Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4:

a) Không gian mẫu: $|\Omega |=6^3=216$.

$p=a\cdot b\cdot c$ chia hết cho 6 khi và chỉ khi $p$ chia hết cho cả 2 và 3. Dùng biến đổi đếm phần bù (p KHÔNG chia hết cho 6 = không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3):
- Số bộ $(a,b,c)$ mà $abc$ không chia hết cho 2 (tức cả ba số lẻ, thuộc $\{1,3,5\}$): $3^3=27$.
- Số bộ mà $abc$ không chia hết cho 3 (cả ba thuộc $\{1,2,4,5\}$): $4^3=64$.
- Số bộ mà $abc$ không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3 (cả ba thuộc $\{1,5\}$): $2^3=8$.

Số bộ mà $abc$ không chia hết cho 6: $27+64-8=83$.
Vậy số bộ thuận lợi: $216-83=133$.
Xác suất cần tìm: $P=\frac{133}{216}\approx 0,6157$.

b) Gọi số là $\overline{abcd}$ với $a\in \{1,\dots ,9\}$, $b,c\in \{0,\dots ,9\}$, $d\in \{0,\dots ,9\}$. Số đảo ngược là $\overline{dcba}$. Điều kiện $\overline{dcba}>\overline{abcd}$:

Trường hợp 1: $d>a$. Với mỗi $a$ từ 1 đến 9, $d$ có $9-a$ lựa chọn, tổng số cặp $(a,d)$ là $9+8+\cdots +1=45$. Khi đó $b,c$ tùy ý: $10^2=100$ cách. Số số: $45\cdot 100=4500$.

Trường hợp 2: $d=a$ (9 cách) và cần $c>b$. Số cặp $(b,c)$ với $0\le b<c\le 9$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$. Số số: $9\cdot 45=405$.

Tổng: $4500+405=4905$ số.

Kiểm tra lại ví dụ 2025: đảo là $5202>2025$, thỏa mãn (thuộc trường hợp $d>a$: $5>2$).

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{11}^4=330$. Chọn đúng 2 viên bi đỏ (từ 5 viên đỏ) và 2 viên bi vàng (từ 6 viên vàng): $n(A)=C_5^2\cdot C_6^2=10\cdot 15=150$. Vậy $P=\frac{150}{330}=\frac{5}{11}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $C_{45}^3=14190$.

d) Số quả đánh số chẵn là 22 quả (2,4,...,44), số cách lấy cả 3 quả chẵn: $C_{22}^3=1540$. Mệnh đề đúng.

c) Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng 3 số lẻ khi bộ có 1 hoặc 3 số lẻ: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=23\cdot 231+1771=7084$. Vậy $P=\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$. Mệnh đề sai.

b) Xét phần dư mod 4 của các số 1..45: residue 0 có 11 số, residue 1 có 12 số, residue 2 có 11 số, residue 3 có 11 số. Các bộ có tổng $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$: $(0,0,0)$: $C_{11}^3=165$; $(1,1,2)$: $C_{12}^2\cdot 11=726$; $(0,1,3)$: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; $(0,2,2)$: $11\cdot C_{11}^2=605$; $(2,3,3)$: $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $=3553$. Vậy $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. Mệnh đề đúng.

