Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A=(0,8)$, $B=(15,0)$, $E=(0,0)$, $F=(15,8)$, lưới $15\times 8$ ô. Điểm $I$ nằm trên giao điểm lưới tại $I=(9,4)$ (cách $A$ sang phải 9 đơn vị, xuống 4 đơn vị; đồng thời cách $E$ sang phải 9, lên 4 đơn vị — nên $I$ nằm trên cả hai họ đường đi ngắn nhất).

Người 1 đi $A\to B$: tổng $15+8=23$ bước, số đường ngắn nhất $C_{23}^8=490314$. Để qua $I$: $A\to I$ cần $9$ phải, $4$ xuống: $C_{13}^4=715$; $I\to B$ cần $6$ phải, $4$ xuống: $C_{10}^4=210$. Xác suất $P_1=\frac{715\cdot 210}{490314}=\frac{150150}{490314}\approx 0.30625$.

Người 2 đi $E\to F$: cũng $23$ bước với $C_{23}^8=490314$ đường; qua $I$ cần $E\to I$: $9$ phải, $4$ lên: $C_{13}^4=715$; $I\to F$: $6$ phải, $4$ lên: $C_{10}^4=210$. Nên $P_2=\frac{150150}{490314}\approx 0.30625$.

Hai người đi độc lập nên $P=P_1\cdot P_2\approx 0.30625^2\approx 0.0938\approx 0.09$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện mật thư: ba số ở mỗi bộ ba vị trí (A,M,B), (B,N,C), (C,P,A) tạo thành cấp số cộng theo thứ tự đó, tức $A+B=2M$, $B+C=2N$, $C+A=2P$.

Tổng số cách: chọn 6 số từ 9 số của $S$ rồi xếp vào 6 vị trí: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6}\right)\cdot 6!=84\cdot 720=60480$.

Đếm cách thuận lợi: Gọi $A=x,B=y,C=z$ đôi một khác nhau, khi đó $M=\frac{x+y}{2},N=\frac{y+z}{2},P=\frac{z+x}{2}$ phải là các số nguyên thuộc $S$ và đôi một khác nhau cũng khác $x,y,z$. Điều kiện nguyên đòi hỏi $x,y,z$ cùng tính chẵn lẻ.

• Cả ba lẻ: chọn 3 số từ $\{41,43,45,47,49\}$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ cách. Khi đó các trung bình cộng là số chẵn thuộc $\{42,...,48\}\subset S$, khác $x,y,z$ và đôi một khác nhau. Mỗi bộ cho $3!=6$ cách gán vào $A,B,C$: được $10\cdot 6=60$ cách.

• Cả ba chẵn: từ $\{42,44,46,48\}$, kiểm tra: bộ $\{42,46,48\}$ cho các trung bình $44,47,45$ (hợp lệ); bộ $\{42,44,48\}$ cho $43,46,45$ (hợp lệ); các bộ $\{42,44,46\}$ và $\{44,46,48\}$ bị trung bình trùng với một số đã chọn. Vậy có 2 bộ, mỗi bộ 6 cách gán: $12$ cách.

Tổng cách thuận lợi: $60+12=72$. Vậy $a=\frac{72}{60480}=\frac{1}{840}$, suy ra $\frac{4}{a}=4\cdot 840=3360$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi cách chọn 3 số phân biệt và sắp xếp giảm dần tương ứng với một tổ hợp 3 phần tử.

- Không gian mẫu: An chọn từ $\{1;...;9\}$ nên có $C_9^3=84$ số; Bình chọn từ $\{1;...;8\}$ nên có $C_8^3=56$ số. Tổng số khả năng cặp $(A,B)$ là $84\cdot 56=4704$, các khả năng đồng khả năng.

Đếm số cặp mà số của An lớn hơn số của Bình (so sánh theo thứ tự giảm dần, tức so sánh từ chữ số lớn nhất):

**Trường hợp 1: $9\in A$.** Khi đó chữ số lớn nhất của $A$ là $9$ lớn hơn mọi chữ số của $B$, nên $A>B$ luôn đúng. Số tập $A$ chứa $9$: $C_8^2=28$. Số cặp: $28\cdot 56=1568$.

