Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4:

a) Không gian mẫu: $|\Omega |=6^3=216$.

$p=a\cdot b\cdot c$ chia hết cho 6 khi và chỉ khi $p$ chia hết cho cả 2 và 3. Dùng biến đổi đếm phần bù (p KHÔNG chia hết cho 6 = không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3):
- Số bộ $(a,b,c)$ mà $abc$ không chia hết cho 2 (tức cả ba số lẻ, thuộc $\{1,3,5\}$): $3^3=27$.
- Số bộ mà $abc$ không chia hết cho 3 (cả ba thuộc $\{1,2,4,5\}$): $4^3=64$.
- Số bộ mà $abc$ không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3 (cả ba thuộc $\{1,5\}$): $2^3=8$.

Số bộ mà $abc$ không chia hết cho 6: $27+64-8=83$.
Vậy số bộ thuận lợi: $216-83=133$.
Xác suất cần tìm: $P=\frac{133}{216}\approx 0,6157$.

b) Gọi số là $\overline{abcd}$ với $a\in \{1,\dots ,9\}$, $b,c\in \{0,\dots ,9\}$, $d\in \{0,\dots ,9\}$. Số đảo ngược là $\overline{dcba}$. Điều kiện $\overline{dcba}>\overline{abcd}$:

Trường hợp 1: $d>a$. Với mỗi $a$ từ 1 đến 9, $d$ có $9-a$ lựa chọn, tổng số cặp $(a,d)$ là $9+8+\cdots +1=45$. Khi đó $b,c$ tùy ý: $10^2=100$ cách. Số số: $45\cdot 100=4500$.

Trường hợp 2: $d=a$ (9 cách) và cần $c>b$. Số cặp $(b,c)$ với $0\le b<c\le 9$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$. Số số: $9\cdot 45=405$.

Tổng: $4500+405=4905$ số.

Kiểm tra lại ví dụ 2025: đảo là $5202>2025$, thỏa mãn (thuộc trường hợp $d>a$: $5>2$).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $C_{45}^3=14190$.

d) Số quả đánh số chẵn là 22 quả (2,4,...,44), số cách lấy cả 3 quả chẵn: $C_{22}^3=1540$. Mệnh đề đúng.

c) Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng 3 số lẻ khi bộ có 1 hoặc 3 số lẻ: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=23\cdot 231+1771=7084$. Vậy $P=\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$. Mệnh đề sai.

b) Xét phần dư mod 4 của các số 1..45: residue 0 có 11 số, residue 1 có 12 số, residue 2 có 11 số, residue 3 có 11 số. Các bộ có tổng $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$: $(0,0,0)$: $C_{11}^3=165$; $(1,1,2)$: $C_{12}^2\cdot 11=726$; $(0,1,3)$: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; $(0,2,2)$: $11\cdot C_{11}^2=605$; $(2,3,3)$: $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $=3553$. Vậy $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. Mệnh đề đúng.

a) Phân loại theo số mũ của 2 trong phân tích thừa số: 23 số lẻ ($v_2=0$), 11 số dạng $2\mathrm{mod}4$ ($v_2=1$), 6 số dạng $4\mathrm{mod}8$ ($v_2=2$), 5 số chia hết cho 8 ($v_2\ge 3$). Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng $v_2\le 2$: tất cả lẻ: $C_{23}^3=1771$; hai lẻ một $v_2=1$: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; hai lẻ một $v_2=2$: $253\cdot 6=1518$; một lẻ hai $v_2=1$: $23\cdot C_{11}^2=1265$; một lẻ, một $v_2=1$, một $v_2=2$: $23\cdot 11\cdot 6=1518$. Tổng $=8855$. Số bộ tích chia hết cho 8: $14190-8855=5335$, $P=\frac{5335}{14190}=\frac{1067}{2838}\approx 0,376$, khác $\frac{523}{1290}=\frac{5753}{14190}\approx 0,405$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo $v_2$: số bộ có tích chia hết cho 8 là $14190-8855=5335$, nên $P=\frac{1067}{2838}\ne \frac{523}{1290}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ có tổng chia hết cho 4 là 3553, $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ tổng lẻ là $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=7084$, $P=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn, $C_{22}^3=1540$ cách lấy.

