\approx 0,59$. Đáp án: 0,59.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)