**Trường hợp 2: $9\notin A$.** Khi đó $A,B$ đều là tập con 3 phần tử của $\{1;...;8\}$. Với các tập con cùng loại, tính đối xứng cho thấy số cặp $A>B$ bằng số cặp $A<B$, và số cặp $A=B$ là $56$. Do đó số cặp $A>B$ là $\frac{56^2-56}{2}=\frac{3136-56}{2}=1540$.

Vậy số cặp thuận lợi: $1568+1540=3108$.

Xác suất cần tính:
$$P=\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}\approx 0,6607.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tập $X$ gồm các số tự nhiên hai chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 nên $|X|=6\cdot 5=30$ phần tử. Chọn ngẫu nhiên 2 số từ $X$: số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{30}^2=435$.

Gọi $A$ là biến cố 'hai số được chọn có bốn chữ số đều khác nhau và tổng bốn chữ số bằng 18'. Bốn chữ số phân biệt thuộc $\{1,2,3,4,5,6\}$ có tổng bằng 18: vì $1+2+3+4+5+6=21$, nên phải bỏ đi hai chữ số có tổng $21-18=3$, tức bỏ đi hai chữ số 1 và 2. Vậy bốn chữ số là $\{3,4,5,6\}$.

Hai số được chọn phải dùng hết bốn chữ số 3, 4, 5, 6, mỗi số hai chữ số. Cách chia $\{3,4,5,6\}$ thành hai cặp: $\{3,4\}\cup \{5,6\}$, $\{3,5\}\cup \{4,6\}$, $\{3,6\}\cup \{4,5\}$ — có 3 cách. Với mỗi cách chia, mỗi cặp chữ số lập được 2 số (đổi vị trí hàng chục/hàng đơn vị), nên mỗi cách chia cho $2\times 2=4$ cặp số. Vậy $n(A)=3\cdot 4=12$.

Xác suất cần tính: $P(A)=\frac{12}{435}=\frac{4}{145}\approx 0,0276$.

(AI giải đề cho tôi)
Quy trình n → n − s(n) luôn cho số chia hết cho 9 và giảm dần về 0, nên dãy số (không tính số đầu) hoàn toàn được xác định bởi giá trị f(n) = n − s(n). Với n = 101..199, viết n = 100 + 10a + b thì f(n) = 99 + 9a (a = 0..9); với n = 200 thì f = 198. Vậy chỉ có 11 giá trị f phân biệt: 99, 108, ..., 180 (mỗi giá trị ứng với 10 số, trừ 99 chỉ có 9 số 101–109) và 198 (1 số). Hai bạn có dãy giống nhau ⟺ f của họ bằng nhau.

Tổng dãy bắt đầu từ v = 9k là S(9k) = 9k + S(9k − s(9k)), với S(0)=0. Tính được: S(99)=504, S(108)=612, S(117)=729, S(126)=855, S(135)=990, S(144)=1134, S(153)=1287, S(162)=1449, S(171)=1620, S(180)=1800, S(198)=1998. Xét mod 18: các giá trị {99,108,135,144,162,171,180,198} cho S ≡ 0 (mod 18), tổng số n tương ứng = 9 + 10·6 + 1 = 70 (nhóm T); các giá trị {117,126,153} cho S ≡ 9 (mod 18), tổng số n = 30 (nhóm Đ).

Tổng ba dãy chia hết cho 18 ⟺ số bạn thuộc nhóm Đ là chẵn (0 hoặc 2 bạn).

