Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép toán biến cố (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P(X\cap Y)=\frac{1}{10}$, $b=P(X\cap \overline{Y})$, $c=P(\overline{X}\cap Y)$, $d=P(\overline{X}\cap \overline{Y})$. Từ giả thiết: $b=\frac{3}{5}(c+d)$ và $c=\frac{2}{3}(b+d)$. Giải hệ: từ phương trình thứ hai $b=\frac{3c-2d}{2}$, thay vào: $\frac{3c-2d}{2}=\frac{3}{5}(c+d)\Rightarrow 15c-10d=6c+6d\Rightarrow 9c=16d\Rightarrow c=\frac{16d}{9}$, suy ra $b=\frac{5d}{3}$. Vì $a+b+c+d=1$: $\frac{1}{10}+\frac{5d}{3}+\frac{16d}{9}+d=1\Rightarrow \frac{40d}{9}=\frac{9}{10}\Rightarrow d=\frac{81}{400}=0,2025$. Xác suất có ít nhất một cổ phiếu giảm giá là $P(X\cup Y)=1-d=1-\frac{81}{400}=\frac{319}{400}=0,7975$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: An và Huy lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) hai mảnh giấy từ 9 mảnh đánh số từ 1 đến 9, có $9\times 8=72$ kết quả đồng khả năng.
a) An lấy trước, số chẵn là $\{2,4,6,8\}$ nên $P(A)=\frac{4}{9}$. Đúng.
b) $C$: An lấy được mảnh số 8, chỉ có 1 cách nên $P(C)=\frac{1}{9}$. Đúng.
c) Huy lấy mảnh thứ hai; do tính đối xứng (vị trí của mảnh chẵn trong hoán vị ngẫu nhiên của 9 mảnh là đồng khả năng), $P(B)=\frac{4}{9}$. Cụ thể: $P(B)=\sum P(\text{An laˆˊy }i)\cdot P(\text{Huy laˆˊy cha˘˜n}\mid \text{An laˆˊy }i)=\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)+\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{20}{72}+\frac{12}{72}=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$. Đúng.
d) Vì $C\subset A$ nên $P(A\cap C)=P(C)=\frac{1}{9}$, còn $P(A)\cdot P(C)=\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{4}{81}\ne \frac{1}{9}$. Vậy $A$ và $C$ không độc lập. Đúng.
Tất cả bốn phát biểu a), b), c), d) đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn từ 1 đến 9 là $\{2,4,6,8\}$ (4 mảnh), An lấy trước nên $P(A)=\frac{4}{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có duy nhất mảnh số 8 nên $P(C)=\frac{1}{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=P(\text{An lẻ})\cdot P(\text{Huy cha˘˜n}\mid \text{An lẻ})+P(\text{An cha˘˜n})\cdot P(\text{Huy cha˘˜n}\mid \text{An cha˘˜n})=\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)+\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C\subset A$ nên $P(A\cap C)=\frac{1}{9}\ne P(A)P(C)=\frac{4}{81}$, do đó $A$ và $C$ không độc lập.

a) $n(\Omega )=6.6=36$. Chọn ĐÚNG.

b) $B=\{(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)\}$, $n(B)=6$, $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Chọn ĐÚNG.

c) $n(\overline{A})=25$, $P(A)=\frac{11}{36}$, $P(A).P(B)=\frac{11}{216}$; $AB=\left\{(1;6),(6;1)\right\}$, $P(AB)=\frac{2}{36}\ne P(A).P(B)$. Vậy $A,B$ không độc lập. Chọn Đúng.

d) $P(C)=\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}+\frac{4}{36}+\frac{5}{36}=\frac{15}{36}$. Chọn SAI.