(AI giải đề cho tôi)
Các thẻ chia hết cho 4 là $\{4;8\}$, tức có 2 thẻ thuận lợi trong 10 thẻ. Xác suất không rút được thẻ nào chia hết cho 4 khi rút $k$ thẻ là $P_0=\frac{C_8^k}{C_{10}^k}=\frac{(10-k)(9-k)}{90}$. Cần $1-P_0>\frac{4}{5}\iff P_0<\frac{1}{5}$. Với $k=6$: $P_0=\frac{4\cdot 3}{90}=\frac{2}{15}>\frac{1}{5}$ (chưa thỏa). Với $k=7$: $P_0=\frac{3\cdot 2}{90}=\frac{1}{15}<\frac{1}{5}$ (thỏa). Vậy $k=7$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $C_{45}^3=14190$.

a) Số quả đánh số chẵn: $2,4,\dots ,44$ gồm 22 quả. Số cách lấy 3 quả chẵn: $C_{22}^3=1540$. Mệnh đề đúng.

b) Phân loại theo $v_2$ (số mũ của 2): $v_2=0$: 23 số lẻ; $v_2=1$: 11 số $(2,6,\dots ,42)$; $v_2=2$: 6 số $(4,12,\dots ,44)$; $v_2=3$: 3 số $(8,24,40)$; $v_2=4$: 1 số $(16)$; $v_2=5$: 1 số $(32)$. Tích KHÔNG chia hết cho 8 (tổng $v_2\le 2$) gồm các trường hợp: 3 lẻ: $C_{23}^3=1771$; 2 lẻ + 1 số có $v_2=1$: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; 2 lẻ + 1 số có $v_2=2$: $253\cdot 6=1518$; 1 lẻ + 2 số $v_2=1$: $23\cdot C_{11}^2=1265$; 1 lẻ + 1 số $v_2=1$ + 1 số $v_2=2$: $23\cdot 11\cdot 6=1518$; 3 số $v_2=1$: $C_{11}^3=165$; 1 lẻ + 2 số $v_2=2$: $23\cdot C_6^2=345$. Tổng: $9365$. Vậy số cách tích chia hết cho 8: $14190-9365=4825$, xác suất $=\frac{4825}{14190}=\frac{965}{2838}\ne \frac{523}{1290}$. Mệnh đề sai.

c) Tổng lẻ khi số phần tử lẻ là 1 hoặc 3: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=23\cdot 231+1771=7084$. Xác suất $=\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$. Mệnh đề sai.

