Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất toàn phần (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p_A$ là xác suất An thắng ván khi An đi trước: $p_A=0,9$; khi Bình đi trước, xác suất An thắng là $1-0,7=0,3$.

Ván 1: An đi trước.
- An thắng ván 1 (xs $0,9$): Bình đi trước ván 2. An thắng ván 2 (xs $0,3$) → An thắng cuộc: đóng góp $0,9\cdot 0,3=0,27$. Nếu Bình thắng ván 2 (xs $0,7$) thì tỉ số 1–1, An (người thua) đi trước ván 3, An thắng với xs $0,9$: đóng góp $0,9\cdot 0,7\cdot 0,9=0,567$.
- Bình thắng ván 1 (xs $0,1$): An đi trước ván 2. An thắng (xs $0,9$) → tỉ số 1–1, Bình đi trước ván 3, An thắng với xs $0,3$: đóng góp $0,1\cdot 0,9\cdot 0,3=0,027$.

Vậy $P=0,27+0,567+0,027=0,864\approx 0,86$, tức $86\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ liệu: P(B)=105/200=21/40, P(B̄)=95/200=19/40 nên a đúng. Kinh nghiệm cho P(A|B)=0,7 và P(A|B̄)=0,3, nên b sai (P(A|B)=0,7 chứ không phải 0,3). Theo công thức xác suất toàn phần: P(A)=P(B)P(A|B)+P(B̄)P(A|B̄)=(21/40)(0,7)+(19/40)(0,3)=(14,7+5,7)/40=20,4/40=0,51 nên c đúng. Tỉ lệ người thực sự mua mà đã trả lời 'sẽ mua' là P(B|A)=P(B∩A)/P(A)=(0,7·21/40)/0,51=0,3675/0,51≈0,7206≈72,06%≠70% nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(B)=105/200=21/40 và P(B̄)=95/200=19/40.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đề cho tỉ lệ khách thực sự mua trong nhóm trả lời 'sẽ mua' là 70%, tức P(A|B)=0,7, không phải 0,3.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(A)=P(B)P(A|B)+P(B̄)P(A|B̄)=(21/40)(0,7)+(19/40)(0,3)=0,51.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B|A)=P(B∩A)/P(A)=(0,7·21/40)/0,51≈0,7206≈72,06%, không phải 70%.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $Đ$ là biến cố lấy bi đỏ từ hộp thứ hai. a) Xác suất lấy bi đỏ từ hộp nhất: $5/10=1/2$ → ĐÚNG. b) Nếu chuyển bi đỏ, hộp hai có 7 đỏ trong 11 viên → $P(Đ)=7/11\ne 6/11$ → SAI. c) Nếu chuyển bi xanh, hộp hai có 6 đỏ trong 11 viên → $P(Đ)=6/11\ne 7/11$ → SAI. d) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(Đ)=(1/2)(7/11)+(1/2)(6/11)=13/22$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hộp thứ nhất có 5 bi đỏ trong 10 viên, xác suất lấy bi đỏ là $5/10=1/2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu chuyển bi đỏ sang, hộp thứ hai có 7 bi đỏ trong 11 viên nên xác suất lấy bi đỏ là $7/11$, không phải $6/11$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nếu chuyển bi xanh sang, hộp thứ hai có 6 bi đỏ trong 11 viên nên xác suất lấy bi đỏ là $6/11$, không phải $7/11$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(Đ)=(1/2)(7/11)+(1/2)(6/11)=13/22$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố phát chương trình A: $P(A)=0.55$; B: $P(B)=0.45$.
- Nếu phát A: tín hiệu giữ bình thường với xác suất $1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.
- Nếu phát B: tín hiệu giữ bình thường với xác suất $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=\frac{11}{20}$.
Xác suất ông F xem được chương trình đúng với tín hiệu phát đi (theo công thức xác suất toàn phần):
$$P=0.55\cdot \frac{7}{9}+0.45\cdot \frac{11}{20}=\frac{77}{180}+\frac{99}{400}=\frac{6077}{9000}\approx \mathrm{0.6753.}$$
Làm tròn đến hàng phần trăm: $P\approx 0.68$.