a) Phân loại theo số mũ của 2 trong phân tích thừa số: 23 số lẻ ($v_2=0$), 11 số dạng $2\mathrm{mod}4$ ($v_2=1$), 6 số dạng $4\mathrm{mod}8$ ($v_2=2$), 5 số chia hết cho 8 ($v_2\ge 3$). Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng $v_2\le 2$: tất cả lẻ: $C_{23}^3=1771$; hai lẻ một $v_2=1$: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; hai lẻ một $v_2=2$: $253\cdot 6=1518$; một lẻ hai $v_2=1$: $23\cdot C_{11}^2=1265$; một lẻ, một $v_2=1$, một $v_2=2$: $23\cdot 11\cdot 6=1518$. Tổng $=8855$. Số bộ tích chia hết cho 8: $14190-8855=5335$, $P=\frac{5335}{14190}=\frac{1067}{2838}\approx 0,376$, khác $\frac{523}{1290}=\frac{5753}{14190}\approx 0,405$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo $v_2$: số bộ có tích chia hết cho 8 là $14190-8855=5335$, nên $P=\frac{1067}{2838}\ne \frac{523}{1290}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ có tổng chia hết cho 4 là 3553, $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ tổng lẻ là $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=7084$, $P=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn, $C_{22}^3=1540$ cách lấy.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A=(0,8)$, $B=(15,0)$, $E=(0,0)$, $F=(15,8)$, lưới $15\times 8$ ô. Điểm $I$ nằm trên giao điểm lưới tại $I=(9,4)$ (cách $A$ sang phải 9 đơn vị, xuống 4 đơn vị; đồng thời cách $E$ sang phải 9, lên 4 đơn vị — nên $I$ nằm trên cả hai họ đường đi ngắn nhất).

Người 1 đi $A\to B$: tổng $15+8=23$ bước, số đường ngắn nhất $C_{23}^8=490314$. Để qua $I$: $A\to I$ cần $9$ phải, $4$ xuống: $C_{13}^4=715$; $I\to B$ cần $6$ phải, $4$ xuống: $C_{10}^4=210$. Xác suất $P_1=\frac{715\cdot 210}{490314}=\frac{150150}{490314}\approx 0.30625$.

Người 2 đi $E\to F$: cũng $23$ bước với $C_{23}^8=490314$ đường; qua $I$ cần $E\to I$: $9$ phải, $4$ lên: $C_{13}^4=715$; $I\to F$: $6$ phải, $4$ lên: $C_{10}^4=210$. Nên $P_2=\frac{150150}{490314}\approx 0.30625$.

Hai người đi độc lập nên $P=P_1\cdot P_2\approx 0.30625^2\approx 0.0938\approx 0.09$.

(AI giải đề cho tôi)
Các thẻ chia hết cho 4 là $\{4;8\}$, tức có 2 thẻ thuận lợi trong 10 thẻ. Xác suất không rút được thẻ nào chia hết cho 4 khi rút $k$ thẻ là $P_0=\frac{C_8^k}{C_{10}^k}=\frac{(10-k)(9-k)}{90}$. Cần $1-P_0>\frac{4}{5}\iff P_0<\frac{1}{5}$. Với $k=6$: $P_0=\frac{4\cdot 3}{90}=\frac{2}{15}>\frac{1}{5}$ (chưa thỏa). Với $k=7$: $P_0=\frac{3\cdot 2}{90}=\frac{1}{15}<\frac{1}{5}$ (thỏa). Vậy $k=7$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 1 đến 9 có 4 số chẵn (2, 4, 6, 8) và 5 số lẻ. Rút đồng thời 2 thẻ từ 9 thẻ: không gian mẫu $n=C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$. Số cách rút được cả hai thẻ cùng ghi số chẵn: $C_4^2=6$. Xác suất $P=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $C_{45}^3=14190$.

a) Số quả đánh số chẵn: $2,4,\dots ,44$ gồm 22 quả. Số cách lấy 3 quả chẵn: $C_{22}^3=1540$. Mệnh đề đúng.