• Trường hợp 0 bạn nhóm Đ (cả 3 thuộc nhóm T, trọng số w = {9,10,10,10,10,10,10,1}, Σw=70): cần ít nhất hai f trùng nhau. Số bộ thuận lợi = 3Σw_v(70−w_v) + Σw_v³ = 3(70·70 − (81+600+1)) + (729 + 6000 + 1) = 12654 + 6730 = 19384... kiểm tra lại: Σw² = 81 + 6·100 + 1 = 682, nên 3(4900−682) = 12654; Σw³ = 729 + 6000 + 1 = 6730; tổng = 19384. (Sửa lại phép cộng ở trên: 12654 + 6730 = 19384.)

• Trường hợp 2 bạn nhóm Đ, 1 bạn nhóm T: cặp nhóm Đ phải trùng f (nhóm T chỉ có 1 bạn). Chọn bạn nhóm T: 3 cách; chọn giá trị chung của cặp nhóm Đ: 3 giá trị × 10 × 10 cách; bạn nhóm T: 70 cách → 3·3·100·70 = 63000 bộ.

Tổng bộ thuận lợi = 19384 + 63000 = 82384. Xác suất = 82384/100³ = 0,082384 ≈ 0,08.

Đáp án: 88.
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là $10!\Rightarrow n(\Omega )=10!$.
Xét các biến cố:
$A$ : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".
$A_1$ : "Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".
$A_2$ : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".
$A_1\cap A_2$ : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
$\Rightarrow A=A_1\cup A_2\Rightarrow n(A)=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)$.
Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n(A_1)=C_5^1\cdot 2!\cdot 8!$.
Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n(A_2)=A_3^2\cdot C_5^1\cdot 8!$.
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau): Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách; chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách; chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: $C_3^2=3$; sắp xếp trong mỗi cặp: 2! cho 12A và 2! cho 12B; các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: 6!.
Vậy
$$n\left(A_1\cap A_2\right)=5\cdot 4\cdot C_3^2\cdot 2!\cdot 2!\cdot 6!=172800.$$
$$\Rightarrow n(A)=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)=1440000.$$
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{25}{63}\Rightarrow a=25;b=63\Rightarrow a+b=88.$$

Đáp án: $-25$.
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là $10!\Rightarrow n(\Omega )=10!$.
Xét các biến cố: $A$ : "Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau"; $\overline{A}$ : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau"; $A_1$ : "Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau"; $A_2$ : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau"; $A_1\cap A_2$ : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
$\Rightarrow \overline{A}=A_1\cup A_2\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=n\left(A_1\right)+n\left(A_2\right)-n\left(A_1\cap A_2\right)$.
Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n\left(A_1\right)=C_5^1.2!.8!$.
Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n\left(A_2\right)=A_3^2.C_5^1.8!$.
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau): Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách; chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách; chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: $C_3^2=3$; sắp xếp trong mỗi cặp: 2! cho 12A và 2! cho 12B; các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: 6!.
Vậy $\Rightarrow n\left(A_1\cap A_2\right)=5\cdot 4\cdot C_3^2=3\cdot 2!\cdot 2!\cdot 6!$.
$\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=n\left(A_1\right)+n\left(A_2\right)-n\left(A_1\cap A_2\right)=1440000$.
$\Rightarrow n\left(A\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{A}\right)=2188800\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{38}{63}\Rightarrow a-b=-25$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;8)$, $F(15;8)$, $E(0;0)$, $B(15;0)$, và theo hình, điểm $I$ có tọa độ $(11;3)$ (cách $E$ sang phải 11 đơn vị, lên 3 đơn vị). Mỗi đường đi ngắn nhất gồm 15 bước ngang và 8 bước dọc, tổng số đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $B$ (và từ $E$ đến $F$) là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{8}\right)=490314$.

Người thứ nhất ($A\to B$) qua $I$: từ $A$ đến $I$ cần 11 bước ngang, 5 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{5}\right)=4368$ đường; từ $I$ đến $B$ cần 4 bước ngang, 3 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ đường. Xác suất $P_1=\frac{4368\cdot 35}{490314}=\frac{152880}{490314}\approx 0,3118$.