(Lưu ý: trang lời giải in lại phát biểu a) là 12 và b) là $\frac{1}{18}$, khác với đề gốc 36 và $\frac{1}{6}$; kết luận Đúng/Đúng nhất quán với bảng đáp án.)
a) a) Gieo hai con xúc sắc $I$ và $II$ cân đối, đồng chất một cách độc lập thì số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=6.6=36$. Chọn ĐÚNG.
b) b) $B=\{(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)\}$, nên $n(B)=6$ $$P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$ Chọn ĐÚNG.
c) c) Gọi $\overline{A}$ là biến cố đối của biến cố $A$: "Không có con súc sắc nào xuất hiện mặt 6 chấm". Do đó $n\left(\overline{A}\right)=5.5=25$. $$P\left(\overline{A}\right)=\frac{25}{36},\Rightarrow P\left(A\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}.$$ $$P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{11}{36}.\frac{1}{6}=\frac{11}{216}.$$ Xét biến cố $AB$: "Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con là 7, trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm". Ta có $AB=\left\{(1;6),(6;1)\right\}$. Do đó $P\left(AB\right)=\frac{2}{36}$ $\Rightarrow P\left(AB\right)\ne P\left(A\right).P\left(B\right)$. Vậy $A,B$ không độc lập. Chọn Đúng.
d) d) Biến cố $C$ xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố sau xảy ra: $C_1$: "Con súc sắc $I$ ra mặt 2 chấm và con súc sắc $II$ ra mặt 6 chấm", $P(C_1)=\frac{1}{36}$; $C_2$: "Con súc sắc $I$ ra mặt 3 chấm và con súc sắc $II$ ra mặt 5 hoặc 6 chấm", $P(C_2)=\frac{2}{36}$; $C_3$: "Con súc sắc $I$ ra mặt 4 chấm và con súc sắc $II$ ra mặt 4,5 hoặc 6 chấm", $P(C_3)=\frac{3}{36}$; $C_4$: "Con súc sắc $I$ ra mặt 5 chấm và con súc sắc $II$ ra mặt 3,4,5 hoặc 6 chấm", $P(C_4)=\frac{4}{36}$; $C_5$: "Con súc sắc $I$ ra mặt 6 chấm và con súc sắc $II$ ra mặt 2,3,4,5 hoặc 6 chấm", $P(C_5)=\frac{5}{36}$. Theo quy tắc cộng xác suất: $$P(C)=P(C_1)+P(C_2)+P(C_3)+P(C_4)+P(C_5)=\frac{15}{36}$$ Chọn SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hai lô đất thí nghiệm độc lập nên A, B độc lập, do đó các cặp biến cố tạo từ chúng cũng độc lập. a) Sai: $P(\overline{A})=1-0,56=0,44$; $P(\overline{B})=1-0,62=0,38$. b) Đúng: A và B độc lập (hai lô đất khác nhau, thí nghiệm tương đồng), nên $\overline{A}$ với B và A với $\overline{B}$ cũng độc lập. c) Sai: $C=\overline{A}\cap B$ và $D=A\cap \overline{B}$ không thể đồng thời xảy ra (một cây không thể vừa phát triển bình thường trên M và không bình thường trên M), nên C và D xung khắc; khẳng định 'không xung khắc' là sai. d) Đúng: $P(C\cup D)=P(C)+P(D)=0,44\cdot 0,62+0,56\cdot 0,38=0,2728+0,2128=0,4856$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1106: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A})=1-0,56=0,44\ne 0,56$; $P(\overline{B})=1-0,62=0,38\ne 0,62$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai lô đất độc lập nên A, B độc lập; từ đó các cặp $\overline{A},B$ và $A,\overline{B}$ cũng độc lập.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C=\overline{A}\cap B$ và $D=A\cap \overline{B}$ không thể đồng thời xảy ra nên chúng xung khắc; khẳng định 'không xung khắc' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(C)+P(D)=0,44\cdot 0,62+0,56\cdot 0,38=0,2728+0,2128=0,4856$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố "bi lấy ra không có màu vàng", $B$ là biến cố "bi lấy ra không có màu đỏ". Hộp có 4 bi xanh, 3 bi đỏ, 1 bi vàng (tổng 8 bi). Biến cố $B$: bi không đỏ tức là bi xanh hoặc vàng, gồm $4+1=5$ bi nên $P(B)=\frac{5}{8}$. Biến cố $AB$: bi không vàng và không đỏ tức là bi xanh, gồm 4 bi nên $P(AB)=\frac{4}{8}$. Xác suất cần tìm: $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{4/8}{5/8}=\frac{4}{5}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: Hùng lấy 1 trong 14 bi, Nam lấy 1 trong 13 bi còn lại nên $n(\Omega )=14\cdot 13=182$, không phải 196 → b) sai.

