Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất 1 lần là $\Omega =\{\text{saˆˊp},\text{ngửa}\}$, $n(\Omega )=2$. Số kết quả thuận lợi cho biến cố 'xuất hiện mặt sấp' là $1$. Vậy xác suất $P=\frac{1}{2}=0,5$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số học sinh giỏi cả Toán và Ngữ Văn. Số học sinh giỏi ít nhất một môn là $18+12-x=30-x$, tổng số học sinh của lớp là $n=(30-x)+10=40-x$. Chọn 2 học sinh giỏi từ $30-x$ học sinh giỏi: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30-x}{2}\right)$ cách. Xác suất có đúng 1 học sinh giỏi cả hai môn: chọn 1 trong $x$ học sinh giỏi cả hai và 1 trong $(30-x)-x=30-2x$ học sinh giỏi đúng một môn, nên $P=\frac{x(30-2x)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30-x}{2}\right)}=\frac{9}{23}$. Thử $x=6$: tử số $6\cdot 18=108$, mẫu $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{2}\right)=276$, và $\frac{108}{276}=\frac{9}{23}$ thỏa mãn. Vậy $x=6$, số học sinh của lớp $n=40-6=34$. (Khớp với đáp án nguồn: 34.)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;8)$, $F(15;8)$, $E(0;0)$, $B(15;0)$, và theo hình, điểm $I$ có tọa độ $(11;3)$ (cách $E$ sang phải 11 đơn vị, lên 3 đơn vị). Mỗi đường đi ngắn nhất gồm 15 bước ngang và 8 bước dọc, tổng số đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $B$ (và từ $E$ đến $F$) là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{8}\right)=490314$.

Người thứ nhất ($A\to B$) qua $I$: từ $A$ đến $I$ cần 11 bước ngang, 5 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{5}\right)=4368$ đường; từ $I$ đến $B$ cần 4 bước ngang, 3 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ đường. Xác suất $P_1=\frac{4368\cdot 35}{490314}=\frac{152880}{490314}\approx 0,3118$.

Người thứ hai ($E\to F$) qua $I$: từ $E$ đến $I$ cần 11 bước ngang, 3 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3}\right)=364$ đường; từ $I$ đến $F$ cần 4 bước ngang, 5 bước dọc: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)=126$ đường. Xác suất $P_2=\frac{364\cdot 126}{490314}=\frac{45864}{490314}\approx 0,0936$.

Hai người đi độc lập nên xác suất cả hai cùng qua $I$ là $P=P_1\cdot P_2=\frac{152880\cdot 45864}{490314^2}=\frac{7011688320}{240408718596}\approx 0,0292\approx 0,029$. Kết quả khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $C_{45}^3=14190$.
a) Số chẵn từ 2 đến 44 có 22 số, số cách lấy 3 quả đánh số chẵn là $C_{22}^3=1540$ → đúng.
b) Phân loại theo số mũ của 2: lẻ (v=0): 23 số; v=1 (≡2 mod 4): 11 số; v=2 (≡4 mod 8): 6 số; v≥3 (chia hết cho 8): 5 số. Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng số mũ ≤ 2: ba số lẻ $C_{23}^3=1771$; hai lẻ + một v=1: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; hai lẻ + một v=2: $253\cdot 6=1518$; một lẻ + hai v=1: $23\cdot C_{11}^2=1265$. Tổng $7337$. Vậy số trường hợp chia hết cho 8 là $14190-7337=6853$, xác suất $\frac{6853}{14190}=\frac{623}{1290}\ne \frac{523}{1290}$ → sai.
c) Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng lẻ khi có 1 hoặc 3 số lẻ: $23\cdot C_{22}^2+C_{23}^3=5313+1771=7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$ → sai.
d) Theo mod 4: r0 có 11 số, r1 có 12 số, r2 có 11 số, r3 có 11 số. Các bộ residue có tổng ≡ 0 mod 4: (0,0,0): $C_{11}^3=165$; (0,1,3): $11\cdot 12\cdot 11=1452$; (0,2,2): $11\cdot C_{11}^2=605$; (1,1,2): $C_{12}^2\cdot 11=726$; (2,3,3): $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $3553$, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$ → đúng.
a) Có 22 số chẵn (2,4,...,44), số cách chọn 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) Đếm theo valuation của 2, số bộ có tích chia hết cho 8 là 6853, xác suất $\frac{623}{1290}$, không phải $\frac{523}{1290}$.
c) Tổng lẻ: $23C_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) Đếm theo residue mod 4 được 3553 bộ, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm $C_n^4$ với $n=4,\dots ,2024$ (2021 số hạng). Theo định lý Lucas, $C_n^4$ lẻ khi và chỉ khi các bit của $4=100_2$ là tập con các bit của $n$, tức $n\equiv 4,5,6,7(\mathrm{mod}8)$; ngược lại $C_n^4$ chẵn khi $n\equiv 0,1,2,3(\mathrm{mod}8)$.

