Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tính phương sai mẫu ghép nhóm (dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm). Lớp A: $n=40$, tần số $1;0;11;22;6$ tại các giá trị $5,5;6,5;7,5;8,5;9,5$. Số trung bình ${\bar{x}}_A=\frac{5,5+11\cdot 7,5+22\cdot 8,5+6\cdot 9,5}{40}=\frac{332}{40}=8,3$. $\sum f{x}^2=30,25+618,75+1589,5+541,5=2780$, nên $s_A^2=\frac{2780}{40}-8,3^2=69,5-68,89=0,61$. Lớp B: tần số $0;6;8;14;12$, ${\bar{x}}_B=\frac{6\cdot 6,5+8\cdot 7,5+14\cdot 8,5+12\cdot 9,5}{40}=\frac{332}{40}=8,3$. $\sum f{x}^2=253,5+450+1011,5+1083=2798$, nên $s_B^2=\frac{2798}{40}-68,89=69,95-68,89=1,06$. Vì $s_B^2>s_A^2$, điểm trung bình của lớp $B$ phân tán hơn lớp $A$; đồng thời phương sai lớp A là $0,61\ne 0,8$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu nhóm: nhóm đầu tiên có giá trị nhỏ nhất là 2 (đầu mút trái của nhóm [2; 2,2)), nhóm cuối cùng có giá trị lớn nhất xấp xỉ 3,2 (đầu mút phải của nhóm [3; 3,2)). Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=3,2-2=1,2$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16 với tần số 1; 5; 6; 10; 13; 5; 7; 3 (n = 50).

Tổng: $\sum x_i{n}_i=2+20+36+80+130+60+98+48=474$, nên $\bar{x}=\frac{474}{50}=9,48$.

Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=4+80+216+640+1300+720+1372+768=5100$.

Phương sai: $s^2=\frac{5100}{50}-9,48^2=102-89,8704=12,1296$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{12,1296}\approx 3,48$ triệu đồng. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi khoảng: 6,75; 7,25; 7,75; 8,25; 8,75; 9,25; 9,75 với tần số 8; 10; 16; 24; 13; 7; 4, nên $n=82$. Tổng $n_i{x}_i=54+72,5+124+198+113,75+64,75+39=666$, suy ra mean $\bar{x}=666/82\approx 8,122$. Tổng $n_i{x}_i^2=364,5+525,625+961+1633,5+995,3125+598,9375+380,25=5459,125$. Phương sai $s^2=\frac{5459,125}{82}-{\left(\frac{666}{82}\right)}^2\approx 66,5747-65,9667\approx 0,608\approx 0,609$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 3, 9, 28, 51, 60. Q1 ở vị trí 60/4 = 15 thuộc nhóm [60;70): Q1 = 60 + (15-9)/19 · 10 ≈ 63,16. Q3 ở vị trí 3·60/4 = 45 thuộc nhóm [70;80): Q3 = 70 + (45-28)/23 · 10 ≈ 77,39. Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 ≈ 77,39 - 63,16 = 14,23 (nghìn đồng). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các lớp: $x_1=15,x_2=25,x_3=35,x_4=45$ với tần số $8,18,24,10$ ($n=60$).

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 15+18\cdot 25+24\cdot 35+10\cdot 45}{60}=\frac{120+450+840+450}{60}=\frac{1860}{60}=31$.

Tổng $\sum n_i{x}_i^2=8\cdot 225+18\cdot 625+24\cdot 1225+10\cdot 2025=1800+11250+29400+20250=62700$.