b) Phân loại theo $v_2$ (số mũ của 2): $v_2=0$: 23 số lẻ; $v_2=1$: 11 số $(2,6,\dots ,42)$; $v_2=2$: 6 số $(4,12,\dots ,44)$; $v_2=3$: 3 số $(8,24,40)$; $v_2=4$: 1 số $(16)$; $v_2=5$: 1 số $(32)$. Tích KHÔNG chia hết cho 8 (tổng $v_2\le 2$) gồm các trường hợp: 3 lẻ: $C_{23}^3=1771$; 2 lẻ + 1 số có $v_2=1$: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; 2 lẻ + 1 số có $v_2=2$: $253\cdot 6=1518$; 1 lẻ + 2 số $v_2=1$: $23\cdot C_{11}^2=1265$; 1 lẻ + 1 số $v_2=1$ + 1 số $v_2=2$: $23\cdot 11\cdot 6=1518$; 3 số $v_2=1$: $C_{11}^3=165$; 1 lẻ + 2 số $v_2=2$: $23\cdot C_6^2=345$. Tổng: $9365$. Vậy số cách tích chia hết cho 8: $14190-9365=4825$, xác suất $=\frac{4825}{14190}=\frac{965}{2838}\ne \frac{523}{1290}$. Mệnh đề sai.

c) Tổng lẻ khi số phần tử lẻ là 1 hoặc 3: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=23\cdot 231+1771=7084$. Xác suất $=\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$. Mệnh đề sai.

d) Phân loại theo dư mod 4: $r_0$: 11 số; $r_1$: 12 số; $r_2$: 11 số; $r_3$: 11 số. Tổng $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ gồm: $(0,0,0)$: $C_{11}^3=165$; $(0,1,3)$: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; $(0,2,2)$: $11\cdot C_{11}^2=605$; $(1,1,2)$: $C_{12}^2\cdot 11=726$; $(3,3,2)$: $C_{11}^2\cdot 11=605$. Tổng: $3553$. Xác suất $=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn từ 2 đến 44, số cách lấy 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách để tích chia hết cho 8 là $14190-9365=4825$, xác suất $\frac{965}{2838}\ne \frac{523}{1290}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lẻ: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo dư mod 4 được 3553 cách, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện mật thư: ba số ở mỗi bộ ba vị trí (A,M,B), (B,N,C), (C,P,A) tạo thành cấp số cộng theo thứ tự đó, tức $A+B=2M$, $B+C=2N$, $C+A=2P$.

Tổng số cách: chọn 6 số từ 9 số của $S$ rồi xếp vào 6 vị trí: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6}\right)\cdot 6!=84\cdot 720=60480$.

Đếm cách thuận lợi: Gọi $A=x,B=y,C=z$ đôi một khác nhau, khi đó $M=\frac{x+y}{2},N=\frac{y+z}{2},P=\frac{z+x}{2}$ phải là các số nguyên thuộc $S$ và đôi một khác nhau cũng khác $x,y,z$. Điều kiện nguyên đòi hỏi $x,y,z$ cùng tính chẵn lẻ.

• Cả ba lẻ: chọn 3 số từ $\{41,43,45,47,49\}$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ cách. Khi đó các trung bình cộng là số chẵn thuộc $\{42,...,48\}\subset S$, khác $x,y,z$ và đôi một khác nhau. Mỗi bộ cho $3!=6$ cách gán vào $A,B,C$: được $10\cdot 6=60$ cách.

• Cả ba chẵn: từ $\{42,44,46,48\}$, kiểm tra: bộ $\{42,46,48\}$ cho các trung bình $44,47,45$ (hợp lệ); bộ $\{42,44,48\}$ cho $43,46,45$ (hợp lệ); các bộ $\{42,44,46\}$ và $\{44,46,48\}$ bị trung bình trùng với một số đã chọn. Vậy có 2 bộ, mỗi bộ 6 cách gán: $12$ cách.

Tổng cách thuận lợi: $60+12=72$. Vậy $a=\frac{72}{60480}=\frac{1}{840}$, suy ra $\frac{4}{a}=4\cdot 840=3360$.

