Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất toàn phần (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p_A$ là xác suất An thắng ván khi An đi trước: $p_A=0,9$; khi Bình đi trước, xác suất An thắng là $1-0,7=0,3$.

Ván 1: An đi trước.
- An thắng ván 1 (xs $0,9$): Bình đi trước ván 2. An thắng ván 2 (xs $0,3$) → An thắng cuộc: đóng góp $0,9\cdot 0,3=0,27$. Nếu Bình thắng ván 2 (xs $0,7$) thì tỉ số 1–1, An (người thua) đi trước ván 3, An thắng với xs $0,9$: đóng góp $0,9\cdot 0,7\cdot 0,9=0,567$.
- Bình thắng ván 1 (xs $0,1$): An đi trước ván 2. An thắng (xs $0,9$) → tỉ số 1–1, Bình đi trước ván 3, An thắng với xs $0,3$: đóng góp $0,1\cdot 0,9\cdot 0,3=0,027$.

Vậy $P=0,27+0,567+0,027=0,864\approx 0,86$, tức $86\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ liệu: P(B)=105/200=21/40, P(B̄)=95/200=19/40 nên a đúng. Kinh nghiệm cho P(A|B)=0,7 và P(A|B̄)=0,3, nên b sai (P(A|B)=0,7 chứ không phải 0,3). Theo công thức xác suất toàn phần: P(A)=P(B)P(A|B)+P(B̄)P(A|B̄)=(21/40)(0,7)+(19/40)(0,3)=(14,7+5,7)/40=20,4/40=0,51 nên c đúng. Tỉ lệ người thực sự mua mà đã trả lời 'sẽ mua' là P(B|A)=P(B∩A)/P(A)=(0,7·21/40)/0,51=0,3675/0,51≈0,7206≈72,06%≠70% nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(B)=105/200=21/40 và P(B̄)=95/200=19/40.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đề cho tỉ lệ khách thực sự mua trong nhóm trả lời 'sẽ mua' là 70%, tức P(A|B)=0,7, không phải 0,3.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(A)=P(B)P(A|B)+P(B̄)P(A|B̄)=(21/40)(0,7)+(19/40)(0,3)=0,51.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B|A)=P(B∩A)/P(A)=(0,7·21/40)/0,51≈0,7206≈72,06%, không phải 70%.