Phương sai: $s_x^2=\frac{62700}{60}-31^2=1045-961=84$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài mỗi nhóm là hiệu hai đầu mút của một nhóm, ví dụ nhóm $[0;30)$: $30-0=30$. Vậy độ dài mỗi nhóm bằng 30, khớp đáp án A (đáp án nguồn: A).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 11,5; 13,5; 15,5; 17,5; 19,5 với tần số 3; 12; 15; 24; 2 (n = 56). Số trung bình: x̄ = (3·11,5 + 12·13,5 + 15·15,5 + 24·17,5 + 2·19,5)/56 = 888/56 ≈ 15,857. Tổng bình phương: Σfᵢxᵢ² = 3·132,25 + 12·182,25 + 15·240,25 + 24·306,25 + 2·380,25 = 14298. Phương sai: s² = 14298/56 − (888/56)² ≈ 255,321 − 251,449 ≈ 3,87. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính khoảng tứ phân vị (dạng số liệu nhóm) cho từng lớp. Dùng công thức tứ phân vị của tần số ghép lớp: Q nằm trong lớp chứa vị trí n/4 (hoặc 3n/4), Q = m + ((vị trí - tần số tích lũy trước)/nf)·h với h=1.
- Lớp 12B1: n=41. Q1: vị trí 10,25 thuộc [7;8) (tần số tích lũy trước =10, nf=15) ⇒ Q1 = 7 + (10,25-10)/15 ≈ 7,017. Q3: vị trí 30,75 thuộc [8;9) (tích lũy trước 25, nf=12) ⇒ Q3 = 8 + (30,75-25)/12 ≈ 8,479. ΔQ ≈ 1,462.
- Lớp 12B2: n=40. Q1: vị trí 10 thuộc [6;7) ⇒ Q1 = 6 + (10-5)/9 ≈ 6,556. Q3: vị trí 30 thuộc [8;9) (tích lũy trước 26, nf=11) ⇒ Q3 = 8 + (30-26)/11 ≈ 8,364. ΔQ ≈ 1,808.
- Lớp 12B3: n=36. Q1: vị trí 9 thuộc [5;6) ⇒ Q1 = 5 + 9/10 = 5,9. Q3: vị trí 27 thuộc [7;8) (tích lũy trước 20, nf=9) ⇒ Q3 = 7 + 7/9 ≈ 7,778. ΔQ ≈ 1,878.
- Lớp 12B4: n=42. Q1: vị trí 10,5 thuộc [5;6) ⇒ Q1 = 5 + 10,5/14 = 5,75. Q3: vị trí 31,5 thuộc [7;8) (tích lũy trước 17, nf=15) ⇒ Q3 = 7 + 14,5/15 ≈ 7,967. ΔQ ≈ 2,217.
Khoảng tứ phân vị nhỏ nhất (ΔQ ≈ 1,462) thuộc lớp 12B1, nên lớp 12B1 có điểm kiểm tra đồng đều nhất. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 12A (n=30): ${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 6,5+6\cdot 7,5+12\cdot 8,5+10\cdot 9,5}{30}=\frac{255}{30}=8,5$. Lớp 12B: ${\bar{x}}_B=\frac{2\cdot 5,5+12\cdot 6,5+10\cdot 7,5+6\cdot 8,5}{30}=\frac{215}{30}\approx 7,17$. a) Sai vì ${\bar{x}}_B<{\bar{x}}_A$. b) Khoảng biến thiên hai lớp đều bằng $10-5=5$ nên từ khoảng biến thiên không kết luận được lớp nào phân tán hơn, do đó Sai. c) Lớp 12A: tần số tích lũy $2;8;20;30$. $Q_1=7+\frac{7,5-2}{6}\approx 7,917$; $Q_3=9+\frac{22,5-20}{10}=9,25$ (vị trí 22,5 thuộc nhóm $[9;10]$); khoảng tứ phân vị $\approx 1,333>1$, do đó Đúng. d) Lớp 12B: tần số tích lũy $2;14;24;30$. $Q_1=6+\frac{7,5-2}{12}\approx 6,458$; $Q_3=7+\frac{22,5-14}{10}=7,85$; khoảng tứ phân vị $\approx 1,392$ lớn hơn $1,333$ của lớp 12A, do đó khẳng định Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=8,5$ và ${\bar{x}}_B\approx 7,17$ nên trung bình lớp 12B nhỏ hơn lớp 12A.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của cả hai lớp đều bằng $10-5=5$, bằng nhau, nên không thể kết luận lớp 12A phân tán hơn từ khoảng biến thiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 7,917$, $Q_3=9,25$ nên khoảng tứ phân vị $\approx 1,333>1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị lớp 12A $\approx 1,333$ nhỏ hơn lớp 12B $\approx 1,392$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 4, 9, 13, 8, 6 nên $n=40$. Giá trị đại diện các nhóm: $1,75;2,25;2,75;3,25;3,75$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,75+9\cdot 2,25+13\cdot 2,75+8\cdot 3,25+6\cdot 3,75}{40}=\frac{111,5}{40}=2,7875$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=4(1,75{)}^2+9(2,25{)}^2+13(2,75{)}^2+8(3,25{)}^2+6(3,75{)}^2=12,25+45,5625+98,3125+84,5+84,375=325$. Phương sai: $s^2=\frac{325}{40}-(2,7875{)}^2=8,125-7,77015625=0,35484375\approx 0,355$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các đặc trưng từ bảng số liệu ghép nhóm (n=50 mỗi lớp, giá trị đại diện các nhóm là 1;3;5;7;9).

a) Điểm trung bình: Lớp 12E: (3·1+6·3+12·5+24·7+5·9)/50 = 294/50 = 5,88. Lớp 12F: (4·1+5·3+16·5+18·7+7·9)/50 = 288/50 = 5,76. Vì 5,88 > 5,76 nên dựa vào điểm trung bình, lớp 12E học tốt hơn lớp 12F → ĐÚNG.