a) Do tính đối xứng, xác suất Nam lấy bi xanh bằng xác suất lấy bi xanh ở lần đầu: $P(B)=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\ne \frac{8}{13}$ → sai.

c) $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{6}{14}\cdot \frac{8}{13}=\frac{24}{91}$ → đúng.

d) $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{24/91}{4/7}=\frac{24}{91}\cdot \frac{7}{4}=\frac{6}{13}$ → đúng.

Kiểm tra d) bằng cách khác: biết Nam lấy bi xanh, bi xanh còn 7 trong 13 bi còn lại cho Hùng: $P(A\mid B)=\frac{6}{13}$, khớp.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính đối xứng, $P(B)=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\ne \frac{8}{13}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$n(\Omega )=14\cdot 13=182\ne 196$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\cap B)=\frac{6}{14}\cdot \frac{8}{13}=\frac{24}{91}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{24/91}{4/7}=\frac{6}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 36 kết quả đồng khả năng. $A$: cả hai con đều chẵn: $P(A)=\frac{3\cdot 3}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$. $B$: hai con khác tính chẵn lẻ: $P(B)=\frac{2\cdot 3\cdot 3}{36}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$. a) $A\cap B=\varnothing$ vì hai con cùng chẵn và khác tính chẵn lẻ không thể đồng thời xảy ra, nên $A$ và $B$ xung khắc → khẳng định 'không xung khắc' là Sai. b) $P(A\cap B)=0\ne \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}=P(A)P(B)$, nên $A$ và $B$ không độc lập → Sai. c) Tích hai số chẵn khi và chỉ khi ít nhất một số chẵn, tức là 'cả hai chẵn' hoặc 'khác tính chẵn lẻ', vậy $C=A\cup B$ → Đúng. d) $P(C)=1-P(\text{cả hai lẻ})=1-\frac{9}{36}=\frac{3}{4}\ne \frac{1}{2}$ → Sai. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 102: S, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A\cap B=\varnothing$ (cả hai chẵn và khác tính chẵn lẻ không thể cùng xảy ra), nên $A$ và $B$ xung khắc; khẳng định 'không xung khắc' sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=\frac{1}{4}$, $P(B)=\frac{1}{2}$, $P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)=\frac{1}{8}$, nên $A$ và $B$ không độc lập.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai số chẵn ⟺ ít nhất một số chẵn ⟺ cả hai chẵn ($A$) hoặc khác tính chẵn lẻ ($B$), vậy $C=A\cup B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(C)=1-P(\text{cả hai lẻ})=1-\frac{9}{36}=\frac{3}{4}\ne \frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 36 kết quả. A: cả hai số chẵn: 3·3=9 kết quả, P(A)=9/36=1/4. B: hai số khác tính chẵn lẻ: 2·3·3=18 kết quả, P(B)=1/2. A∩B=∅ nên A, B xung khắc (a đúng). Vì A∩B=∅ nhưng P(A)·P(B)=1/4·1/2=1/8≠0=P(A∩B), nên A và B không độc lập (b đúng). Tích hai số chẵn ⟺ ít nhất một số chẵn ⟺ không phải cả hai đều lẻ; A∪B gồm các trường hợp cả hai chẵn hoặc khác tính chẵn lẻ, tức mọi trường hợp trừ cả hai lẻ — đúng là C, nên C=A∪B (c đúng). P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/2=3/4≠1/2 (d sai). Kết quả khớp bảng HD chấm đề 101: Đ, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
A∩B=∅ vì hai xúc xắc không thể vừa cùng chẵn vừa khác tính chẵn lẻ, nên A và B xung khắc.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(A∩B)=0 nhưng P(A)·P(B)=1/4·1/2=1/8≠0, nên A và B không độc lập.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích chẵn ⟺ ít nhất một số chẵn ⟺ cả hai chẵn (A) hoặc khác tính chẵn lẻ (B), tức C=A∪B.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/2=3/4≠1/2.

