Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép toán biến cố (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, với $P(B)>0$ ta có $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(AB)}{P(B)}$. Trong đề, ký hiệu $P(A\backslash B)$ được dùng để chỉ xác suất có điều kiện $P(A|B)$ (ký hiệu của sách giáo khoa mới). Do đó đáp án đúng là $P(A\backslash B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$, tương ứng phương án A. Các phương án B, C, D đều sai vì không khớp định nghĩa xác suất có điều kiện.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P(X\cap Y)=\frac{1}{10}$, $b=P(X\cap \overline{Y})$, $c=P(\overline{X}\cap Y)$, $d=P(\overline{X}\cap \overline{Y})$. Từ giả thiết: $b=\frac{3}{5}(c+d)$ và $c=\frac{2}{3}(b+d)$. Giải hệ: từ phương trình thứ hai $b=\frac{3c-2d}{2}$, thay vào: $\frac{3c-2d}{2}=\frac{3}{5}(c+d)\Rightarrow 15c-10d=6c+6d\Rightarrow 9c=16d\Rightarrow c=\frac{16d}{9}$, suy ra $b=\frac{5d}{3}$. Vì $a+b+c+d=1$: $\frac{1}{10}+\frac{5d}{3}+\frac{16d}{9}+d=1\Rightarrow \frac{40d}{9}=\frac{9}{10}\Rightarrow d=\frac{81}{400}=0,2025$. Xác suất có ít nhất một cổ phiếu giảm giá là $P(X\cup Y)=1-d=1-\frac{81}{400}=\frac{319}{400}=0,7975$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ P(A)=0,3; P(B)=0,8; P(AB)=0,25:
a) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0,3+0,8−0,25=0,85 → đúng.
b) P(A)·P(B)=0,3·0,8=0,24≠0,25=P(AB) nên A, B phụ thuộc → đúng.
c) P(A|B)=P(AB)/P(B)=0,25/0,8=0,3125≠0,833 → sai.
d) P(B|Ā)=P(B)−P(AB) / (1−P(A)) = (0,8−0,25)/0,7 = 0,55/0,7 = 11/14 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(A∪B)=0,3+0,8−0,25=0,85.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(A)P(B)=0,24≠P(AB)=0,25 nên A, B phụ thuộc.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(A|B)=0,25/0,8=0,3125, không phải 0,833.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B|Ā)=(0,8−0,25)/(1−0,3)=0,55/0,7=11/14.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. Ta có $A=\{1,2\}$, $B=\{4,5,6\}$, $C=\{1,3,5\}$. Xét ba cặp: $A\cap B=\varnothing$ nên $A$, $B$ xung khắc; $A\cap C=\{1\}\ne \varnothing$ nên không xung khắc; $B\cap C=\{5\}\ne \varnothing$ nên không xung khắc. Vậy chỉ có 1 cặp biến cố xung khắc, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: An và Huy lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) hai mảnh giấy từ 9 mảnh đánh số từ 1 đến 9, có $9\times 8=72$ kết quả đồng khả năng.
a) An lấy trước, số chẵn là $\{2,4,6,8\}$ nên $P(A)=\frac{4}{9}$. Đúng.
b) $C$: An lấy được mảnh số 8, chỉ có 1 cách nên $P(C)=\frac{1}{9}$. Đúng.
c) Huy lấy mảnh thứ hai; do tính đối xứng (vị trí của mảnh chẵn trong hoán vị ngẫu nhiên của 9 mảnh là đồng khả năng), $P(B)=\frac{4}{9}$. Cụ thể: $P(B)=\sum P(\text{An laˆˊy }i)\cdot P(\text{Huy laˆˊy cha˘˜n}\mid \text{An laˆˊy }i)=\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)+\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{20}{72}+\frac{12}{72}=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$. Đúng.
d) Vì $C\subset A$ nên $P(A\cap C)=P(C)=\frac{1}{9}$, còn $P(A)\cdot P(C)=\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{4}{81}\ne \frac{1}{9}$. Vậy $A$ và $C$ không độc lập. Đúng.
Tất cả bốn phát biểu a), b), c), d) đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn từ 1 đến 9 là $\{2,4,6,8\}$ (4 mảnh), An lấy trước nên $P(A)=\frac{4}{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có duy nhất mảnh số 8 nên $P(C)=\frac{1}{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=P(\text{An lẻ})\cdot P(\text{Huy cha˘˜n}\mid \text{An lẻ})+P(\text{An cha˘˜n})\cdot P(\text{Huy cha˘˜n}\mid \text{An cha˘˜n})=\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)+\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C\subset A$ nên $P(A\cap C)=\frac{1}{9}\ne P(A)P(C)=\frac{4}{81}$, do đó $A$ và $C$ không độc lập.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3: Cho $P(A)=\frac{2}{5}$, $P(B)=\frac{5}{12}$, $P(AB)=\frac{1}{6}$.

a) Xét tính xung khắc: Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc khi và chỉ khi $P(A\cap B)=0$. Ta thấy $P(AB)=\frac{1}{6}\ne 0$, do đó $A$ và $B$ KHÔNG xung khắc (hai biến cố có thể đồng thời xảy ra).

b) Xét tính độc lập: Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Ta có:
$$P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{12}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$
Mà $P(AB)=\frac{1}{6}$, nên $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$.
Vậy hai biến cố $A$ và $B$ ĐỘC LẬP với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số kết quả có thể: 10 + 5 + 3 + 2 = 20 chuyến.

a) Biến cố $A$ và $B$ (tức $A\cap B$) là biến cố “chọn phương tiện vừa là ô tô hoặc tàu hỏa vừa là tàu thủy hoặc máy bay”. Vì một chuyến đi chỉ dùng một phương tiện nên $A$ và $B$ xung khắc, không có kết quả nào thỏa mãn cả hai. Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và $B$ là $0$.