d) Phân loại theo dư mod 4: $r_0$: 11 số; $r_1$: 12 số; $r_2$: 11 số; $r_3$: 11 số. Tổng $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ gồm: $(0,0,0)$: $C_{11}^3=165$; $(0,1,3)$: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; $(0,2,2)$: $11\cdot C_{11}^2=605$; $(1,1,2)$: $C_{12}^2\cdot 11=726$; $(3,3,2)$: $C_{11}^2\cdot 11=605$. Tổng: $3553$. Xác suất $=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn từ 2 đến 44, số cách lấy 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách để tích chia hết cho 8 là $14190-9365=4825$, xác suất $\frac{965}{2838}\ne \frac{523}{1290}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lẻ: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo dư mod 4 được 3553 cách, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số gia đình có hai con: $36-5-4=27$. Tổng số người: bố mẹ $36\times 2=72$ người, số con $=5\times 1+4\times 3+27\times 2=71$ trẻ, tổng $143$ người.
a) Đúng: $27$ gia đình có hai con.
b) Trong $27$ gia đình hai con, $7$ gia đình sinh con một bề nên $20$ gia đình có cả trai và gái $\to$ xác suất $\frac{20}{27}$. Đúng.
c) Xét $31$ gia đình có từ hai con trở lên ($27$ hai con $+$ $4$ ba con). Cả $4$ gia đình ba con đều có con gái; $20$ gia đình hai con trái khác giới có con gái; $7$ gia đình sinh một bề có thể là hai trai hoặc hai gái. Số gia đình không có con gái nhiều nhất là $7$ (cả $7$ đều sinh hai con trai), nên số gia đình có con gái ít nhất là $31-7=24$, tức xác suất để gia đình có con gái $P\ge \frac{24}{31}$ (đạt giá trị nhỏ nhất $\frac{24}{31}$ khi cả $7$ gia đình một bề đều là hai con trai). Vậy $P$ không bao giờ nhỏ hơn $\frac{24}{31}$ $\to$ khẳng định Sai.
d) Theo chính sách tặng $100000$ đồng/người dịp 02/09/2025, tổng số tiền $=143\times 100000=14300000$ đồng $\ne 14400000$ đồng $\to$ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$36-5-4=27$ gia đình có hai con.
b) (AI giải đề cho tôi)
$27$ gia đình hai con có $7$ gia đình sinh một bề, nên $20$ gia đình có cả trai và gái; xác suất $=\frac{20}{27}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $31$ gia đình có từ hai con trở lên, số gia đình có con gái ít nhất là $24$ (khi cả $7$ gia đình một bề đều hai con trai), nên xác suất $\ge \frac{24}{31}$, không thể nhỏ hơn $\frac{24}{31}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số người $=72$ bố mẹ $+71$ con $=143$ người; với mức $100000$ đồng/người, tổng tiền $=14300000$ đồng, không phải $14400000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả là $C_{45}^3=14190$. Phân loại 45 số theo số dư mod 4: dư 0 có 11 số, dư 1 có 12 số, dư 2 có 11 số, dư 3 có 11 số.
a) Số chẵn từ 2 đến 44 có 22 số, số cách lấy cả 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$ → đúng.
b) Các bộ (dư) có tổng chia hết cho 4: (0,0,0): $C_{11}^3=165$; (1,1,2): $C_{12}^2\cdot 11=726$; (0,1,3): $11\cdot 12\cdot 11=1452$; (0,2,2): $11\cdot C_{11}^2=605$; (2,3,3): $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $=3553$, xác suất $=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$ → đúng.
c) Tổng lẻ cần số lượng số lẻ là lẻ: các trường hợp (dư mod 2): 1 lẻ + 2 chẵn: $23\cdot C_{22}^2=5313$; 3 lẻ: $C_{23}^3=1771$; tổng $7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\approx 0,4992\ne \frac{1}{2}$ → sai.
d) Phân loại theo $v_2$: lẻ (23 số), $v_2=1$ (11 số), $v_2=2$ (6 số), $v_2\ge 3$ (5 số). Đếm bộ có tích KHÔNG chia hết cho 8 (tổng $v_2\le 2$): toàn lẻ $C_{23}^3=1771$; một $v_1$: $11\cdot C_{23}^2=2783$; hai $v_1$ + lẻ: $C_{11}^2\cdot 23=1265$; một $v_2$: $6\cdot 253=1518$; một $v_{\ge 3}$: $5\cdot 253=1265$; $v_1+v_2$+lẻ: $11\cdot 6\cdot 23=1518$; $v_1+v_{\ge 3}$+lẻ: $11\cdot 5\cdot 23=1265$. Tổng $11385$. Vậy số bộ chia hết cho 8 là $14190-11385=2805$, xác suất $\frac{2805}{14190}=\frac{187}{946}\approx 0,198\ne \frac{523}{1290}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn (2 đến 44), số cách lấy 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo số dư mod 4 (11,12,11,11 số): tổng các bộ có tổng chia hết cho 4 là 3553, xác suất $3553/14190=323/1290$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lẻ: $23\cdot C_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $7084/14190=3542/7095\ne 1/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ có tích chia hết cho 8 là 2805, xác suất $2805/14190=187/946\ne 523/1290$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số thuộc $S$: chọn và sắp 4 chữ số phân biệt từ 7 chữ số $\{3,4,5,6,7,8,9\}$: $n(\Omega )=A_7^4=840$. Chữ số lẻ: $\{3,5,7,9\}$ (4 chữ), chẵn: $\{4,6,8\}$ (3 chữ). Đếm các số không có hai chữ số liên tiếp cùng lẻ: gọi $k$ là số chữ số lẻ, các vị trí chứa chữ lẻ phải đôi một không kề nhau. Với 4 vị trí, số cách chọn $k$ vị trí đôi một không kề: $k=0$: 1 cách; $k=1$: 4 cách; $k=2$: 3 cách (các bộ $\{1;3\},\{1;4\},\{2;4\}$); $k=3$, $k=4$: 0 cách. Số số thỏa: $k=0$: $1\cdot A_3^4=0$; $k=1$: $4\cdot A_4^1\cdot A_3^3=4\cdot 4\cdot 6=96$; $k=2$: $3\cdot A_4^2\cdot A_3^2=3\cdot 12\cdot 6=216$. Tổng $n(A)=96+216=312$. Xác suất $P=\frac{312}{840}=\frac{13}{35}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tam giác từ 12 đỉnh của đa giác đều là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$.