Người thứ hai ($E\to F$) qua $I$: từ $E$ đến $I$ cần 11 bước ngang, 3 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3}\right)=364$ đường; từ $I$ đến $F$ cần 4 bước ngang, 5 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)=126$ đường. Xác suất $P_2=\frac{364\cdot 126}{490314}=\frac{45864}{490314}\approx 0,0936$.

Hai người đi độc lập nên xác suất cả hai cùng qua $I$ là $P=P_1\cdot P_2=\frac{152880\cdot 45864}{490314^2}=\frac{7011688320}{240408718596}\approx 0,0292\approx 0,029$. Kết quả khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm $C_n^4$ với $n=4,\dots ,2024$ (2021 số hạng). Theo định lý Lucas, $C_n^4$ lẻ khi và chỉ khi các bit của $4=100_2$ là tập con các bit của $n$, tức $n\equiv 4,5,6,7(\mathrm{mod}8)$; ngược lại $C_n^4$ chẵn khi $n\equiv 0,1,2,3(\mathrm{mod}8)$.

Xét tổng ba số hạng liên tiếp $C_n^4+C_{n+1}^4+C_{n+2}^4$: tổng lẻ khi trong ba chỉ số $n,n+1,n+2(\mathrm{mod}8)$ có số lượng phần tử thuộc $\{4,5,6,7\}$ là lẻ. Xét theo $n\mathrm{mod}8$:
- $n\equiv 0$: chỉ số $0,1,2$ → 0 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 1$: chỉ số $1,2,3$ → 0 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 2$: chỉ số $2,3,4$ → 1 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 3$: chỉ số $3,4,5$ → 2 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 4$: chỉ số $4,5,6$ → 3 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 5$: chỉ số $5,6,7$ → 3 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 6$: chỉ số $6,7,0$ → 2 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 7$: chỉ số $7,0,1$ → 1 số lẻ → tổng lẻ ✓

Vậy mỗi chu kỳ 8 có 4 vị trí cho tổng lẻ: $n\equiv 2,4,5,7(\mathrm{mod}8)$.

Ba số hạng liên tiếp được chọn với $n=4,\dots ,2022$: 2019 giá trị. Vì $2019=252\cdot 8+3$ và dãy chỉ số bắt đầu tại $n\equiv 4(\mathrm{mod}8)$, 252 chu kỳ đầy đủ cho $252\cdot 4=1008$ trường hợp lẻ; 3 giá trị còn lại là $n=2020,2021,2022\equiv 4,5,6(\mathrm{mod}8)$, trong đó $n\equiv 4,5$ cho tổng lẻ (thêm 2). Tổng cộng 1010 trường hợp lẻ.

Xác suất $=\frac{1010}{2019}$; $2019=3\cdot 673$, $1010=2\cdot 5\cdot 101$ nguyên tố cùng nhau nên tối giản. Vậy $a+b=1010+2019=3029$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: số có 6 chữ số đôi một khác nhau từ $\{0,\dots ,6\}$, chữ số đầu khác 0: $A_7^6-A_6^5=2520-720=4320$. Đếm số thuận lợi: cần chia 6 chữ số thành 3 cặp rời nhau có cùng tổng $s$. Xét các tổng: chỉ $s=5$: $(0,5),(1,4),(2,3)$; $s=6$: $(0,6),(1,5),(2,4)$; $s=7$: $(1,6),(2,5),(3,4)$ cho 3 cặp rời nhau. Với mỗi bộ 3 cặp: gán vào 3 vị trí ($3!$ cách) và thứ tự trong mỗi cặp ($2^3$ cách) $\to 48$ số. Loại trường hợp $a=0$: với $s=5$ và $s=6$, cặp chứa 0 đứng đầu với $a=0$ cho $2!\cdot 2^2=8$ số mỗi tổng. Vậy số thuận lợi $=(48-8)+(48-8)+48=128$. Xác suất $=\frac{128}{4320}=\frac{4}{135}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{45}{3}\right)=14190$.

**c)** Số quả đánh số chẵn là 22 quả (2,4,...,44). Số cách lấy cả 3 quả chẵn: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{3}\right)=\frac{22\cdot 21\cdot 20}{6}=1540$. → Đúng.