Xét tổng ba số hạng liên tiếp $C_n^4+C_{n+1}^4+C_{n+2}^4$: tổng lẻ khi trong ba chỉ số $n,n+1,n+2(\mathrm{mod}8)$ có số lượng phần tử thuộc $\{4,5,6,7\}$ là lẻ. Xét theo $n\mathrm{mod}8$:
- $n\equiv 0$: chỉ số $0,1,2$ → 0 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 1$: chỉ số $1,2,3$ → 0 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 2$: chỉ số $2,3,4$ → 1 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 3$: chỉ số $3,4,5$ → 2 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 4$: chỉ số $4,5,6$ → 3 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 5$: chỉ số $5,6,7$ → 3 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 6$: chỉ số $6,7,0$ → 2 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 7$: chỉ số $7,0,1$ → 1 số lẻ → tổng lẻ ✓

Vậy mỗi chu kỳ 8 có 4 vị trí cho tổng lẻ: $n\equiv 2,4,5,7(\mathrm{mod}8)$.

Ba số hạng liên tiếp được chọn với $n=4,\dots ,2022$: 2019 giá trị. Vì $2019=252\cdot 8+3$ và dãy chỉ số bắt đầu tại $n\equiv 4(\mathrm{mod}8)$, 252 chu kỳ đầy đủ cho $252\cdot 4=1008$ trường hợp lẻ; 3 giá trị còn lại là $n=2020,2021,2022\equiv 4,5,6(\mathrm{mod}8)$, trong đó $n\equiv 4,5$ cho tổng lẻ (thêm 2). Tổng cộng 1010 trường hợp lẻ.

Xác suất $=\frac{1010}{2019}$; $2019=3\cdot 673$, $1010=2\cdot 5\cdot 101$ nguyên tố cùng nhau nên tối giản. Vậy $a+b=1010+2019=3029$.

Gọi $B$ là biến cố "Chọn 4 em có ít nhất một nam và một nữ".

Số cách chọn 4 bạn bất kì vào ban cán sự lớp là $C_{40}^4$ cách.

Số cách chọn 4 bạn nam vào ban cán sự lớp là $C_{25}^4$ cách.

Số cách chọn 4 bạn nữ vào ban cán sự lớp là $C_{15}^4$ cách.

Vậy số cách chọn ban cán sự lớp có cả nam lẫn nữ là $C_{40}^4-C_{25}^4-C_{15}^4=77375$ (tài liệu gốc ghi $\Rightarrow \left|{\Omega }_B\right|=77375$, tức số kết quả thuận lợi cho biến cố $B$).

Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{\left|{\Omega }_B\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{77375}{91390}=\frac{15475}{18278}\approx 0,85$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: số có 6 chữ số đôi một khác nhau từ $\{0,\dots ,6\}$, chữ số đầu khác 0: $A_7^6-A_6^5=2520-720=4320$. Đếm số thuận lợi: cần chia 6 chữ số thành 3 cặp rời nhau có cùng tổng $s$. Xét các tổng: chỉ $s=5$: $(0,5),(1,4),(2,3)$; $s=6$: $(0,6),(1,5),(2,4)$; $s=7$: $(1,6),(2,5),(3,4)$ cho 3 cặp rời nhau. Với mỗi bộ 3 cặp: gán vào 3 vị trí ($3!$ cách) và thứ tự trong mỗi cặp ($2^3$ cách) $\to 48$ số. Loại trường hợp $a=0$: với $s=5$ và $s=6$, cặp chứa 0 đứng đầu với $a=0$ cho $2!\cdot 2^2=8$ số mỗi tổng. Vậy số thuận lợi $=(48-8)+(48-8)+48=128$. Xác suất $=\frac{128}{4320}=\frac{4}{135}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{45}{3}\right)=14190$.

**c)** Số quả đánh số chẵn là 22 quả (2,4,...,44). Số cách lấy cả 3 quả chẵn: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{3}\right)=\frac{22\cdot 21\cdot 20}{6}=1540$. → Đúng.

**b)** Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng lẻ xảy ra khi (lẻ, chẵn, chẵn) hoặc (lẻ, lẻ, lẻ): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{3}\right)=23\cdot 253+1771=5313+1771=7084$. Vậy $P=\frac{7084}{14190}\approx 0,4993\ne \frac{1}{2}$. → Sai.

**a)** Phân loại theo số mũ của 2: lẻ (v2=0): 23 số; v2=1 (dạng 4k+2): 11 số; v2=2 (dạng 8k+4): 6 số (4,12,20,28,36,44); v2≥3 (bội của 8): 5 số. Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng số mũ của 2 ≤ 2:
- 3 số lẻ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{3}\right)=1771$;
- một số v2=1, hai lẻ: $11\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2}\right)=2783$;
- một số v2=2, hai lẻ: $6\cdot 253=1518$;
- hai số v2=1, một lẻ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)\cdot 23=1265$;
- một v2=1, một v2=2, một lẻ: $11\cdot 6\cdot 23=1518$.
Tổng: $8855$. Vậy số trường hợp tích chia hết cho 8: $14190-8855=5335$, $P=\frac{5335}{14190}=\frac{97}{258}\approx 0,376\ne \frac{523}{1290}$. → Sai.

**d)** Phân loại theo mod 4: r0: 11 số; r1: 12 số; r2: 11 số; r3: 11 số. Các bộ residue có tổng chia hết cho 4: {0,0,0}: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)=165$; {0,1,3}: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; {0,2,2}: $11\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)=605$; {1,1,2}: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2}\right)\cdot 11=726$; {2,3,3}: $11\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)=605$. Tổng: $165+1452+605+726+605=3553$. Vậy $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo valuation 2: số bộ ba có tích chia hết cho 8 là 5335, nên $P=\frac{5335}{14190}=\frac{97}{258}\ne \frac{523}{1290}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ ba có tổng lẻ là 7084, nên $P=\frac{7084}{14190}\approx 0,4993\ne \frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn, số cách lấy 3 quả chẵn là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{3}\right)=1540$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo residue mod 4 (11,12,11,11 số), tổng số bộ ba có tổng chia hết cho 4 là 3553, $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.

(AI giải đề cho tôi)
Việt chọn 3 trong 9 tấm: $C_9^3=84$ số; Nam chọn 3 trong 8 tấm: $C_8^3=56$ số. Tổng cặp kết quả: $84\cdot 56=4704$, đồng khả năng. Mỗi tập 3 chữ số cho đúng một số giảm dần, nên hai số bằng nhau chỉ khi cùng tập chữ số (nằm trong $\{1,...,8\}$): 56 cặp hòa.

Đếm số cặp Nam thắng (số của Nam lớn hơn). Với bộ Nam $(y_1>y_2>y_3)$, số bộ Việt $(x_1>x_2>x_3)$ nhỏ hơn theo thứ tự từ điển là $C_{y_1-1}^3+C_{y_2-1}^2+(y_3-1)$ (xét lần lượt $x_1<y_1$; $x_1=y_1,x_2<y_2$; $x_1=y_1,x_2=y_2,x_3<y_3$).