(AI giải đề cho tôi)
Số dư bình phương mod 5 chỉ là $0,1,4$. Vì $2025=5\cdot 405$ nên mỗi lớp thặng dư mod 5 có 405 số: có 405 số có bình phương $\equiv 0(\mathrm{mod}5)$, 810 số có bình phương $\equiv 1$, 810 số có bình phương $\equiv 4(\mathrm{mod}5)$. Dùng tổng đặc trưng: số bộ có thứ tự $(a,b,c,d)$ với tổng bình phương chia hết cho 5 là $N=\frac{1}{5}\left[2025^4+{\sum }_{k=1}^4{\left(405(1+2{\omega }^k+2{\omega }^{4k})\right)}^4\right]$. Với $\omega$ là căn nguyên thủy bậc 5 của 1, ta có $1+2{\omega }^k+2{\omega }^{4k}=1+4\cos (2\pi k/5)$ có giá trị tuyệt đối $\sqrt{5}$ với mọi $k=1,2,3,4$, nên mỗi số hạng bằng $(405\sqrt{5}{)}^4=405^4\cdot 25$. Vậy $N=\frac{1}{5}\left[2025^4+4\cdot 25\cdot 405^4\right]=\frac{1}{5}\left[625\cdot 405^4+100\cdot 405^4\right]=101\cdot 405^4/5\cdot \dots$ chính xác $N=101\cdot 405^4/5\cdot (1/5)\dots$ tính lại: $N=(405^4/5)(625+100)=145\cdot 405^4$. Xác suất $P=N/2025^4=145\cdot 405^4/(625\cdot 405^4)=145/625=29/125=0.232$? Kiểm tra lại: $625+100=725$, $N=725\cdot 405^4/5=145\cdot 405^4$, $P=145/625=0.232$. Vậy $P=0.232$, làm tròn đến hàng phần trăm là $0.23$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid \overline{B})P(\overline{B})$. Gọi $p=P(B)$, ta có $0,4=0,5p+0,1(1-p)=0,1+0,4p$, suy ra $0,4p=0,3$, tức $p=0,75$. Vậy $P(B)=0,75$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố chuyển 2 bi đỏ từ hộp 1 (P(A)=C(5,2)/C(6,2)=10/15=2/3), B là biến cố chuyển 1 đỏ 1 xanh (P(B)=5·1/15=1/3), không thể chuyển 2 xanh. Sau khi chuyển, hộp 2 có 10 viên bi.
- Trường hợp A: hộp 2 có 3 xanh, 7 đỏ. P(2 đỏ|A)=C(7,2)/C(10,2)=21/45=7/15; P(1 đỏ 1 xanh|A)=3·7/45=7/15.
- Trường hợp B: hộp 2 có 4 xanh, 6 đỏ. P(2 đỏ|B)=C(6,2)/45=15/45=1/3; P(1 đỏ 1 xanh|B)=4·6/45=24/45=8/15.
a) P(2 đỏ)= (2/3)(7/15)+(1/3)(1/3)=14/45+5/45=19/45 → đúng.
b) P(1 đỏ 1 xanh)= (2/3)(7/15)+(1/3)(8/15)=14/45+8/45=22/45 ≠ 1/9 → sai.
c) P(A|2 đỏ)= (14/45)/(19/45)=14/19 → đúng.
d) P(B|1 đỏ 1 xanh)= (8/45)/(22/45)=8/22=4/11 ≠ 5/19 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(2 đỏ)= (2/3)(7/15)+(1/3)(1/3)=19/45.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(1 đỏ 1 xanh)= (2/3)(7/15)+(1/3)(8/15)=22/45 ≠ 1/9.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(A|2 đỏ)= (14/45)/(19/45)=14/19.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B|1 đỏ 1 xanh)= (8/45)/(22/45)=4/11 ≠ 5/19.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $Đ$ là biến cố lấy bi đỏ từ hộp thứ hai. a) Xác suất lấy bi đỏ từ hộp nhất: $5/10=1/2$ → ĐÚNG. b) Nếu chuyển bi đỏ, hộp hai có 7 đỏ trong 11 viên → $P(Đ)=7/11\ne 6/11$ → SAI. c) Nếu chuyển bi xanh, hộp hai có 6 đỏ trong 11 viên → $P(Đ)=6/11\ne 7/11$ → SAI. d) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(Đ)=(1/2)(7/11)+(1/2)(6/11)=13/22$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hộp thứ nhất có 5 bi đỏ trong 10 viên, xác suất lấy bi đỏ là $5/10=1/2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu chuyển bi đỏ sang, hộp thứ hai có 7 bi đỏ trong 11 viên nên xác suất lấy bi đỏ là $7/11$, không phải $6/11$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nếu chuyển bi xanh sang, hộp thứ hai có 6 bi đỏ trong 11 viên nên xác suất lấy bi đỏ là $6/11$, không phải $7/11$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(Đ)=(1/2)(7/11)+(1/2)(6/11)=13/22$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ và $\overline{B}$ là hai biến cố đối nhau, theo công thức xác suất đầy đủ: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})$. Do đó phát biểu đúng là phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố phát chương trình A: $P(A)=0.55$; B: $P(B)=0.45$.
- Nếu phát A: tín hiệu giữ bình thường với xác suất $1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.
- Nếu phát B: tín hiệu giữ bình thường với xác suất $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=\frac{11}{20}$.
Xác suất ông F xem được chương trình đúng với tín hiệu phát đi (theo công thức xác suất toàn phần):
$$P=0.55\cdot \frac{7}{9}+0.45\cdot \frac{11}{20}=\frac{77}{180}+\frac{99}{400}=\frac{6077}{9000}\approx \mathrm{0.6753.}$$
Làm tròn đến hàng phần trăm: $P\approx 0.68$.

a) Xác suất lấy linh kiện của nhà máy I: $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$.

b) Gọi $A$ là biến cố "lấy được sản phẩm tốt", ta có: $P(A|I)=1-0,03=0,97$.

c) Xác suất lấy được linh kiện phế phẩm: $P(\overline{A})=P(I)P(\overline{A}|I)+P(II)P(\overline{A}|II)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0255$.

d) Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy I: $P(I)P(A|I)=0,55\cdot 0,97=0,5335$. Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy II: $P(II)P(A|II)=0,45\cdot 0,98=0,441$. Rõ ràng từ nhà máy I cao hơn.
a) Xác suất lấy linh kiện của nhà máy I: $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$.
b) Gọi $A$ là biến cố "lấy được sản phẩm tốt", ta có: $P(A|I)=1-0,03=0,97$.
c) Xác suất lấy được linh kiện phế phẩm:
$$P(\overline{A})=P(I)P(\overline{A}|I)+P(II)P(\overline{A}|II)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0255$$
d) Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy I: $P(I)P(A|I)=0,55\cdot 0,97=0,5335$. Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy II: $P(II)P(A|II)=0,45\cdot 0,98=0,441$. Rõ ràng từ nhà máy I cao hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_A,H_B,H_C$ là biến cố lấy được hộp $A,B,C$; $D$ là biến cố lấy được bi đỏ. Vì chọn ngẫu nhiên một hộp nên $P(H_A)=P(H_B)=P(H_C)=\frac{1}{3}$.