(AI giải đề cho tôi)
Số gia đình có hai con: $36-5-4=27$. Tổng số người: bố mẹ $36\times 2=72$ người, số con $=5\times 1+4\times 3+27\times 2=71$ trẻ, tổng $143$ người.
a) Đúng: $27$ gia đình có hai con.
b) Trong $27$ gia đình hai con, $7$ gia đình sinh con một bề nên $20$ gia đình có cả trai và gái $\to$ xác suất $\frac{20}{27}$. Đúng.
c) Xét $31$ gia đình có từ hai con trở lên ($27$ hai con $+$ $4$ ba con). Cả $4$ gia đình ba con đều có con gái; $20$ gia đình hai con trái khác giới có con gái; $7$ gia đình sinh một bề có thể là hai trai hoặc hai gái. Số gia đình không có con gái nhiều nhất là $7$ (cả $7$ đều sinh hai con trai), nên số gia đình có con gái ít nhất là $31-7=24$, tức xác suất để gia đình có con gái $P\ge \frac{24}{31}$ (đạt giá trị nhỏ nhất $\frac{24}{31}$ khi cả $7$ gia đình một bề đều là hai con trai). Vậy $P$ không bao giờ nhỏ hơn $\frac{24}{31}$ $\to$ khẳng định Sai.
d) Theo chính sách tặng $100000$ đồng/người dịp 02/09/2025, tổng số tiền $=143\times 100000=14300000$ đồng $\ne 14400000$ đồng $\to$ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$36-5-4=27$ gia đình có hai con.
b) (AI giải đề cho tôi)
$27$ gia đình hai con có $7$ gia đình sinh một bề, nên $20$ gia đình có cả trai và gái; xác suất $=\frac{20}{27}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $31$ gia đình có từ hai con trở lên, số gia đình có con gái ít nhất là $24$ (khi cả $7$ gia đình một bề đều hai con trai), nên xác suất $\ge \frac{24}{31}$, không thể nhỏ hơn $\frac{24}{31}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số người $=72$ bố mẹ $+71$ con $=143$ người; với mức $100000$ đồng/người, tổng tiền $=14300000$ đồng, không phải $14400000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi cách chọn 3 số phân biệt và sắp xếp giảm dần tương ứng với một tổ hợp 3 phần tử.

- Không gian mẫu: An chọn từ $\{1;...;9\}$ nên có $C_9^3=84$ số; Bình chọn từ $\{1;...;8\}$ nên có $C_8^3=56$ số. Tổng số khả năng cặp $(A,B)$ là $84\cdot 56=4704$, các khả năng đồng khả năng.

Đếm số cặp mà số của An lớn hơn số của Bình (so sánh theo thứ tự giảm dần, tức so sánh từ chữ số lớn nhất):

**Trường hợp 1: $9\in A$.** Khi đó chữ số lớn nhất của $A$ là $9$ lớn hơn mọi chữ số của $B$, nên $A>B$ luôn đúng. Số tập $A$ chứa $9$: $C_8^2=28$. Số cặp: $28\cdot 56=1568$.

**Trường hợp 2: $9\notin A$.** Khi đó $A,B$ đều là tập con 3 phần tử của $\{1;...;8\}$. Với các tập con cùng loại, tính đối xứng cho thấy số cặp $A>B$ bằng số cặp $A<B$, và số cặp $A=B$ là $56$. Do đó số cặp $A>B$ là $\frac{56^2-56}{2}=\frac{3136-56}{2}=1540$.

Vậy số cặp thuận lợi: $1568+1540=3108$.

Xác suất cần tính:
$$P=\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}\approx 0,6607.$$