- $\sum C_{y_1-1}^3$ với $y_1$ là max: ${\sum }_{m=3}^8{C}_{m-1}^2{C}_{m-1}^3=0+3+24+100+300+735=1162$.
- $\sum C_{y_2-1}^2$ với $y_2$ là phần tử giữa (có $(8-m)(m-1)$ bộ có phần tử giữa bằng $m$): $0+10+36+72+100+90=308$.
- $\sum (y_3-1)$ với $y_3$ là min (có $C_{8-m}^2$ bộ có min bằng $m$): $0+15+20+18+12+5=70$.

Số cặp Nam thắng: $1162+308+70=1540$. Số cặp Việt thắng: $4704-56-1540=3108$.

Xác suất Việt thắng: $P=\frac{3108}{4704}\approx 0,6607\approx 0,66$.

Xếp 20 con thỏ vào 10 chuồng sao cho mỗi chuồng có đúng hai con, số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=\frac{20!}{2^{10}}$.
Gọi $A$ là biến cố: "Có một chuồng chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu xám đồng thời không có chuồng nào chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu vàng".
Chọn chuồng cho cặp thỏ lông màu đen và lông màu xám là 20 cách.
Số cách xếp 18 con thỏ còn lại vào 9 chuồng là $\frac{18!}{2^9}$.
Số cách xếp 18 con thỏ vào 9 chuồng sao cho có một chuồng chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu vàng là $\frac{9.16!}{2^8}$.
Ta có số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=20.\left(\frac{18!}{2^9}-9.\frac{16!}{2^8}\right)$.
Vậy $P\left(A\right)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{32}{323}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia 9 người thành 3 nhóm 3 người gán cho 3 xe đánh số: 9!/(3!3!3!) = 362880/216 = 1680 → đúng.
b) Mỗi tình nguyện viên tự chọn 1 trong 3 xe nên số cách là 3^9 = 19683, không phải 9^3 → sai.
c) Không gian mẫu 3^9 = 19683. Số cách để mỗi xe có người (suy hàm từ 9 lên 3): 3^9 − 3·2^9 + 3 = 19683 − 1536 + 3 = 18150. Xác suất = 18150/19683 = 6050/6561 → đúng.
d) Mỗi xe phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất 1 nam. Vì có 3 nữ nên mỗi xe đúng 1 nữ: 3! = 6 cách. Sắp 6 nam vào 3 xe, mỗi xe ít nhất 1 nam: 3^6 − 3·2^6 + 3 = 729 − 192 + 3 = 540 cách. Tổng cách thuận lợi = 6·540 = 3240. Xác suất = 3240/19683 = 1080/6561 ≠ 1060/6561 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chia 9 người thành 3 nhóm mỗi nhóm 3 người gán cho 3 xe: 9!/(3!)^3 = 1680.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi người chọn 1 trong 3 xe nên số cách là 3^9 = 19683, không phải 9^3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số cách mỗi xe có người: 3^9 − 3·2^9 + 3 = 18150; xác suất = 18150/19683 = 6050/6561.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi xe đúng 1 nữ: 3! = 6 cách; 6 nam vào 3 xe mỗi xe ít nhất 1 nam: 3^6 − 3·2^6 + 3 = 540 cách. Xác suất = 3240/19683 = 1080/6561 ≠ 1060/6561.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số bóng đỏ là $n$. Xác suất lấy 2 bóng đỏ là $\frac{C_n^2}{C_{n+3}^2}$, xác suất lấy 2 bóng xanh là $\frac{C_3^2}{C_{n+3}^2}=\frac{3}{C_{n+3}^2}$. Theo đề: $C_n^2=7\cdot 3=21$, tức $\frac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n(n-1)=42\Rightarrow n=7$. Vậy hộp có 3 xanh và 7 đỏ, tổng 10 quả. Xác suất lấy 2 bóng khác màu: $\frac{3\cdot 7}{C_{10}^2}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 học sinh từ 35 em xếp vòng tròn: tổng số cách $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{35}{6}\right)$. Số cách chọn 6 em trên vòng tròn 35 vị trí sao cho không có hai em kề nhau là $\frac{35}{35-6}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{29}{6}\right)=\frac{35}{29}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{29}{6}\right)$.