b) $A\cup B$ là biến cố “chọn phương tiện ô tô, hoặc tàu hỏa, hoặc tàu thủy, hoặc máy bay” (tức chọn bất kỳ một trong bốn phương tiện). Số kết quả thuận lợi cho $A\cup B$ là $10+5+3+2=20$ kết quả (trùng với không gian mẫu).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số đồ vật trên bàn: $8+6+10=24$ (đồ vật khác nhau), nên không gian mẫu có 24 kết quả có thể xảy ra.

a) Biến cố $A$: “Vật được chọn là cây bút”. Số kết quả thuận lợi cho $A$ là số cây bút: $8+6=14$.
Biến cố $B$: “Vật được chọn là cuốn tập”. Số kết quả thuận lợi cho $B$ là số cuốn tập: $10$.
Vì một vật không thể vừa là bút vừa là tập nên $A$ và $B$ xung khắc, không có kết quả thuận lợi chung; số kết quả thuận lợi cho cả $A$ và $B$ (tức $A\cap B$) là $0$.

b) Biến cố $A\cup B$: “Vật được chọn là cây bút hoặc cuốn tập”.
Vì $A$ và $B$ xung khắc nên theo quy tắc cộng:
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)=14+10=24$.
Vậy có $24$ kết quả thuận lợi cho biến cố $A\cup B$ (tức là mọi kết quả đều thuận lợi, $P(A\cup B)=\frac{24}{24}=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11 (trang 20): Từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$ mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Không gian mẫu gồm $10+5+3+2=20$ kết quả (mỗi kết quả là một chuyến được chọn).

a) Biến cố $A$: 'chọn ô tô hoặc tàu hỏa' có số kết quả thuận lợi $n(A)=10+5=15$. Biến cố $B$: 'chọn tàu thủy hoặc máy bay' có số kết quả thuận lợi $n(B)=3+2=5$.

b) $A\cup B$ là biến cố 'chọn phương tiện ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay' (tức chọn bất kỳ một chuyến nào trong 20 chuyến để đi từ $A$ đến $B$). Vì $A$ và $B$ xung khắc (không có kết quả chung), nên $n(A\cup B)=n(A)+n(B)=15+5=20$, đúng bằng kích thước không gian mẫu.

Kiểm tra: $P(A)=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$, $P(B)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$, $P(A\cup B)=\frac{20}{20}=1=P(A)+P(B)$, hợp lý vì $A\cup B$ là biến cố chắc chắn.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13 (trang 20): Trên bàn có 8 cây bút chì, 6 cây bút bi và 10 cuốn tập, tất cả khác nhau. Học sinh chọn một đồ vật duy nhất, nên không gian mẫu có $8+6+10=24$ kết quả có thể.

a) Biến cố $A$: 'Vật được chọn là cây bút' (gồm bút chì hoặc bút bi) có số kết quả thuận lợi $n(A)=8+6=14$. Biến cố $B$: 'Vật được chọn là cuốn tập' có $n(B)=10$.

b) $A\cup B$ là biến cố 'Vật được chọn là cây bút hoặc cuốn tập'. Vì một vật không thể vừa là bút vừa là tập nên $A\cap B=\varnothing$, do đó $n(A\cup B)=n(A)+n(B)=14+10=24$. Vậy mọi đồ vật trên bàn đều thuận lợi cho $A\cup B$, tức $n(A\cup B)=24$ (xác suất $P(A\cup B)=\frac{24}{24}=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, biến cố “$A$ hoặc $B$ xảy ra” (tức $A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra, hoặc cả hai) là biến cố hợp $A\cup B$ của hai biến cố $A$ và $B$. Biến cố giao $A\cap B$ là “cả $A$ và $B$ đều xảy ra”, biến cố đối là “$A$ không xảy ra”. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Biến cố “Cả $A$ và $B$ đều xảy ra” tương ứng với giao của hai biến cố, tức $A\cap B$. Do đó đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia, tức $P(A|B)=P(A)$ và $P(B|A)=P(B)$. Do đó đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Biến cố $A\cup B$ là biến cố hợp của $A$ và $B$, tức là biến cố “$A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra” (hoặc cả hai). Do đó $A\cup B$: “Thành viên được chọn là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam”. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$A\cap B$ gồm các số từ 1 đến 20 chia hết cho cả 3 và 4, tức chia hết cho $\mathrm{BCNN}(3,4)=12$. Trong khoảng 1 đến 20 chỉ có số 12 thỏa mãn, nên $A\cap B=\{12\}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho cả 2 và 4 là số chia hết cho 4 (vì mọi bội của 4 đều là bội của 2), nên $P\cap Q=Q$: “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4”. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Biến cố A: (hộp 1 đỏ, hộp 2 xanh); biến cố B: (hộp 1 xanh, hộp 2 đỏ). Vì hộp thứ nhất không thể vừa đỏ vừa xanh nên A và B không thể cùng xảy ra: $A\cap B=\varnothing$, tức hai biến cố xung khắc. Chúng không phải biến cố đối vì còn kết quả khác có thể xảy ra (hai hộp cùng đỏ hoặc cùng xanh): $P(A)=\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{8}=\frac{9}{56}$, $P(B)=\frac{4}{7}\cdot \frac{5}{8}=\frac{20}{56}$, nên $P(A)+P(B)=\frac{29}{56}\ne 1$. Chúng cũng không bằng nhau và không độc lập vì $P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(\overline{A}\mid B)=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)-P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,8-0,4}{0,8}=\frac{0,4}{0,8}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.