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: gieo hai xúc xắc có $6\times 6=36$ kết quả đồng khả năng. Biến cố 'tổng số chấm không vượt quá 5' tức tổng $\le 5$. Đếm số kết quả thuận lợi theo tổng: tổng $=2$: 1 cặp $(1;1)$; tổng $=3$: 2 cặp; tổng $=4$: 3 cặp; tổng $=5$: 4 cặp. Tổng cộng $1+2+3+4=10$ cặp. Vậy xác suất $P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả là $C_{45}^3=14190$. Phân loại 45 số theo số dư mod 4: dư 0 có 11 số, dư 1 có 12 số, dư 2 có 11 số, dư 3 có 11 số.
a) Số chẵn từ 2 đến 44 có 22 số, số cách lấy cả 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$ → đúng.
b) Các bộ (dư) có tổng chia hết cho 4: (0,0,0): $C_{11}^3=165$; (1,1,2): $C_{12}^2\cdot 11=726$; (0,1,3): $11\cdot 12\cdot 11=1452$; (0,2,2): $11\cdot C_{11}^2=605$; (2,3,3): $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $=3553$, xác suất $=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$ → đúng.
c) Tổng lẻ cần số lượng số lẻ là lẻ: các trường hợp (dư mod 2): 1 lẻ + 2 chẵn: $23\cdot C_{22}^2=5313$; 3 lẻ: $C_{23}^3=1771$; tổng $7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\approx 0,4992\ne \frac{1}{2}$ → sai.
d) Phân loại theo $v_2$: lẻ (23 số), $v_2=1$ (11 số), $v_2=2$ (6 số), $v_2\ge 3$ (5 số). Đếm bộ có tích KHÔNG chia hết cho 8 (tổng $v_2\le 2$): toàn lẻ $C_{23}^3=1771$; một $v_1$: $11\cdot C_{23}^2=2783$; hai $v_1$ + lẻ: $C_{11}^2\cdot 23=1265$; một $v_2$: $6\cdot 253=1518$; một $v_{\ge 3}$: $5\cdot 253=1265$; $v_1+v_2$+lẻ: $11\cdot 6\cdot 23=1518$; $v_1+v_{\ge 3}$+lẻ: $11\cdot 5\cdot 23=1265$. Tổng $11385$. Vậy số bộ chia hết cho 8 là $14190-11385=2805$, xác suất $\frac{2805}{14190}=\frac{187}{946}\approx 0,198\ne \frac{523}{1290}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn (2 đến 44), số cách lấy 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo số dư mod 4 (11,12,11,11 số): tổng các bộ có tổng chia hết cho 4 là 3553, xác suất $3553/14190=323/1290$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lẻ: $23\cdot C_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $7084/14190=3542/7095\ne 1/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ có tích chia hết cho 8 là 2805, xác suất $2805/14190=187/946\ne 523/1290$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số thuộc $S$: chọn và sắp 4 chữ số phân biệt từ 7 chữ số $\{3,4,5,6,7,8,9\}$: $n(\Omega )=A_7^4=840$. Chữ số lẻ: $\{3,5,7,9\}$ (4 chữ), chẵn: $\{4,6,8\}$ (3 chữ). Đếm các số không có hai chữ số liên tiếp cùng lẻ: gọi $k$ là số chữ số lẻ, các vị trí chứa chữ lẻ phải đôi một không kề nhau. Với 4 vị trí, số cách chọn $k$ vị trí đôi một không kề: $k=0$: 1 cách; $k=1$: 4 cách; $k=2$: 3 cách (các bộ $\{1;3\},\{1;4\},\{2;4\}$); $k=3$, $k=4$: 0 cách. Số số thỏa: $k=0$: $1\cdot A_3^4=0$; $k=1$: $4\cdot A_4^1\cdot A_3^3=4\cdot 4\cdot 6=96$; $k=2$: $3\cdot A_4^2\cdot A_3^2=3\cdot 12\cdot 6=216$. Tổng $n(A)=96+216=312$. Xác suất $P=\frac{312}{840}=\frac{13}{35}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $X$ gồm các số tự nhiên hai chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 nên $|X|=6\cdot 5=30$ phần tử. Chọn ngẫu nhiên 2 số từ $X$: số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{30}^2=435$.

Gọi $A$ là biến cố 'hai số được chọn có bốn chữ số đều khác nhau và tổng bốn chữ số bằng 18'. Bốn chữ số phân biệt thuộc $\{1,2,3,4,5,6\}$ có tổng bằng 18: vì $1+2+3+4+5+6=21$, nên phải bỏ đi hai chữ số có tổng $21-18=3$, tức bỏ đi hai chữ số 1 và 2. Vậy bốn chữ số là $\{3,4,5,6\}$.