**b)** Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng lẻ xảy ra khi (lẻ, chẵn, chẵn) hoặc (lẻ, lẻ, lẻ): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{3}\right)=23\cdot 253+1771=5313+1771=7084$. Vậy $P=\frac{7084}{14190}\approx 0,4993\ne \frac{1}{2}$. → Sai.

**a)** Phân loại theo số mũ của 2: lẻ (v2=0): 23 số; v2=1 (dạng 4k+2): 11 số; v2=2 (dạng 8k+4): 6 số (4,12,20,28,36,44); v2≥3 (bội của 8): 5 số. Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng số mũ của 2 ≤ 2:
- 3 số lẻ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{3}\right)=1771$;
- một số v2=1, hai lẻ: $11\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2}\right)=2783$;
- một số v2=2, hai lẻ: $6\cdot 253=1518$;
- hai số v2=1, một lẻ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)\cdot 23=1265$;
- một v2=1, một v2=2, một lẻ: $11\cdot 6\cdot 23=1518$.
Tổng: $8855$. Vậy số trường hợp tích chia hết cho 8: $14190-8855=5335$, $P=\frac{5335}{14190}=\frac{97}{258}\approx 0,376\ne \frac{523}{1290}$. → Sai.

**d)** Phân loại theo mod 4: r0: 11 số; r1: 12 số; r2: 11 số; r3: 11 số. Các bộ residue có tổng chia hết cho 4: {0,0,0}: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)=165$; {0,1,3}: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; {0,2,2}: $11\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)=605$; {1,1,2}: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2}\right)\cdot 11=726$; {2,3,3}: $11\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)=605$. Tổng: $165+1452+605+726+605=3553$. Vậy $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo valuation 2: số bộ ba có tích chia hết cho 8 là 5335, nên $P=\frac{5335}{14190}=\frac{97}{258}\ne \frac{523}{1290}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ ba có tổng lẻ là 7084, nên $P=\frac{7084}{14190}\approx 0,4993\ne \frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn, số cách lấy 3 quả chẵn là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{3}\right)=1540$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo residue mod 4 (11,12,11,11 số), tổng số bộ ba có tổng chia hết cho 4 là 3553, $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.

(AI giải đề cho tôi)
Việt chọn 3 trong 9 tấm: $C_9^3=84$ số; Nam chọn 3 trong 8 tấm: $C_8^3=56$ số. Tổng cặp kết quả: $84\cdot 56=4704$, đồng khả năng. Mỗi tập 3 chữ số cho đúng một số giảm dần, nên hai số bằng nhau chỉ khi cùng tập chữ số (nằm trong $\{1,...,8\}$): 56 cặp hòa.

Đếm số cặp Nam thắng (số của Nam lớn hơn). Với bộ Nam $(y_1>y_2>y_3)$, số bộ Việt $(x_1>x_2>x_3)$ nhỏ hơn theo thứ tự từ điển là $C_{y_1-1}^3+C_{y_2-1}^2+(y_3-1)$ (xét lần lượt $x_1<y_1$; $x_1=y_1,x_2<y_2$; $x_1=y_1,x_2=y_2,x_3<y_3$).

- $\sum C_{y_1-1}^3$ với $y_1$ là max: ${\sum }_{m=3}^8{C}_{m-1}^2{C}_{m-1}^3=0+3+24+100+300+735=1162$.
- $\sum C_{y_2-1}^2$ với $y_2$ là phần tử giữa (có $(8-m)(m-1)$ bộ có phần tử giữa bằng $m$): $0+10+36+72+100+90=308$.
- $\sum (y_3-1)$ với $y_3$ là min (có $C_{8-m}^2$ bộ có min bằng $m$): $0+15+20+18+12+5=70$.

Số cặp Nam thắng: $1162+308+70=1540$. Số cặp Việt thắng: $4704-56-1540=3108$.

Xác suất Việt thắng: $P=\frac{3108}{4704}\approx 0,6607\approx 0,66$.