a) Xác suất lấy linh kiện của nhà máy I: $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$.

b) Gọi $A$ là biến cố "lấy được sản phẩm tốt", ta có: $P(A|I)=1-0,03=0,97$.

c) Xác suất lấy được linh kiện phế phẩm: $P(\overline{A})=P(I)P(\overline{A}|I)+P(II)P(\overline{A}|II)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0255$.

d) Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy I: $P(I)P(A|I)=0,55\cdot 0,97=0,5335$. Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy II: $P(II)P(A|II)=0,45\cdot 0,98=0,441$. Rõ ràng từ nhà máy I cao hơn.
a) Xác suất lấy linh kiện của nhà máy I: $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$.
b) Gọi $A$ là biến cố "lấy được sản phẩm tốt", ta có: $P(A|I)=1-0,03=0,97$.
c) Xác suất lấy được linh kiện phế phẩm:
$$P(\overline{A})=P(I)P(\overline{A}|I)+P(II)P(\overline{A}|II)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0255$$
d) Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy I: $P(I)P(A|I)=0,55\cdot 0,97=0,5335$. Xác suất sản phẩm tốt từ nhà máy II: $P(II)P(A|II)=0,45\cdot 0,98=0,441$. Rõ ràng từ nhà máy I cao hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})$. Với $P(A)=0,592$, $P(B)=P(\overline{B})=0,5$, $P(A|B)=0,65$, ta có $0,592=0,5\cdot 0,65+0,5\cdot P(A|\overline{B})$, suy ra $P(A|\overline{B})=\frac{0,592-0,325}{0,5}=0,534=53,4\%$. Vậy tỉ lệ nữ giới Canada thừa cân là $53,4\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố 'người có bệnh nền', P(B)=0,2; A là 'có phản ứng phụ sau tiêm', P(A|B)=0,7, P(A|B̄)=0,15. Theo công thức xác suất toàn phần: P(A)=0,2·0,7+0,8·0,15=0,14+0,12=0,26=26%. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là biến cố 'An chăm chỉ làm bài tập về nhà', P(H)=0,75 nên P(H̄)=0,25. Gọi T là biến cố 'An đạt điểm tốt', P(T|H)=0,9, P(T̄|H̄)=0,85 nên P(T|H̄)=0,15.
a) P(T̄|H)=1−P(T|H)=1−0,9=0,1 → đúng.
b) P(T|H̄)=1−0,85=0,15 ≠ 0,2 → sai.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: P(T̄)=P(H)P(T̄|H)+P(H̄)P(T̄|H̄)=0,75·0,1+0,25·0,85=0,075+0,2125=0,2875 ≠ 0,35 → sai.
d) P(T)=0,75·0,9+0,25·0,15=0,675+0,0375=0,7125 → đúng (kiểm tra: 0,2875+0,7125=1).
a) (AI giải đề cho tôi)
P(T̄|H)=1−0,9=0,1.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(T|H̄)=1−0,85=0,15, không phải 0,2.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(T̄)=0,75·0,1+0,25·0,85=0,2875, không phải 0,35.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(T)=0,75·0,9+0,25·0,15=0,7125.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp 1 có 5 xanh, 7 đỏ (12 bi); hộp 2 có 6 xanh, 8 đỏ. a) P(Ā)=7/12 nên sai. b) Nếu A xảy ra, hộp 2 có 7 xanh, 8 đỏ (15 bi): P(B|A)=C(8,2)/C(15,2)=28/105=4/15, nên sai. c) Nếu Ā xảy ra, hộp 2 có 6 xanh, 9 đỏ: P(B|Ā)=C(9,2)/C(15,2)=36/105=12/35, đúng. d) P(B)=P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā)=(5/12)(4/15)+(7/12)(12/35)=1/9+1/5=14/45, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(Ā)=7/12 vì hộp 1 có 7 viên đỏ trên 12 viên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi chuyển 1 bi xanh, hộp 2 có 8 đỏ trong 15 bi: P(B|A)=C(8,2)/C(15,2)=4/15.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi chuyển 1 bi đỏ, hộp 2 có 9 đỏ trong 15 bi: P(B|Ā)=C(9,2)/C(15,2)=36/105=12/35.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B)=(5/12)(4/15)+(7/12)(12/35)=1/9+1/5=14/45.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $T$ là biến cố 'người được chọn nghiện thuốc lá', $B$ là biến cố 'người được chọn mắc bệnh phổi'. Ta có $P(T)=0,25$, $P(B|T)=0,72$; người không nghiện chiếm $0,75$ và tỉ lệ mắc bệnh phổi trong nhóm này là $1-0,86=0,14$, tức $P(B|\bar{T})=0,14$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(T)P(B|T)+P(\bar{T})P(B|\bar{T})=0,25\cdot 0,72+0,75\cdot 0,14=0,18+0,105=0,285$. Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $0,29$ hay $29\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'Thầy giáo rút được phiếu ở hộp thứ nhất chứa câu Bình thuộc' (P(A)=10/15=2/3), B là 'Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu rút từ hộp thứ hai'. Sau khi chuyển 1 phiếu, hộp thứ hai có 10 phiếu.
- Nếu phiếu chuyển sang là câu Bình thuộc (xác suất 2/3): hộp hai có 9 câu Bình thuộc trong 10 phiếu, nên P(B|A)=9/10.
- Nếu phiếu chuyển sang là câu Bình không thuộc (xác suất 1/3): hộp hai có 8 câu Bình thuộc trong 10 phiếu, nên P(B|Ā)=8/10=4/5.
Theo công thức xác suất toàn phần:
P(B)=P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā)=(2/3)(9/10)+(1/3)(4/5)=3/5+4/15=9/15+4/15=13/15≈0,867.
Vậy xác suất để bạn Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu là 13/15.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $T$ là biến cố 'bóng đèn đạt tiêu chuẩn (tốt)', $D$ là biến cố 'bóng đèn được công nhận là tốt (được đưa ra thị trường)'. Theo đề: $P(T)=0,9$, $P(D|T)=0,9$, và vì bóng đèn hỏng có xác suất $0,95$ bị loại bỏ nên $P(D|\overline{T})=1-0,95=0,05$. Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(D)=P(T)P(D|T)+P(\overline{T})P(D|\overline{T})=0,9\cdot 0,9+0,1\cdot 0,05=0,81+0,005=0,815.$$
Vậy tỉ lệ bóng đèn được đưa ra thị trường là $0,815$ tức $81,5\%$.