Hai số được chọn phải dùng hết bốn chữ số 3, 4, 5, 6, mỗi số hai chữ số. Cách chia $\{3,4,5,6\}$ thành hai cặp: $\{3,4\}\cup \{5,6\}$, $\{3,5\}\cup \{4,6\}$, $\{3,6\}\cup \{4,5\}$ — có 3 cách. Với mỗi cách chia, mỗi cặp chữ số lập được 2 số (đổi vị trí hàng chục/hàng đơn vị), nên mỗi cách chia cho $2\times 2=4$ cặp số. Vậy $n(A)=3\cdot 4=12$.

Xác suất cần tính: $P(A)=\frac{12}{435}=\frac{4}{145}\approx 0,0276$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tam giác từ 12 đỉnh của đa giác đều là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$.

Đếm tam giác cân: với mỗi đỉnh được chọn làm đỉnh apex (12 cách), hai đỉnh còn lại phải đối xứng qua đường kính đi qua apex, tức cách apex cùng số bước $k$ với $k=1,2,3,4,5$ (5 cách). Vậy đếm được $12\times 5=60$ (theo apex, có trùng lặp).

Tam giác đều dạng $\{i,i+4,i+8\}$ có đúng 4 tam giác phân biệt, mỗi tam giác bị đếm 3 lần (mỗi đỉnh đều có thể làm apex), tức bị đếm thừa 2 lần mỗi tam giác. Số tam giác cân phân biệt $=60-2\times 4=52$; số tam giác cân nhưng không đều $=52-4=48$.

Xác suất $=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}\approx 0,2182\approx 0,22$, khớp đáp án nguồn (mã đề 0119, Phần III, Câu 1: 0,22).

(AI giải đề cho tôi)
Quy trình n → n − s(n) luôn cho số chia hết cho 9 và giảm dần về 0, nên dãy số (không tính số đầu) hoàn toàn được xác định bởi giá trị f(n) = n − s(n). Với n = 101..199, viết n = 100 + 10a + b thì f(n) = 99 + 9a (a = 0..9); với n = 200 thì f = 198. Vậy chỉ có 11 giá trị f phân biệt: 99, 108, ..., 180 (mỗi giá trị ứng với 10 số, trừ 99 chỉ có 9 số 101–109) và 198 (1 số). Hai bạn có dãy giống nhau ⟺ f của họ bằng nhau.

Tổng dãy bắt đầu từ v = 9k là S(9k) = 9k + S(9k − s(9k)), với S(0)=0. Tính được: S(99)=504, S(108)=612, S(117)=729, S(126)=855, S(135)=990, S(144)=1134, S(153)=1287, S(162)=1449, S(171)=1620, S(180)=1800, S(198)=1998. Xét mod 18: các giá trị {99,108,135,144,162,171,180,198} cho S ≡ 0 (mod 18), tổng số n tương ứng = 9 + 10·6 + 1 = 70 (nhóm T); các giá trị {117,126,153} cho S ≡ 9 (mod 18), tổng số n = 30 (nhóm Đ).

Tổng ba dãy chia hết cho 18 ⟺ số bạn thuộc nhóm Đ là chẵn (0 hoặc 2 bạn).

• Trường hợp 0 bạn nhóm Đ (cả 3 thuộc nhóm T, trọng số w = {9,10,10,10,10,10,10,1}, Σw=70): cần ít nhất hai f trùng nhau. Số bộ thuận lợi = 3Σw_v(70−w_v) + Σw_v³ = 3(70·70 − (81+600+1)) + (729 + 6000 + 1) = 12654 + 6730 = 19384... kiểm tra lại: Σw² = 81 + 6·100 + 1 = 682, nên 3(4900−682) = 12654; Σw³ = 729 + 6000 + 1 = 6730; tổng = 19384. (Sửa lại phép cộng ở trên: 12654 + 6730 = 19384.)

