Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Bảng số liệu có 7 nhóm thời gian: $[15;20)$, $[20;25)$, $[25;30)$, $[30;35)$, $[35;40)$, $[40;45)$, $[45;50)$. Vậy mẫu số liệu được chia thành 7 nhóm.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=120$, giá trị đại diện: $21,25;21,75;22,25;22,75;23,25;23,75$.

a) Tần số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 21,25+10\cdot 21,75+30\cdot 22,25+35\cdot 22,75+25\cdot 23,25+15\cdot 23,75}{120}=\frac{2725}{120}\approx 22,7083$.
Phương sai: $s^2=\frac{5(21,25-\bar{x}{)}^2+\cdots +15(23,75-\bar{x}{)}^2}{120}\approx 0,4149$, nên $s\approx 0,64\ne 0,41$ (số $0,41$ chính là phương sai). → Sai.

b) $\frac{n}{4}=30$: Q1 thuộc nhóm $[22;22,5)$: $Q_1=22+\frac{30-15}{30}\cdot 0,5=22,25$. $\frac{3n}{4}=90$: Q3 thuộc nhóm $[23;23,5)$: $Q_3=23+\frac{90-80}{25}\cdot 0,5=23,2$. Khoảng tứ phân vị $=23,2-22,25=0,95$. → Đúng.

c) Nhóm có tần số lớn nhất là $[22,5;23)$ với $35$ vận động viên: $M_o=22,5+\frac{35-30}{(35-30)+(35-25)}\cdot 0,5=22,5+\frac{1}{6}\approx 22,67$ giây. → Đúng.

d) Số vận động viên chạy dưới 22 giây là $5+10=15\ne 10$. → Sai.

a) Độ lệch chuẩn $s\approx 0,64$ (phương sai $\approx 0,41$), nên khẳng định sai.
b) $Q_1=22,25$, $Q_3=23,2$, khoảng tứ phân vị $=0,95$.
c) $M_o=22,5+\frac{5}{15}\cdot 0,5\approx 22,67$ giây.
d) Số vận động viên chạy dưới 22 giây là $5+10=15$, không phải 10.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số của M2 gấp đúng 2 lần tần số của M1 ở mọi nhóm (6=2·3, 8=2·4, 16=2·8, 12=2·6, 8=2·4), nên M2 là bản nhân đôi của M1. Khi nhân tất cả tần số với cùng hằng số k, tần số tương đối các nhóm không đổi, do đó giá trị trung bình và phương sai (tính theo tần số tương đối) của mẫu ghép nhóm không đổi. Cụ thể: n1=25, n2=50; trung bình của cả hai mẫu đều là x̄=(3·9+4·11+8·13+6·15+4·17)/25=12,8; phương sai s²=(3·(9−12,8)²+4·(11−12,8)²+8·(13−12,8)²+6·(15−12,8)²+4·(17−12,8)²)/25=6,56 như nhau. Vậy s1=s2, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ trang 17, tần số các nhóm $[5;10)$, $[10;15)$, $[15;20)$, $[20;25)$, $[25;30)$ lần lượt là 2, 4, 8, 5, 2 nên $n=21$. Giá trị đại diện: 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5. Trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 7,5+4\cdot 12,5+8\cdot 17,5+5\cdot 22,5+2\cdot 27,5}{21}=\frac{372,5}{21}\approx 17,7381$. Tổng bình phương: $\sum f_i{x}_i^2=2\cdot 56,25+4\cdot 156,25+8\cdot 306,25+5\cdot 506,25+2\cdot 756,25=7231,25$. Phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2=\frac{7231,25}{21}-{\left(\frac{372,5}{21}\right)}^2\approx 344,3452-314,6417\approx 29,7035$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{29,7035}\approx 5,45$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,05-2,31=6,74$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm gồm: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn. Số trung bình là số đặc trưng đo xu hướng trung tâm, không phải đo mức độ phân tán. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số giữa các nhóm: $x_1=10,3;x_2=10,5;x_3=10,7;x_4=10,9$ với tần số $n_1=3,n_2=7,n_3=8,n_4=2$, tổng $n=20$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3(10,3)+7(10,5)+8(10,7)+2(10,9)}{20}=\frac{211,8}{20}=10,59$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{3(10,3{)}^2+7(10,5{)}^2+8(10,7{)}^2+2(10,9{)}^2}{20}-(10,59{)}^2=\frac{2243,56}{20}-112,1481=112,178-112,1481\approx 0,03$. Vậy phương sai gần nhất với $0,03$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm: lớp 12A có nhóm chứa giá trị nhỏ nhất là $[155;160)$ và nhóm chứa giá trị lớn nhất là $[165;170)$, nên $R_A=170-155=15$ (cm). Lớp 12B có nhóm chứa giá trị nhỏ nhất là $[150;155)$ và nhóm chứa giá trị lớn nhất là $[170;175)$, nên $R_B=175-150=25$ (cm). Vì $R_A=15<R_B=25$ nên chiều cao của học sinh nữ lớp 12A đồng đều hơn lớp 12B. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=25+50+200+175+50=500$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{152\cdot 25+156\cdot 50+160\cdot 200+164\cdot 175+168\cdot 50}{500}=\frac{80700}{500}=161,4$. Phương sai: $s^2=\frac{152^2\cdot 25+156^2\cdot 50+160^2\cdot 200+164^2\cdot 175+168^2\cdot 50}{500}-161,4^2=\frac{13032400}{500}-26049,96=26064,8-26049,96=14,84$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung điểm: 101; 103; 105; 107; 109; 111.