Đếm tam giác cân: với mỗi đỉnh được chọn làm đỉnh apex (12 cách), hai đỉnh còn lại phải đối xứng qua đường kính đi qua apex, tức cách apex cùng số bước $k$ với $k=1,2,3,4,5$ (5 cách). Vậy đếm được $12\times 5=60$ (theo apex, có trùng lặp).

Tam giác đều dạng $\{i,i+4,i+8\}$ có đúng 4 tam giác phân biệt, mỗi tam giác bị đếm 3 lần (mỗi đỉnh đều có thể làm apex), tức bị đếm thừa 2 lần mỗi tam giác. Số tam giác cân phân biệt $=60-2\times 4=52$; số tam giác cân nhưng không đều $=52-4=48$.

Xác suất $=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}\approx 0,2182\approx 0,22$, khớp đáp án nguồn (mã đề 0119, Phần III, Câu 1: 0,22).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là số học sinh của lớp và $x$ là số học sinh giỏi cả Toán và Ngữ Văn. Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn là $n-10$. Theo công thức bao hàm - loại trừ: $18+12-x=n-10\Rightarrow x=40-n$.

Số học sinh giỏi (được chọn từ nhóm này) là $n-10$, nên số học sinh giỏi không giỏi cả hai môn là $(n-10)-x=2n-50$.

Xác suất chọn 2 học sinh giỏi trong đó đúng 1 em giỏi cả hai môn:
$$P=\frac{x\cdot (2n-50)}{C_{n-10}^2}=\frac{9}{23}.$$

Thử $n=34$: $x=6$, số học sinh giỏi là $24$, số em giỏi không giỏi cả hai môn là $18$. Khi đó $P=\frac{6\cdot 18}{C_{24}^2}=\frac{108}{276}=\frac{9}{23}$ (thỏa mãn).

Vậy số học sinh của lớp là $34$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số học sinh giỏi cả Toán và Ngữ Văn. Số học sinh giỏi ít nhất một môn là $18+12-x=30-x$, tổng số học sinh của lớp là $n=(30-x)+10=40-x$. Chọn 2 học sinh giỏi từ $30-x$ học sinh giỏi: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30-x}{2}\right)$ cách. Xác suất có đúng 1 học sinh giỏi cả hai môn: chọn 1 trong $x$ học sinh giỏi cả hai và 1 trong $(30-x)-x=30-2x$ học sinh giỏi đúng một môn, nên $P=\frac{x(30-2x)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30-x}{2}\right)}=\frac{9}{23}$. Thử $x=6$: tử số $6\cdot 18=108$, mẫu $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{2}\right)=276$, và $\frac{108}{276}=\frac{9}{23}$ thỏa mãn. Vậy $x=6$, số học sinh của lớp $n=40-6=34$. (Khớp với đáp án nguồn: 34.)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $C_{45}^3=14190$.
a) Số chẵn từ 2 đến 44 có 22 số, số cách lấy 3 quả đánh số chẵn là $C_{22}^3=1540$ → đúng.
b) Phân loại theo số mũ của 2: lẻ (v=0): 23 số; v=1 (≡2 mod 4): 11 số; v=2 (≡4 mod 8): 6 số; v≥3 (chia hết cho 8): 5 số. Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng số mũ ≤ 2: ba số lẻ $C_{23}^3=1771$; hai lẻ + một v=1: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; hai lẻ + một v=2: $253\cdot 6=1518$; một lẻ + hai v=1: $23\cdot C_{11}^2=1265$. Tổng $7337$. Vậy số trường hợp chia hết cho 8 là $14190-7337=6853$, xác suất $\frac{6853}{14190}=\frac{623}{1290}\ne \frac{523}{1290}$ → sai.
c) Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng lẻ khi có 1 hoặc 3 số lẻ: $23\cdot C_{22}^2+C_{23}^3=5313+1771=7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$ → sai.
d) Theo mod 4: r0 có 11 số, r1 có 12 số, r2 có 11 số, r3 có 11 số. Các bộ residue có tổng ≡ 0 mod 4: (0,0,0): $C_{11}^3=165$; (0,1,3): $11\cdot 12\cdot 11=1452$; (0,2,2): $11\cdot C_{11}^2=605$; (1,1,2): $C_{12}^2\cdot 11=726$; (2,3,3): $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $3553$, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$ → đúng.
a) Có 22 số chẵn (2,4,...,44), số cách chọn 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) Đếm theo valuation của 2, số bộ có tích chia hết cho 8 là 6853, xác suất $\frac{623}{1290}$, không phải $\frac{523}{1290}$.
c) Tổng lẻ: $23C_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) Đếm theo residue mod 4 được 3553 bộ, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.