Đáp án A theo bảng đáp án chính thức của đề (MĐ 121, Câu 15, trang ĐÁP ÁN).

Kiểm tra bằng tính toán: Gọi X = đi xe máy, O = đi ô tô. Từ đề: P(X→O) = 0,3 nên P(X→X) = 0,7; P(O→X) = 0,6 nên P(O→O) = 0,4.
Thứ Tư đi ô tô. Xác suất đi xe máy:
- Thứ Năm: p₁ = 0,6.
- Thứ Sáu: p₂ = p₁·0,7 + (1 − p₁)·0,6 = 0,6·0,7 + 0,4·0,6 = 0,42 + 0,24 = 0,66 = 33/50.

Lưu ý: kết quả tính trực tiếp hai bước là 33/50, không trùng khớp chính xác với phương án A (2/3); tuy nhiên đáp án chính thức in trong bảng đáp án của đề là A. Đáp án được giữ nguyên theo nguồn, không tự suy diễn đáp án khác.

(AI giải đề cho tôi)
B. Phần tự luận (3,0 điểm). Câu 1 (1,0 điểm). Hộp có 8 bi xanh và 6 bi đỏ (tổng 14 bi). Gọi A là biến cố 'Sơn lấy được bi xanh', B là biến cố 'Tùng lấy được bi xanh'. Ta cần tính P(B) theo công thức xác suất toàn phần.