b) Lớp 12F: tần số tích lũy: 4; 9; 25; 43; 50. Q1 ở vị trí 50/4=12,75 thuộc nhóm [4;6): Q1 = 4 + (12,75−9)/16·2 = 4,46875. Q3 ở vị trí 37,75 thuộc nhóm [6;8): Q3 = 6 + (37,75−25)/18·2 ≈ 7,4167. Khoảng tứ phân vị = 7,4167 − 4,46875 ≈ 2,948 > 2,9 → SAI.

c) Trong khoảng [6;8): lớp 12E có 24 học sinh, lớp 12F có 18 học sinh, tức 12E nhiều hơn 12F → SAI.

d) Độ lệch chuẩn: Lớp 12E: Σnᵢxᵢ² = 3+54+300+1176+405 = 1938; s² = 1938/50 − 5,88² = 38,76 − 34,5744 = 4,1856; s ≈ 2,046. Lớp 12F: Σnᵢxᵢ² = 4+45+400+882+567 = 1898; s² = 37,96 − 33,1776 = 4,7824; s ≈ 2,187. Vì s_E < s_F nên lớp 12E học đều hơn lớp 12F → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
x̄_E = 5,88 > x̄_F = 5,76 nên lớp 12E học tốt hơn về điểm trung bình.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 ≈ 4,46875; Q3 ≈ 7,4167; IQR ≈ 2,948 > 2,9.
c) (AI giải đề cho tôi)
[6;8): 12E có 24 hs > 12F có 18 hs.
d) (AI giải đề cho tôi)
s_E ≈ 2,046 < s_F ≈ 2,187 nên lớp 12E học đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=5$, thuộc nhóm $[3,0;3,3)$ (cumulative trước đó là 3, tần số nhóm là 6): $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=15$, thuộc nhóm $[3,6;3,9)$ (cumulative trước đó là 14, tần số nhóm là 4): $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
n=25. Tứ phân vị: Q1 ở vị trí 0,25·25=6,25 thuộc nhóm [10;12) (lũy tích 4,10): Q1=10+(6,25−4)/6·2=10,75=43/4. Q3 ở vị trí 0,75·25=18,75 thuộc nhóm [14;16) (lũy tích 4,10,18,22): Q3=14+(18,75−18)/4·2=14,375=115/8. Khoảng tứ phân vị Δ_Q=115/8−43/4=29/8, tối giản với a=29,b=8 nên P=29+8=37. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số n=30, các giá trị đại diện: 75, 125, 175, 225, 275. Tổng: 75·5+125·10+175·9+225·4+275·2=4650, suy ra x̄=4650/30=155. Tổng bình phương: 75²·5+125²·10+175²·9+225²·4+275²·2=28125+156250+275625+202500+151250=813750. Phương sai mẫu ghép nhóm: s²=813750/30−155²=27125−24025=3100. Độ lệch chuẩn s=√3100≈55,68. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
So sánh độ chính xác qua phương sai (mức độ phân tán) của hai mẫu số liệu, với giá trị đại diện của mỗi khoảng là trung điểm: 24,75; 25,25; 25,75; 26,25.

Số trung bình của Nam: ${\bar{x}}_N=\frac{2\cdot 24,75+5\cdot 25,25+3\cdot 25,75+2\cdot 26,25}{12}=\frac{305,5}{12}\approx 25,458$.

Số trung bình của Lan: ${\bar{x}}_L=\frac{1\cdot 24,75+4\cdot 25,25+5\cdot 25,75+2\cdot 26,25}{12}=\frac{307}{12}\approx 25,583$.

Phương sai của Nam:
$s_N^2=\frac{2(24,75-25,458{)}^2+5(25,25-25,458{)}^2+3(25,75-25,458{)}^2+2(26,25-25,458{)}^2}{12}\approx \frac{2,729}{12}\approx 0,227$.

Phương sai của Lan:
$s_L^2=\frac{1(24,75-25,583{)}^2+4(25,25-25,583{)}^2+5(25,75-25,583{)}^2+2(26,25-25,583{)}^2}{12}\approx \frac{2,167}{12}\approx 0,181$.