Gọi $B$ là biến cố "Chọn 4 em có ít nhất một nam và một nữ".

Số cách chọn 4 bạn bất kì vào ban cán sự lớp là $C_{40}^4$ cách.

Số cách chọn 4 bạn nam vào ban cán sự lớp là $C_{25}^4$ cách.

Số cách chọn 4 bạn nữ vào ban cán sự lớp là $C_{15}^4$ cách.

Vậy số cách chọn ban cán sự lớp có cả nam lẫn nữ là $C_{40}^4-C_{25}^4-C_{15}^4=77375$ (tài liệu gốc ghi $\Rightarrow \left|{\Omega }_B\right|=77375$, tức số kết quả thuận lợi cho biến cố $B$).

Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{\left|{\Omega }_B\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{77375}{91390}=\frac{15475}{18278}\approx 0,85$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia 9 người thành 3 nhóm 3 người gán cho 3 xe đánh số: 9!/(3!3!3!) = 362880/216 = 1680 → đúng.
b) Mỗi tình nguyện viên tự chọn 1 trong 3 xe nên số cách là 3^9 = 19683, không phải 9^3 → sai.
c) Không gian mẫu 3^9 = 19683. Số cách để mỗi xe có người (suy hàm từ 9 lên 3): 3^9 − 3·2^9 + 3 = 19683 − 1536 + 3 = 18150. Xác suất = 18150/19683 = 6050/6561 → đúng.
d) Mỗi xe phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất 1 nam. Vì có 3 nữ nên mỗi xe đúng 1 nữ: 3! = 6 cách. Sắp 6 nam vào 3 xe, mỗi xe ít nhất 1 nam: 3^6 − 3·2^6 + 3 = 729 − 192 + 3 = 540 cách. Tổng cách thuận lợi = 6·540 = 3240. Xác suất = 3240/19683 = 1080/6561 ≠ 1060/6561 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chia 9 người thành 3 nhóm mỗi nhóm 3 người gán cho 3 xe: 9!/(3!)^3 = 1680.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi người chọn 1 trong 3 xe nên số cách là 3^9 = 19683, không phải 9^3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số cách mỗi xe có người: 3^9 − 3·2^9 + 3 = 18150; xác suất = 18150/19683 = 6050/6561.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi xe đúng 1 nữ: 3! = 6 cách; 6 nam vào 3 xe mỗi xe ít nhất 1 nam: 3^6 − 3·2^6 + 3 = 540 cách. Xác suất = 3240/19683 = 1080/6561 ≠ 1060/6561.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số bóng đỏ là $n$. Xác suất lấy 2 bóng đỏ là $\frac{C_n^2}{C_{n+3}^2}$, xác suất lấy 2 bóng xanh là $\frac{C_3^2}{C_{n+3}^2}=\frac{3}{C_{n+3}^2}$. Theo đề: $C_n^2=7\cdot 3=21$, tức $\frac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n(n-1)=42\Rightarrow n=7$. Vậy hộp có 3 xanh và 7 đỏ, tổng 10 quả. Xác suất lấy 2 bóng khác màu: $\frac{3\cdot 7}{C_{10}^2}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 học sinh từ 35 em xếp vòng tròn: tổng số cách $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{35}{6}\right)$. Số cách chọn 6 em trên vòng tròn 35 vị trí sao cho không có hai em kề nhau là $\frac{35}{35-6}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{29}{6}\right)=\frac{35}{29}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{29}{6}\right)$.