• Trường hợp 2 bạn nhóm Đ, 1 bạn nhóm T: cặp nhóm Đ phải trùng f (nhóm T chỉ có 1 bạn). Chọn bạn nhóm T: 3 cách; chọn giá trị chung của cặp nhóm Đ: 3 giá trị × 10 × 10 cách; bạn nhóm T: 70 cách → 3·3·100·70 = 63000 bộ.

Tổng bộ thuận lợi = 19384 + 63000 = 82384. Xác suất = 82384/100³ = 0,082384 ≈ 0,08.

Đáp án: 88.
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là $10!\Rightarrow n(\Omega )=10!$.
Xét các biến cố:
$A$ : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".
$A_1$ : "Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".
$A_2$ : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".
$A_1\cap A_2$ : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
$\Rightarrow A=A_1\cup A_2\Rightarrow n(A)=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)$.
Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n(A_1)=C_5^1\cdot 2!\cdot 8!$.
Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n(A_2)=A_3^2\cdot C_5^1\cdot 8!$.
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau): Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách; chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách; chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: $C_3^2=3$; sắp xếp trong mỗi cặp: 2! cho 12A và 2! cho 12B; các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: 6!.
Vậy
$$n\left(A_1\cap A_2\right)=5\cdot 4\cdot C_3^2\cdot 2!\cdot 2!\cdot 6!=172800.$$
$$\Rightarrow n(A)=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)=1440000.$$
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{25}{63}\Rightarrow a=25;b=63\Rightarrow a+b=88.$$

Đáp án: $-25$.
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là $10!\Rightarrow n(\Omega )=10!$.
Xét các biến cố: $A$ : "Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau"; $\overline{A}$ : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau"; $A_1$ : "Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau"; $A_2$ : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau"; $A_1\cap A_2$ : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
$\Rightarrow \overline{A}=A_1\cup A_2\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=n\left(A_1\right)+n\left(A_2\right)-n\left(A_1\cap A_2\right)$.
Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n\left(A_1\right)=C_5^1.2!.8!$.
Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n\left(A_2\right)=A_3^2.C_5^1.8!$.
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau): Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách; chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách; chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: $C_3^2=3$; sắp xếp trong mỗi cặp: 2! cho 12A và 2! cho 12B; các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: 6!.
Vậy $\Rightarrow n\left(A_1\cap A_2\right)=5\cdot 4\cdot C_3^2=3\cdot 2!\cdot 2!\cdot 6!$.
$\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=n\left(A_1\right)+n\left(A_2\right)-n\left(A_1\cap A_2\right)=1440000$.
$\Rightarrow n\left(A\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{A}\right)=2188800\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{38}{63}\Rightarrow a-b=-25$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất 1 lần là $\Omega =\{\text{saˆˊp},\text{ngửa}\}$, nên $n(\Omega )=2$. Sự kiện 'xuất hiện mặt sấp' có $1$ kết quả thuận lợi, do đó xác suất là $P=\frac{1}{2}=0,5$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (mã đề 1002, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là số học sinh của lớp và $x$ là số học sinh giỏi cả Toán và Ngữ Văn. Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn là $n-10$. Theo công thức bao hàm - loại trừ: $18+12-x=n-10\Rightarrow x=40-n$.

Số học sinh giỏi (được chọn từ nhóm này) là $n-10$, nên số học sinh giỏi không giỏi cả hai môn là $(n-10)-x=2n-50$.

Xác suất chọn 2 học sinh giỏi trong đó đúng 1 em giỏi cả hai môn:
$$P=\frac{x\cdot (2n-50)}{C_{n-10}^2}=\frac{9}{23}.$$

Thử $n=34$: $x=6$, số học sinh giỏi là $24$, số em giỏi không giỏi cả hai môn là $18$. Khi đó $P=\frac{6\cdot 18}{C_{24}^2}=\frac{108}{276}=\frac{9}{23}$ (thỏa mãn).

Vậy số học sinh của lớp là $34$.