Tính: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{29}{6}\right)=475020$, nên số cách chọn thỏa mãn $=\frac{35\cdot 475020}{29}=573300$.
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{35}{6}\right)=1623160$.

Vậy $a=\frac{573300}{1623160}=\frac{28665}{81158}$.

Do $11594=2\cdot 5797$ và $81158=2\cdot 40579=2\cdot 7\cdot 5797$, ta có:
$$11594\cdot a=\frac{2\cdot 5797\cdot 28665}{2\cdot 7\cdot 5797}=\frac{28665}{7}=4095.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn 4095.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bộ 5 chữ số $(a,b,c,d,e)$, các chữ số không đồng thời bằng 0 nên có $10^5-1=99999$ bộ; $x$ có 2 lựa chọn (3 hoặc 4), vậy tổng số biển số loại A là $2\cdot 99999=199998$.

**1)** Số bộ $(a,b,c,d,e)$ vừa chứa chữ số 3 vừa chứa chữ số 4 (khi đó tự động không đồng thời bằng 0) tính theo bù:
$$10^5-2\cdot 9^5+8^5=100000-118098+32768=14670.$$
Với mỗi bộ, $x$ có 2 cách chọn, nên số biển loại A vừa có chữ số 3 vừa có chữ số 4 là:
$$2\cdot 14670=29340\text{ biển}.$$

**2)** Số bộ $(a,b,c,d,e)$ có **đúng một** chữ số 3: chọn vị trí chứa chữ số 3 (5 cách), các vị trí còn lại lấy từ 9 chữ số khác 3 (chữ số 0 được phép vì khi đó bộ vẫn có chữ số khác 0):
$$5\cdot 9^4=32805.$$
Với mỗi bộ, $x$ có 2 cách chọn, nên số biển có đúng một chữ số 3 là:
$$2\cdot 32805=65610\text{ biển}.$$

Hai bạn viết ngẫu nhiên độc lập, mỗi biển có xác suất $\frac{65610}{199998}$ là loại đúng một chữ số 3 và $\frac{29340}{199998}$ là loại vừa có 3 vừa có 4. Xác suất để có một biển loại thứ nhất và một biển loại thứ hai (hai trường hợp: Khoa–Lâm hoặc Lâm–Khoa):
$$P=\frac{2\cdot 65610\cdot 29340}{199998^2}=\frac{3849994800}{39999200004}\approx 0,0962\approx 0,10.$$

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega )=A_{10}^9$.

Gọi $A$ là biến cố theo yêu cầu bài toán thì $\overline{A}$: “tồn tại một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn”.

TH1: 9 số được điền có 4 số chẵn, 5 số lẻ: có 5 cách chọn.

Khi đó có đúng 1 hàng hoặc đúng 1 cột chứa toàn số chẵn.

Chọn một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn: có 6 cách.

Chọn ba số chẵn trong 4 số chẵn và xếp vào hàng (hoặc cột) được chọn: có $A_4^3$ cách.

Xếp 6 số còn lại vào 6 ô còn lại: có $6!$ cách.

Do đó TH1 có $\mathrm{5.6.}{A}_4^3.6!$ cách điền.

TH2: 9 số được điền có 5 số chẵn, 4 số lẻ: có 5 cách chọn.

Khi đó không quá 1 hàng và không quá 1 cột chứa toàn số chẵn.

Số cách xếp sao cho có 1 hàng toàn số chẵn là $3.A_5^3.6!$.

Số cách xếp sao cho có 1 cột toàn số chẵn là $3.A_5^3.6!$.

Số cách xếp sao cho có 1 hàng và 1 cột toàn số chẵn là $\mathrm{3.3.5}!.4!$.

Tóm lại TH2 có $5.\left(\mathrm{2.3.}{A}_5^3.6!-\mathrm{3.3.5}!.4!\right)$ cách điền.