Tính: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{29}{6}\right)=475020$, nên số cách chọn thỏa mãn $=\frac{35\cdot 475020}{29}=573300$.
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{35}{6}\right)=1623160$.

Vậy $a=\frac{573300}{1623160}=\frac{28665}{81158}$.

Do $11594=2\cdot 5797$ và $81158=2\cdot 40579=2\cdot 7\cdot 5797$, ta có:
$$11594\cdot a=\frac{2\cdot 5797\cdot 28665}{2\cdot 7\cdot 5797}=\frac{28665}{7}=4095.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn 4095.

(AI giải đề cho tôi)
Người đó dừng lại khi bắt được cả 3 con thỏ trắng. Xác suất dừng trong tối đa 4 lần: - Dừng ngay ở lần 3: 3 con đầu đều trắng, $P_1=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$. - Dừng ở lần 4: trong 3 con đầu có đúng 2 trắng 1 xám và con thứ 4 trắng: $P_2=\frac{C_3^2{C}_4^1}{C_7^3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{12}{35}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{35}$. Vậy $P(\text{ıˊt nhaˆˊt 5 laˆˋn})=1-\frac{1}{35}-\frac{3}{35}=\frac{31}{35}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (đề 102, câu 10 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Phân loại 32 số theo số mũ của 2 trong phân tích nguyên tố: $v_2=0$ (16 số lẻ), $v_2=1$ (8 số: 2,6,...,30), $v_2=2$ (4 số: 4,12,20,28), $v_2=3$ (2 số: 8,24), $v_2\ge 4$ (2 số: 16,32). Tích chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 16 khi tổng các $v_2$ bằng 2 hoặc 3.
- Tổng $v_2=2$: hai số $v_2=1$ và một số lẻ: $3\cdot 8^2\cdot 16=3072$; một số $v_2=2$ và hai số lẻ: $3\cdot 4\cdot 16^2=3072$. Tổng: 6144.
- Tổng $v_2=3$: ba số $v_2=1$: $8^3=512$; một số $v_2=2$, một số $v_2=1$, một số lẻ: $6\cdot 4\cdot 8\cdot 16=3072$; một số $v_2=3$ và hai số lẻ: $3\cdot 2\cdot 16^2=1536$. Tổng: 5120.
Số trường hợp thuận lợi: $6144+5120=11264$. Xác suất: $P=\frac{11264}{32^3}=\frac{11264}{32768}=0,34375\approx 0,34$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp đường tròn: số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác là $|X|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{3}\right)=816$.

Đếm tam giác cân: với mỗi đỉnh được chọn làm đỉnh của góc ở đỉnh (apex), hai đỉnh còn lại phải đối xứng qua đường kính đi qua apex, tức cách apex cùng số bước $k$, với $k=1,2,\dots ,8$ (vì $k=9$ thì hai đỉnh trùng nhau). Vậy mỗi apex cho 8 cặp, tổng $18\times 8=144$ cách đếm theo apex.

Tam giác đều xảy ra khi $k=6$ (ba đỉnh cách đều nhau 6 bước): có $18/3=6$ tam giác đều, mỗi tam giác đều được đếm 3 lần (theo 3 apex). Do đó số tam giác cân (kể cả đều) phân biệt là $144-18+6=132$, và số tam giác cân nhưng không đều là $132-6=126$.

Vậy $P(A)=\frac{126}{816}=\frac{21}{136}\approx 0,1544\approx 0,15$, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 3 đỉnh từ 12 đỉnh: $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$. Đếm số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (không có hai đỉnh kề nhau trên đường tròn): công thức chọn $k$ đỉnh đôi một không kề trên vòng tròn $n$ đỉnh là $\frac{n}{n-k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k}\right)=\frac{12}{9}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=\frac{12}{9}\cdot 84=112$. Kiểm tra bằng cách đặt khoảng cách (số cung) giữa các đỉnh liên tiếp $x_1+x_2+x_3=12$ với $x_i\ge 2$: đặt $y_i=x_i-2\ge 1$, $y_1+y_2+y_3=6$ có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ nghiệm, mỗi bộ nghiệm ứng với 12 cách quay... thực chất đếm chuẩn cho 112 bộ (mỗi tam giác đếm đúng một lần khi cố định đỉnh nhỏ nhất). Vậy xác suất $P=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$. Khớp với đáp án C.