Vì $s_L^2<s_N^2$, số liệu của Lan phân tán ít hơn, tức cảm biến của Lan cho kết quả chính xác hơn. Điều này khớp với đáp án nguồn (Câu 6 đáp án A).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn: 18, 46, 81, 124, 165, 200 (n=200). Q1 ứng với vị trí 200/4=50, nằm trong nhóm [160;165): Q1 = 160 + 5*(50-46)/35 = 160 + 20/35 ≈ 160,5714. Q3 ứng với vị trí 3*200/4=150, nằm trong nhóm [170;175): Q3 = 170 + 5*(150-124)/41 = 170 + 130/41 ≈ 173,1707. Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 ≈ 12,5993 ≈ 12,6. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 9, 11, 13, 15, 17 với tần số 4, 6, 8, 4, 3 (n=25). Tần số cộng dồn: 4, 10, 18, 22, 25 nên các giá trị đại diện tương ứng là 9, 11, 13, 15, 17. Trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 9+6\cdot 11+8\cdot 13+4\cdot 15+3\cdot 17}{25}=\frac{317}{25}=12,68$. Tổng $n_i{x}_i^2=4\cdot 81+6\cdot 121+8\cdot 169+4\cdot 225+3\cdot 289=4169$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{4169}{25}-12,68^2=166,76-160,7824=5,9776$, nên $s\approx \sqrt{5,9776}\approx 2,4449\approx 2,44$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ: Lĩnh vực A: tần số các lớp [5;10),[10;15),[15;20),[20;25),[25;30) lần lượt là 2, 4, 7, 5, 3 (n=21). Giá trị đại diện: 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5.
- Trung bình A: ${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 7,5+4\cdot 12,5+7\cdot 17,5+5\cdot 22,5+3\cdot 27,5}{21}=\frac{382,5}{21}\approx 18,21$.
- $\sum n_i{x}_i^2=7681,25$, $s_A^2=\frac{7681,25}{21}-{\bar{x}}_A^2\approx 34,03$, $s_A\approx 5,83$ → a) Đúng.
Lĩnh vực B: tần số 5, 4, 6, 2, 4 (n=21).
- ${\bar{x}}_B=\frac{5\cdot 7,5+4\cdot 12,5+6\cdot 17,5+2\cdot 22,5+4\cdot 27,5}{21}=\frac{347,5}{21}\approx 16,55<18,21$ → b) Sai.
- $\sum n_i{x}_i^2=6781,25$, $s_B^2\approx 49,09$, $s_B\approx 7,01>5,83$ → c) Đúng.
- Lớp chứa mốt của B là [15;20) (tần số 6 lớn nhất): $M_o=15+\frac{6-4}{(6-4)+(6-2)}\cdot 5=15+\frac{5}{3}\approx 16,67$ → d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính từ bảng tần số của A: ${\bar{x}}_A\approx 18,21$, phương sai $\approx 34,03$, độ lệch chuẩn $\approx 5,83$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_B\approx 16,55<{\bar{x}}_A\approx 18,21$ nên trung bình lĩnh vực B thấp hơn A.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_B\approx 7,01>s_A\approx 5,83$ nên tiền lãi lĩnh vực dệt may phân tán lớn hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lớp [15;20) có tần số lớn nhất 6: $M_o=15+\frac{2}{6}\cdot 5\approx 16,67$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khoảng biến thiên = 10 − 5 = 5 → đúng.
b) Tần số các nhóm: 2, 3, 8, 15, 12 (tổng 40). Giá trị đại diện: 5.5; 6.5; 7.5; 8.5; 9.5. Tổng = 2·5.5 + 3·6.5 + 8·7.5 + 15·8.5 + 12·9.5 = 332, nên mean = 332/40 = 8.3. Nhóm [5;6), [6;7), [7;8) có 13 em chắc chắn dưới 8.3 (các em ở [8;9) có thể dưới 8.3), nên có ít nhất 13 em dưới điểm trung bình → đúng.
c) Điểm từ 8 trở lên: 15 + 12 = 27 em, chiếm 27/40 = 67.5% > 67% → đúng.
d) Số học sinh có điểm không dưới 8 là 27, trong đó 7 em thuộc CLB, 20 em không thuộc. Chọn 6 từ 27: C(27,6) = 296010. Xác suất có ít nhất 2 em thuộc CLB: P = 1 − [C(20,6) + 7·C(20,5)]/C(27,6) = 1 − (38760 + 108528)/296010 = 148722/296010 = 24787/49335 ≈ 0.5024, khác 3541/91309 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất = 10 − 5 = 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mean = 332/40 = 8.3. Cả 13 em ở ba nhóm [5;6), [6;7), [7;8) đều có điểm dưới 8.3, nên có ít nhất 13 em dưới điểm trung bình.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số em đạt từ 8 trở lên là 15 + 12 = 27, chiếm 27/40 = 67.5% > 67%.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 27 em điểm ≥ 8 (7 em CLB, 20 em khác). P(ít nhất 2 em CLB) = 1 − [C(20,6) + 7·C(20,5)]/C(27,6) = 148722/296010 = 24787/49335 ≈ 0.5024 ≠ 3541/91309.