Do đó $P\left(\overline{A}\right)=\frac{\mathrm{5.6.}{A}_4^3.6!+5.\left(\mathrm{2.3.}{A}_5^3.6!-\mathrm{3.3.5}!.4!\right)}{A_{10}^9}=\frac{13}{28}$.

Vậy $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=\frac{15}{28}$.

(AI giải đề cho tôi)
Người đó dừng lại khi bắt được cả 3 con thỏ trắng. Xác suất dừng trong tối đa 4 lần: - Dừng ngay ở lần 3: 3 con đầu đều trắng, $P_1=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$. - Dừng ở lần 4: trong 3 con đầu có đúng 2 trắng 1 xám và con thứ 4 trắng: $P_2=\frac{C_3^2{C}_4^1}{C_7^3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{12}{35}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{35}$. Vậy $P(\text{ıˊt nhaˆˊt 5 laˆˋn})=1-\frac{1}{35}-\frac{3}{35}=\frac{31}{35}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (đề 102, câu 10 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Phân loại 32 số theo số mũ của 2 trong phân tích nguyên tố: $v_2=0$ (16 số lẻ), $v_2=1$ (8 số: 2,6,...,30), $v_2=2$ (4 số: 4,12,20,28), $v_2=3$ (2 số: 8,24), $v_2\ge 4$ (2 số: 16,32). Tích chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 16 khi tổng các $v_2$ bằng 2 hoặc 3.
- Tổng $v_2=2$: hai số $v_2=1$ và một số lẻ: $3\cdot 8^2\cdot 16=3072$; một số $v_2=2$ và hai số lẻ: $3\cdot 4\cdot 16^2=3072$. Tổng: 6144.
- Tổng $v_2=3$: ba số $v_2=1$: $8^3=512$; một số $v_2=2$, một số $v_2=1$, một số lẻ: $6\cdot 4\cdot 8\cdot 16=3072$; một số $v_2=3$ và hai số lẻ: $3\cdot 2\cdot 16^2=1536$. Tổng: 5120.
Số trường hợp thuận lợi: $6144+5120=11264$. Xác suất: $P=\frac{11264}{32^3}=\frac{11264}{32768}=0,34375\approx 0,34$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp đường tròn: số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác là $|X|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{3}\right)=816$.

Đếm tam giác cân: với mỗi đỉnh được chọn làm đỉnh của góc ở đỉnh (apex), hai đỉnh còn lại phải đối xứng qua đường kính đi qua apex, tức cách apex cùng số bước $k$, với $k=1,2,\dots ,8$ (vì $k=9$ thì hai đỉnh trùng nhau). Vậy mỗi apex cho 8 cặp, tổng $18\times 8=144$ cách đếm theo apex.

Tam giác đều xảy ra khi $k=6$ (ba đỉnh cách đều nhau 6 bước): có $18/3=6$ tam giác đều, mỗi tam giác đều được đếm 3 lần (theo 3 apex). Do đó số tam giác cân (kể cả đều) phân biệt là $144-18+6=132$, và số tam giác cân nhưng không đều là $132-6=126$.

Vậy $P(A)=\frac{126}{816}=\frac{21}{136}\approx 0,1544\approx 0,15$, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 3 đỉnh từ 12 đỉnh: $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$. Đếm số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (không có hai đỉnh kề nhau trên đường tròn): công thức chọn $k$ đỉnh đôi một không kề trên vòng tròn $n$ đỉnh là $\frac{n}{n-k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k}\right)=\frac{12}{9}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=\frac{12}{9}\cdot 84=112$. Kiểm tra bằng cách đặt khoảng cách (số cung) giữa các đỉnh liên tiếp $x_1+x_2+x_3=12$ với $x_i\ge 2$: đặt $y_i=x_i-2\ge 1$, $y_1+y_2+y_3=6$ có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ nghiệm, mỗi bộ nghiệm ứng với 12 cách quay... thực chất đếm chuẩn cho 112 bộ (mỗi tam giác đếm đúng một lần khi cố định đỉnh nhỏ nhất). Vậy xác suất $P=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$. Khớp với đáp án C.