Xác suất lấy được bi đỏ từ từng hộp:
- Hộp $A$ (3 đỏ, 5 trắng, tổng 8 bi): $P(D|H_A)=\frac{3}{8}$.
- Hộp $B$ (2 đỏ, 2 vàng, tổng 4 bi): $P(D|H_B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
- Hộp $C$ (2 đỏ, 3 xanh, tổng 5 bi): $P(D|H_C)=\frac{2}{5}$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(D)=P(H_A)P(D|H_A)+P(H_B)P(D|H_B)+P(H_C)P(D|H_C)$$
$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{8}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\right)$$
$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{15+20+16}{40}=\frac{1}{3}\cdot \frac{51}{40}=\frac{17}{40}=0,425.$$

Vậy xác suất để lấy được một bi đỏ là $\frac{17}{40}=0,425$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là 100. $P(B)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$, $P(A|B)=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$, $P(\overline{B})=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$, $P(A|\overline{B})=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$. Do đó $P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$ (đây chính là $P(A)$ theo công thức xác suất toàn phần).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng: có 50 nữ (12 có tật, 38 không) và 50 nam (18 có tật, 32 không), tổng 100 học sinh. Do đó $P(B)=\frac{50}{100}=0,5$, $P(A|B)=\frac{12}{50}=0,24$; $P(\overline{B})=\frac{50}{100}=0,5$, $P(A|\overline{B})=\frac{18}{50}=0,36$. Vậy $P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0,5\cdot 0,24+0,5\cdot 0,36=0,12+0,18=0,3$. (Đây chính là $P(A)=\frac{30}{100}=0,3$ theo công thức xác suất toàn phần.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo sơ đồ hình cây: $P(A)=0,4$, $P(\bar{A})=0,6$; $P(B|A)=0,3$, $P(B|\bar{A})=0,4$. Áp dụng công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})=0,4\cdot 0,3+0,6\cdot 0,4=0,12+0,24=0,36$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, $P(A|B)=\frac{4}{9}$ (còn 9 hoa, 4 có thưởng), $P(\overline{B})=\frac{1}{2}$, $P(A|\overline{B})=\frac{5}{9}$. Suy ra $P(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9}+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{9}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})$. Với $P(A)=0,592$, $P(B)=P(\overline{B})=0,5$, $P(A|B)=0,65$, ta có $0,592=0,5\cdot 0,65+0,5\cdot P(A|\overline{B})$, suy ra $P(A|\overline{B})=\frac{0,592-0,325}{0,5}=0,534=53,4\%$. Vậy tỉ lệ nữ giới Canada thừa cân là $53,4\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=\frac{4}{10}=0,4$, $P(\overline{A})=0,6$; $P(B|A)=0,75$, $P(B|\overline{A})=0,6$. Sơ đồ hình cây cho hai nhánh: nhánh $A$ với xác suất $0,4\times 0,75=0,3$; nhánh $\overline{A}$ với xác suất $0,6\times 0,6=0,36$. Vậy $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,3+0,36=0,66$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0,7\cdot 0,6+0,3\cdot 0,4=0,42+0,12=0,54$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố 'người có bệnh nền', P(B)=0,2; A là 'có phản ứng phụ sau tiêm', P(A|B)=0,7, P(A|B̄)=0,15. Theo công thức xác suất toàn phần: P(A)=0,2·0,7+0,8·0,15=0,14+0,12=0,26=26%. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố chọn xạ thủ loại I, $P(A)=\frac{2}{10}=0,2$, $P(\overline{A})=0,8$. Xác suất trúng đích: $P(B)=P(A)\cdot 0,9+P(\overline{A})\cdot 0,7=0,2\cdot 0,9+0,8\cdot 0,7=0,18+0,56=0,74$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})$. Ta có $P(A)=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$, $P(B|A)=\frac{15}{23}$ (còn 15 chai loại I trên 23 chai), $P(\overline{A})=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$, $P(B|\overline{A})=\frac{16}{23}$. Vậy $P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{15}{23}+\frac{1}{3}\cdot \frac{16}{23}=\frac{30+16}{69}=\frac{46}{69}=\frac{2}{3}$. Đáp án B.