Ta có $P(\overline{A})=1-0,6=0,4$ và $P(B)=1-0,3=0,7$ (ý d đúng).
a) Sai vì $P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)=0,6-0,4=0,2\ne 0,4$.
b) Đúng vì $P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=0,3⟹P(B|\overline{A})=\frac{0,3}{0,4}=\frac{3}{4}$.
c) Đúng vì $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0,4}{0,7}=\frac{4}{7}$.

Ta có $P(\overline{V})=3P(V)⟹P(V)=0,25,P(\overline{V})=0,75$. Theo giả thiết, $P(R\mid V)=0,42⟹P(V\cap R)=0,25\cdot 0,42=0,105$. Vì $P(\overline{V}\cap \overline{R})=0,63⟹P(V\cup R)=1-0,63=0,37⟹P(R)=0,37-0,25+0,105=0,225$.
- Ý a) Đúng: $P(R\mid V)=0,42$.
- Ý b) Đúng: $P(\overline{R})=1-0,225=0,775$.
- Ý c) Sai: $P(R\mid \overline{V})=\frac{P(\overline{V}\cap R)}{P(\overline{V})}=\frac{0,225-0,105}{0,75}=0,16\ne 0,18$.
- Ý d) Đúng: Xác suất túi chỉ được dán đúng $1$ nhãn là $P(V\cup R)-P(V\cap R)=0,37-0,105=0,265$.

a) Đúng vì biến cố chỉ có mặt hàng $A$ có lãi là $A\overline{B}$, nên $P(A\overline{B})=0,2$.
b) Sai vì $P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=0,6-0,2=0,4\ne 0,5$.
c) Đúng vì $P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=0,7-0,4=0,3$, nên xác suất có đúng một mặt hàng có lãi là $0,2+0,3=0,5$.
d) Sai vì $P(B|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}=\frac{0,3}{1-0,6}=0,75\ne 0,25$.

Ta có $P(AB)=\frac{2}{5}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=\frac{19}{60}\Rightarrow P(A\mid B)=\frac{19/60}{2/3}=\frac{19}{40}\Rightarrow a=19,b=40\Rightarrow a+2b=99$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

a) Đúng vì $P(A)=50\%=0,5$, $P(B)=0,6$ và $P(AB)=40\%=0,4$. b) Đúng vì $P(B\mid A)=\frac{0,4}{0,5}=0,8$ và $P(A\mid B)=\frac{0,4}{0,6}=\frac{2}{3}$. c) Sai vì $P(B\mid \overline{A})=\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}=\frac{0,6-0,4}{1-0,5}=0,4=40\%$. d) Đúng vì xác suất thắng thầu đúng một dự án là $(0,5-0,4)+(0,6-0,4)=0,3=30\%$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