Xếp 20 con thỏ vào 10 chuồng sao cho mỗi chuồng có đúng hai con, số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=\frac{20!}{2^{10}}$.
Gọi $A$ là biến cố: "Có một chuồng chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu xám đồng thời không có chuồng nào chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu vàng".
Chọn chuồng cho cặp thỏ lông màu đen và lông màu xám là 20 cách.
Số cách xếp 18 con thỏ còn lại vào 9 chuồng là $\frac{18!}{2^9}$.
Số cách xếp 18 con thỏ vào 9 chuồng sao cho có một chuồng chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu vàng là $\frac{9.16!}{2^8}$.
Ta có số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=20.\left(\frac{18!}{2^9}-9.\frac{16!}{2^8}\right)$.
Vậy $P\left(A\right)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{32}{323}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bộ 5 chữ số $(a,b,c,d,e)$, các chữ số không đồng thời bằng 0 nên có $10^5-1=99999$ bộ; $x$ có 2 lựa chọn (3 hoặc 4), vậy tổng số biển số loại A là $2\cdot 99999=199998$.

**1)** Số bộ $(a,b,c,d,e)$ vừa chứa chữ số 3 vừa chứa chữ số 4 (khi đó tự động không đồng thời bằng 0) tính theo bù:
$$10^5-2\cdot 9^5+8^5=100000-118098+32768=14670.$$
Với mỗi bộ, $x$ có 2 cách chọn, nên số biển loại A vừa có chữ số 3 vừa có chữ số 4 là:
$$2\cdot 14670=29340\text{ biển}.$$

**2)** Số bộ $(a,b,c,d,e)$ có **đúng một** chữ số 3: chọn vị trí chứa chữ số 3 (5 cách), các vị trí còn lại lấy từ 9 chữ số khác 3 (chữ số 0 được phép vì khi đó bộ vẫn có chữ số khác 0):
$$5\cdot 9^4=32805.$$
Với mỗi bộ, $x$ có 2 cách chọn, nên số biển có đúng một chữ số 3 là:
$$2\cdot 32805=65610\text{ biển}.$$

Hai bạn viết ngẫu nhiên độc lập, mỗi biển có xác suất $\frac{65610}{199998}$ là loại đúng một chữ số 3 và $\frac{29340}{199998}$ là loại vừa có 3 vừa có 4. Xác suất để có một biển loại thứ nhất và một biển loại thứ hai (hai trường hợp: Khoa–Lâm hoặc Lâm–Khoa):
$$P=\frac{2\cdot 65610\cdot 29340}{199998^2}=\frac{3849994800}{39999200004}\approx 0,0962\approx 0,10.$$

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega )=A_{10}^9$.

Gọi $A$ là biến cố theo yêu cầu bài toán thì $\overline{A}$: “tồn tại một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn”.

TH1: 9 số được điền có 4 số chẵn, 5 số lẻ: có 5 cách chọn.

Khi đó có đúng 1 hàng hoặc đúng 1 cột chứa toàn số chẵn.

Chọn một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn: có 6 cách.

Chọn ba số chẵn trong 4 số chẵn và xếp vào hàng (hoặc cột) được chọn: có $A_4^3$ cách.

Xếp 6 số còn lại vào 6 ô còn lại: có $6!$ cách.

Do đó TH1 có $\mathrm{5.6.}{A}_4^3.6!$ cách điền.

TH2: 9 số được điền có 5 số chẵn, 4 số lẻ: có 5 cách chọn.

Khi đó không quá 1 hàng và không quá 1 cột chứa toàn số chẵn.

Số cách xếp sao cho có 1 hàng toàn số chẵn là $3.A_5^3.6!$.

Số cách xếp sao cho có 1 cột toàn số chẵn là $3.A_5^3.6!$.

Số cách xếp sao cho có 1 hàng và 1 cột toàn số chẵn là $\mathrm{3.3.5}!.4!$.