Cổ phiếu A (n = 3, 5, 10, 8, 3, 1):
- Số trung bình: ${\bar{x}}_A=\frac{3\cdot 101+5\cdot 103+10\cdot 105+8\cdot 107+3\cdot 109+1\cdot 111}{30}=\frac{3162}{30}=105,4$.
- Tổng bình phương: $3\cdot 101^2+5\cdot 103^2+10\cdot 105^2+8\cdot 107^2+3\cdot 109^2+111^2=333454$.
- Phương sai: $a=\frac{333454}{30}-105,4^2=11115,13\overline{3}-11109,16=5,\mathrm{9733...}\approx 5,97$.

Cổ phiếu B (n = 3, 12, 4, 3, 3, 5):
- Số trung bình: ${\bar{x}}_B=\frac{3\cdot 101+12\cdot 103+4\cdot 105+3\cdot 107+3\cdot 109+5\cdot 111}{30}=\frac{3162}{30}=105,4$.
- Tổng bình phương: $3\cdot 101^2+12\cdot 103^2+4\cdot 105^2+3\cdot 107^2+3\cdot 109^2+5\cdot 111^2=333606$.
- Phương sai: $b=\frac{333606}{30}-105,4^2=11120,2-11109,16=11,04$.

Vậy $T=|2a-2b|=|2\cdot 5,97-2\cdot 11,04|=10,14$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R=x_{max}-x_{min}$, với $x_{min}$ là đầu mút trái của nhóm đầu tiên và $x_{max}$ là đầu mút phải của nhóm cuối cùng. Ở đây nhóm đầu là $[30;40)$ nên $x_{min}=30$, nhóm cuối là $[80;90)$ nên $x_{max}=90$. Vậy $R=90-30=60$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai: $s=\sqrt{1,49}\approx 1,22$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $9,5;10,5;11,5;12,5;13,5$ với tần số $18;10;6;4;2$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{18\cdot 9,5+10\cdot 10,5+6\cdot 11,5+4\cdot 12,5+2\cdot 13,5}{40}=\frac{422}{40}=10,55$.

Tổng bình phương: $18\cdot 90,25+10\cdot 110,25+6\cdot 132,25+4\cdot 156,25+2\cdot 182,25=4510$, nên $\frac{1}{40}\sum n_i{x}_i^2=112,75$.

Phương sai: $s^2=112,75-10,55^2=112,75-111,3025=1,4475\approx 1,45$.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: 95, 105, 115, 125, 135, 145 với tần số 2, 3, 4, 6, 3, 2 (n = 20). Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{2\cdot 95+3\cdot 105+4\cdot 115+6\cdot 125+3\cdot 135+2\cdot 145}{20}=\frac{2410}{20}=120,5$. Tổng bình phương độ lệch: $2(95-120,5{)}^2+3(105-120,5{)}^2+4(115-120,5{)}^2+6(125-120,5{)}^2+3(135-120,5{)}^2+2(145-120,5{)}^2=1300,5+720,75+121+121,5+630,75+1200,5=4095$. Độ lệch chuẩn của mẫu: $s=\sqrt{\frac{4095}{19}}\approx 14,68\approx 14,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm: khoảng biến thiên $R=a_{k+1}-a_1=180-170=10$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là hiệu ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$, trong đó $Q_1$ là tứ phân vị thứ nhất và $Q_3$ là tứ phân vị thứ ba. Vậy khẳng định đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số $n=30$. Giá trị đại diện các nhóm: $75;125;175;225;275$. Tổng $n_i{x}_i=375+1250+1575+900+550=4650$, suy ra $\bar{x}=155$. Tổng $n_i{x}_i^2=28125+156250+275625+202500+151250=813750$. Phương sai $s^2=\frac{813750}{30}-155^2=27125-24025=3100$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{3100}\approx 55,68$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm: nhóm nhỏ nhất là $[60;70)$ với giá trị đại diện $65$, nhóm lớn nhất là $[100;110)$ với giá trị đại diện $105$. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $=$ giá trị đại diện nhóm cuối $-$ giá trị đại diện nhóm đầu $=105-65=40$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu hai đầu mút của các nhóm: $45-25=20$ phút. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc: $43-27=16$ phút. Vậy khẳng định A đúng (ghép nhóm là 20 phút); B sai; C sai (gốc là 16 chứ không phải 20); D sai vì $20>16$, khoảng biến thiên ghép nhóm lớn hơn khoảng biến thiên gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 6, 12, 19, 9, 4 nên n = 50. Giá trị đại diện các nhóm: 5, 7, 9, 11, 13. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{6\cdot 5+12\cdot 7+19\cdot 9+9\cdot 11+4\cdot 13}{50}=\frac{436}{50}=8,72$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 25+12\cdot 49+19\cdot 81+9\cdot 121+4\cdot 169=150+588+1539+1089+676=4042$. Phương sai: $s^2=\frac{4042}{50}-8,72^2=80,84-76,0384=4,8016\approx 4,8$. Vậy chọn A.