Theo đề bài, ta có $P(A)=0,68$, $P(B)=0,37$ và $P(B\mid A)=0,29$.
- Ý a) Đúng: $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,68=0,32$.
- Ý b) Đúng: Trong nhóm người dùng tham gia từ hai khóa trở lên ($A$), tỷ lệ người tham gia khóa tiếng Anh ($B$) là $29\%$, nên $P(B\mid A)=0,29$.
- Ý c) Sai: Ta có $P(AB)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0,68\cdot 0,29=0,1972<0,2$.
- Ý d) Sai: Vì tất cả người dùng đều tham gia ít nhất một khóa học nên $\overline{A}$ là biến cố "Người dùng chỉ tham gia đúng một khóa học". Ta có $P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=0,37-0,1972=0,1728$.
Suy ra xác suất một người chỉ tham gia đúng một khóa học và không tham gia khóa tiếng Anh là $P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})-P(\overline{A}B)=0,32-0,1728=0,1472<0,15$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 629, trang 7), Câu 4 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )={\text{C}}_{12}^2=66$.
a) Đúng vì $P(A)=\frac{{\text{C}}_6^2}{66}=\frac{15}{66}=\frac{5}{22}$.
b) Sai vì $n(B)={\text{C}}_4^2+4\cdot 4=22⟹P(B)=\frac{22}{66}=\frac{1}{3}$.
c) Đúng vì $n(C)=11+10+9=30$ và $n(A\cap C)=5⟹P(A\mid C)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$.
d) Sai vì trong $30$ cặp của $C$, chỉ có $10$ cặp có hiệu bằng $1$ hoặc $2$ và tổng chia hết cho $3$, nên $P(B\mid C)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega )=26$.
- Số chia hết cho 2: $2,4,\dots ,26$ (có 13 số) $\Rightarrow n(A)=13$.
- Số chia hết cho 3: $3,6,9,12,15,18,21,24$ (có 8 số) $\Rightarrow n(B)=8$.
- Số chia hết cho cả 2 và 3 (chia hết cho 6): $6,12,18,24$ (có 4 số) $\Rightarrow n(A\cap B)=4\ne 0$.
a) Sai: $A\cap B\ne \varnothing$ nên $A$ và $B$ không xung khắc.
b) Sai: Biến cố $C$ “chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3” là biến cố hợp $A\cup B$, không phải biến cố giao.
c) Đúng: $n(C)=n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=13+8-4=17\Rightarrow P(C)=\frac{17}{26}$.
d) Sai: Số chia hết cho 6: 4 số; số chia hết cho 7: $7,14,21$ (3 số); chia hết cho 42: 0 số. $n(D)=4+3=7\Rightarrow P(D)=\frac{7}{26}\ne \frac{3}{20}$.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 601: SSDS).

a) Đúng: $P(A)=0,5$, $P(AB)=0,4$.
b) Đúng: $P(B|A)=\frac{0,4}{0,5}=0,8$, $P(A|B)=\frac{0,4}{0,6}=\frac{2}{3}$.
c) Sai: $P(B|\overline{A})=\frac{0,6-0,4}{1-0,5}=0,4=40\%\ne 35\%$.
d) Đúng: $P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=0,1+0,2=0,3=30\%$.

a) Sai: Đẳng thức $P(AB)=P(A)P(B)=0,8\times 0,6=0,48$ chỉ xảy ra khi $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Đề bài không cho $A,B$ độc lập.
b) Đúng: Vì $A\subset (A\cup B)$ nên $P(A\cup B)\ge P(A)=0,8$.
c) Đúng: Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,8+0,6=1,4>1$, vô lý. Do đó $A$ và $B$ không thể xung khắc.
d) Đúng: Ta có $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\le 0,5\iff P(AB)\le 0,3$. Mặt khác $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\le 1\iff 0,8+0,6-P(AB)\le 1\iff P(AB)\ge 0,4$. Khi kết hợp các điều kiện trên xác suất suy biến thỏa mãn theo bài.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 6, mã đề 0017: a-S, b-Đ, c-Đ, d-Đ).

Theo giả thiết: $P(A)=0,4;P(B)=0,5;P(AB)=0,3$.
a) Sai vì $P(A)\cdot P(B)=0,4\cdot 0,5=0,2\ne P(AB)=0,3$.
b) Sai vì xác suất thắng đúng 1 dự án là $P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)=(P(A)-P(AB))+(P(B)-P(AB))=(0,4-0,3)+(0,5-0,3)=0,1+0,2=0,3\ne 0,7$.
c) Đúng vì $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0,3}{0,4}=0,75$.
d) Sai vì $P(B|\bar{A})=\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}=\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}=\frac{0,5-0,3}{1-0,4}=\frac{0,2}{0,6}=\frac{1}{3}\approx 0,33\ne 0,25$.