Tóm lại TH2 có $5.\left(\mathrm{2.3.}{A}_5^3.6!-\mathrm{3.3.5}!.4!\right)$ cách điền.

Do đó $P\left(\overline{A}\right)=\frac{\mathrm{5.6.}{A}_4^3.6!+5.\left(\mathrm{2.3.}{A}_5^3.6!-\mathrm{3.3.5}!.4!\right)}{A_{10}^9}=\frac{13}{28}$.

Vậy $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=\frac{15}{28}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân loại 32 số từ 1 đến 32 theo số mũ của 2 trong phân tích nguyên tố: lẻ ($v_2=0$): 16 số; chia hết cho 2 nhưng không cho 4 ($v_2=1$): 8 số (2,6,...,30); chia hết cho 4 nhưng không cho 8 ($v_2=2$): 4 số (4,12,20,28); chia hết cho 8 nhưng không cho 16 ($v_2=3$): 2 số (8,24); chia hết cho 16 ($v_2\ge 4$): 2 số (16,32). Tổng $32^3=32768$ kết quả (có thứ tự). Tích chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 16 khi tổng số mũ của 2 bằng 2 hoặc 3:
- $(2,0,0)$: $3\cdot 4\cdot 16\cdot 16=3072$
- $(1,1,0)$: $3\cdot 8\cdot 8\cdot 16=3072$
- $(3,0,0)$: $3\cdot 2\cdot 16\cdot 16=1536$
- $(2,1,0)$: $6\cdot 4\cdot 8\cdot 16=3072$
- $(1,1,1)$: $8\cdot 8\cdot 8=512$
Tổng số trường hợp thuận lợi: $3072+3072+1536+3072+512=11264$. Xác suất $P=\frac{11264}{32768}=0,34375\approx 0,34$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và góc AMB ≥ 60°. Ta có sin(∠AMB/2) = R/OM = 1/OM, nên ∠AMB ≥ 60° ⟺ 1/OM ≥ sin30° = 1/2 ⟺ OM ≤ 2. Đồng thời để kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt cần OM > 1. Vậy T là các điểm nguyên 1 < x²+y² ≤ 4. Các điểm nguyên với x²+y² ≤ 4: (0,0), (±1,0), (0,±1), (±1,±1), (±2,0), (0,±2) — tổng 13 điểm. Loại 5 điểm có OM ≤ 1 (tâm O và 4 điểm trên đường tròn), còn lại T = {(±1,±1), (±2,0), (0,±2)} gồm 8 điểm. Số cách chọn 2 điểm: C(8,2) = 28. Cặp điểm có đường thẳng song song Ox (cùng tung độ): y = 1: (−1,1),(1,1) → 1 cặp; y = −1: 1 cặp; y = 0: (−2,0),(2,0) → 1 cặp. Tổng 3 cặp. Xác suất = 3/28 = 1/a ⟹ a = 28/3 ⟹ a² = 784/9.

$|\Omega |=A_{11}^5=55440$. Biến cố $Y$: " $O=13$ và $A+O+C=B+O+D$ " $\iff O=13$ và $A+C=B+D$. Cố định $O=13$. Khi đó $A,B,C,D$ là 4 số phân biệt lấy từ $S=X\setminus \{13\}=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}$. Chia cả 4 số cho 2, đặt $T=\{1,2,\dots ,10\}$. Ta có $x+z=y+w$ với $x,y,z,w$ là 4 số phân biệt trong $T$ (ứng với $A,B,C,D$). Gọi $k_s$ là số cặp không thứ tự $\{i;j\}\subset T$ sao cho $i+j=s$. Với $T=\{1,2,\dots ,10\}$, ta có các $k_s$ $(s=\overline{3;19})$: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Với mỗi tổng $s$, số cách chọn có thứ tự hai cặp khác nhau cùng tổng $s$ là $k_s(k_s-1)$. Mỗi cách như vậy gán vào $(A,C)$ và $(B,D)$, đồng thời đổi chỗ trong từng cặp có $2.2=4$ cách. $\Rightarrow n(Y)=4{\sum }_s{k}_s(k_s-1)=400\Rightarrow P(Y)=\frac{400}{55440}=\frac{5}{693}.\Rightarrow a+b=698$.