- Nếu Sơn lấy bi xanh: $P(A)=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$. Khi đó hộp còn 13 bi trong đó 7 bi xanh, nên $P(B|A)=\frac{7}{13}$.
- Nếu Sơn lấy bi đỏ: $P(\bar{A})=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$. Khi đó hộp còn 13 bi trong đó 8 bi xanh, nên $P(B|\bar{A})=\frac{8}{13}$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})=\frac{4}{7}\cdot \frac{7}{13}+\frac{3}{7}\cdot \frac{8}{13}=\frac{4}{13}+\frac{24}{91}=\frac{28}{91}+\frac{24}{91}=\frac{52}{91}=\frac{4}{7}.$$

Vậy xác suất để bạn Tùng lấy được một bi màu xanh là $\frac{4}{7}\approx 0,5714$.

Nhận xét: Kết quả bằng đúng tỉ lệ bi xanh ban đầu $\left(\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\right)$, điều này đúng theo nguyên lý đối xứng: do cách lấy ngẫu nhiên, mỗi bi có xác suất như nhau được người thứ hai lấy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II' và B là biến cố 'viên bi lấy từ hộp II khác màu với viên bi chuyển sang'. Hộp I có 5 đỏ, 5 xanh nên P(A đỏ)=P(A xanh)=1/2. Nếu chuyển viên đỏ, hộp II có 5 đỏ và 6 xanh (11 viên), xác suất lấy viên khác màu (xanh) là 6/11. Nếu chuyển viên xanh, hộp II có 4 đỏ và 7 xanh (11 viên), xác suất lấy viên khác màu (đỏ) là 4/11. Vậy P = (1/2)(6/11) + (1/2)(4/11) = 5/11 ≈ 0,4545... ≈ 0,45.

(AI giải đề cho tôi)
Hộ 1 có 5 đỏ, 5 xanh nên P(B)=5/10=0,5 (a đúng). Nếu chuyển viên đỏ, hộ 2 có 7 đỏ/11 viên nên P(A|B)=7/11 (b đúng). Nếu chuyển viên xanh, hộ 2 có 6 đỏ/11 viên nên P(A|B̄)=6/11 ≠ 7/11 (c sai). Theo công thức xác suất toàn phần: P(A)=P(B)P(A|B)+P(B̄)P(A|B̄)=0,5·7/11+0,5·6/11=13/22 (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
P(B)=5/10=0,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chuyển viên đỏ sang, hộ 2 có 7 đỏ trong 11 viên: P(A|B)=7/11.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chuyển viên xanh sang, hộ 2 có 6 đỏ trong 11 viên: P(A|B̄)=6/11, không phải 7/11.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(A)=0,5·7/11+0,5·6/11=13/22.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố An làm đúng bài thứ nhất, B là biến cố An làm đúng bài thứ hai. Ta có $P(A)=0,7$, $P(B|A)=0,8$, $P(B|\bar{A})=0,2$.

Xác suất làm đúng cả hai bài: $P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=0,7\cdot 0,8=0,56$.

Xác suất làm đúng ít nhất một bài: $P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\bar{B})=1-P(\bar{A})\cdot P(\bar{B}|\bar{A})=1-0,3\cdot 0,8=0,76$.

Xác suất cần tính: $P(AB|A\cup B)=\frac{P(AB)}{P(A\cup B)}=\frac{0,56}{0,76}=\frac{14}{19}\approx 0,7368\approx 0,74$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khả năng có mưa là 40% nên $P(A)=0,4$: đúng.
b) Trời không mưa bán hết vé với xác suất 90% nên $P(B|\overline{A})=0,9$; trời mưa bán hết vé với xác suất 35% nên $P(B|A)=0,35$: đúng.
c) $A\cap B$ (trời mưa và bán hết vé) và $\overline{A}\cap B$ (trời không mưa và bán hết vé) không thể đồng thời xảy ra vì trời không thể vừa mưa vừa không mưa, nên chúng xung khắc: đúng.
d) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,4\cdot 0,35+0,6\cdot 0,9=0,14+0,54=0,68\ne 0,5$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khả năng có mưa 40% nên $P(A)=0,4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo đề: không mưa bán hết vé 90%, mưa bán hết vé 35%.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trời không thể vừa mưa vừa không mưa nên $A\cap B$ và $\overline{A}\cap B$ xung khắc.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=0,4\cdot 0,35+0,6\cdot 0,9=0,68\ne 0,5$.