(Đáp án chính thức - Mã đề 522, Trang 9/9)
$|\Omega |=A_{11}^5=55440$.

Biến cố $Y$: "$O=13$ và $A+O+C=B+O+D$" $\iff O=13$ và $A+C=B+D$.

Cố định $O=13$. Khi đó $A,B,C,D$ là 4 số phân biệt lấy từ $S=X\setminus \{13\}=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}$. Chia cả 4 số cho 2, đặt $T=\{1,2,\dots ,10\}$.

Ta có $x+z=y+w$ với $x,y,z,w$ là 4 số phân biệt trong $T$ (ứng với $A,B,C,D$).

Gọi $k_s$ là số cặp không thứ tự $\{i;j\}\subset T$ sao cho $i+j=s$.

Với $T=\{1,2,\dots ,10\}$, ta có các $k_s$ ($s=\overline{3;19}$): $1,1,2,2,3,3,4,4,5,4,4,3,3,2,2,1,1$.

Với mỗi tổng $s$, số cách chọn có thứ tự hai cặp khác nhau cùng tổng $s$ là $k_s(k_s-1)$.

Mỗi cách như vậy gán vào $(A,C)$ và $(B,D)$, đồng thời đổi chỗ trong từng cặp có $2\cdot 2=4$ cách.

$$n(Y)=4\sum _s{k}_s(k_s-1)=400\Rightarrow P(Y)=\frac{400}{55440}=\frac{5}{693}$$

Vậy $a+b=5+693=698$.

Cho $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in \mathbb{N}$, thỏa mãn $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=k$ (1)

Ta có kết quả sau:
+ Số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ thỏa mãn (1) là $C_{k+4}^4$ (2)
+ Với $k\ge 5$ và $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ge 1$, số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ thỏa mãn (1) là $C_{k-1}^4$ (3)

Gọi số vở 5 học sinh nhận được lần lượt là $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$, với $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in \mathbb{N}$ và $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=40$, để học sinh nào cũng được tặng vở thì $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ge 1$.

Theo (3) xác định được số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega |=C_{39}^4$. (0,25 điểm)

Vì $x_i/⋮3$ nên viết lại $x_i=3q_i+r_i$ với $q_i\in \mathbb{N},r_i\in \{1;2\}$, $i=1,2,3,4,5$.

Đặt $Q={\sum }_{i=1}^5{q}_i$ và $R={\sum }_{i=1}^5{r}_i$, đưa về $3Q+R=40$, dẫn đến $R-1⋮3$.

Lại có $r_i\in \{1,2\},i=1,2,3,4,5$ nên $5\le R\le 10$. Từ đó tìm được hai trường hợp sau: (0,25 điểm)

1) $R=7$, trong các số $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5$ có ba số bằng 1 và hai số bằng 2, có $C_5^3$ bộ $(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5)$. Tìm được $Q=11$, theo (2) có $C_{15}^4$ bộ $(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5)$.

Suy ra có $C_5^3.C_{15}^4$ bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$. (0,25 điểm)

2) $R=10$, thì $r_1=r_2=r_3=r_4=r_5=2$ có 1 bộ $(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5)$. Tìm được $Q=10$, theo (2) có $C_{14}^4$ bộ $(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5)$. Suy ra có $C_{14}^4$ bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$.

Vậy số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ cần tìm là $C_5^3{C}_{15}^4+C_{14}^4$.

Xác suất cần tìm bằng $P=\frac{C_{14}^4+C_5^3{C}_{15}^4}{C_{39}^4}=\frac{1127}{6327}$. (0,25 điểm)

CHÚ Ý: Hướng dẫn chấm chỉ là lời giải sơ lược của một cách. Học sinh có cách giải khác đáp án, cho kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm từng phần tương ứng như hướng dẫn chấm.