Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tần số giữa các nhóm: $x_1=10,3;x_2=10,5;x_3=10,7;x_4=10,9$ với tần số $n_1=3,n_2=7,n_3=8,n_4=2$, tổng $n=20$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3(10,3)+7(10,5)+8(10,7)+2(10,9)}{20}=\frac{211,8}{20}=10,59$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{3(10,3{)}^2+7(10,5{)}^2+8(10,7{)}^2+2(10,9{)}^2}{20}-(10,59{)}^2=\frac{2243,56}{20}-112,1481=112,178-112,1481\approx 0,03$. Vậy phương sai gần nhất với $0,03$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm: lớp 12A có nhóm chứa giá trị nhỏ nhất là $[155;160)$ và nhóm chứa giá trị lớn nhất là $[165;170)$, nên $R_A=170-155=15$ (cm). Lớp 12B có nhóm chứa giá trị nhỏ nhất là $[150;155)$ và nhóm chứa giá trị lớn nhất là $[170;175)$, nên $R_B=175-150=25$ (cm). Vì $R_A=15<R_B=25$ nên chiều cao của học sinh nữ lớp 12A đồng đều hơn lớp 12B. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=25+50+200+175+50=500$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{152\cdot 25+156\cdot 50+160\cdot 200+164\cdot 175+168\cdot 50}{500}=\frac{80700}{500}=161,4$. Phương sai: $s^2=\frac{152^2\cdot 25+156^2\cdot 50+160^2\cdot 200+164^2\cdot 175+168^2\cdot 50}{500}-161,4^2=\frac{13032400}{500}-26049,96=26064,8-26049,96=14,84$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $9,5;10,5;11,5;12,5;13,5$ với tần số $18;10;6;4;2$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{18\cdot 9,5+10\cdot 10,5+6\cdot 11,5+4\cdot 12,5+2\cdot 13,5}{40}=\frac{422}{40}=10,55$.

Tổng bình phương: $18\cdot 90,25+10\cdot 110,25+6\cdot 132,25+4\cdot 156,25+2\cdot 182,25=4510$, nên $\frac{1}{40}\sum n_i{x}_i^2=112,75$.

Phương sai: $s^2=112,75-10,55^2=112,75-111,3025=1,4475\approx 1,45$.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: 95, 105, 115, 125, 135, 145 với tần số 2, 3, 4, 6, 3, 2 (n = 20). Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{2\cdot 95+3\cdot 105+4\cdot 115+6\cdot 125+3\cdot 135+2\cdot 145}{20}=\frac{2410}{20}=120,5$. Tổng bình phương độ lệch: $2(95-120,5{)}^2+3(105-120,5{)}^2+4(115-120,5{)}^2+6(125-120,5{)}^2+3(135-120,5{)}^2+2(145-120,5{)}^2=1300,5+720,75+121+121,5+630,75+1200,5=4095$. Độ lệch chuẩn của mẫu: $s=\sqrt{\frac{4095}{19}}\approx 14,68\approx 14,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số $n=30$. Giá trị đại diện các nhóm: $75;125;175;225;275$. Tổng $n_i{x}_i=375+1250+1575+900+550=4650$, suy ra $\bar{x}=155$. Tổng $n_i{x}_i^2=28125+156250+275625+202500+151250=813750$. Phương sai $s^2=\frac{813750}{30}-155^2=27125-24025=3100$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{3100}\approx 55,68$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu hai đầu mút của các nhóm: $45-25=20$ phút. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc: $43-27=16$ phút. Vậy khẳng định A đúng (ghép nhóm là 20 phút); B sai; C sai (gốc là 16 chứ không phải 20); D sai vì $20>16$, khoảng biến thiên ghép nhóm lớn hơn khoảng biến thiên gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 6, 12, 19, 9, 4 nên n = 50. Giá trị đại diện các nhóm: 5, 7, 9, 11, 13. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{6\cdot 5+12\cdot 7+19\cdot 9+9\cdot 11+4\cdot 13}{50}=\frac{436}{50}=8,72$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 25+12\cdot 49+19\cdot 81+9\cdot 121+4\cdot 169=150+588+1539+1089+676=4042$. Phương sai: $s^2=\frac{4042}{50}-8,72^2=80,84-76,0384=4,8016\approx 4,8$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16 với tần số 1; 5; 6; 10; 13; 5; 7; 3 (n = 50).

Tổng: $\sum x_i{n}_i=2+20+36+80+130+60+98+48=474$, nên $\bar{x}=\frac{474}{50}=9,48$.

Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=4+80+216+640+1300+720+1372+768=5100$.

Phương sai: $s^2=\frac{5100}{50}-9,48^2=102-89,8704=12,1296$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{12,1296}\approx 3,48$ triệu đồng. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi khoảng: 6,75; 7,25; 7,75; 8,25; 8,75; 9,25; 9,75 với tần số 8; 10; 16; 24; 13; 7; 4, nên $n=82$. Tổng $n_i{x}_i=54+72,5+124+198+113,75+64,75+39=666$, suy ra mean $\bar{x}=666/82\approx 8,122$. Tổng $n_i{x}_i^2=364,5+525,625+961+1633,5+995,3125+598,9375+380,25=5459,125$. Phương sai $s^2=\frac{5459,125}{82}-{\left(\frac{666}{82}\right)}^2\approx 66,5747-65,9667\approx 0,608\approx 0,609$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 3, 9, 28, 51, 60. Q1 ở vị trí 60/4 = 15 thuộc nhóm [60;70): Q1 = 60 + (15-9)/19 · 10 ≈ 63,16. Q3 ở vị trí 3·60/4 = 45 thuộc nhóm [70;80): Q3 = 70 + (45-28)/23 · 10 ≈ 77,39. Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 ≈ 77,39 - 63,16 = 14,23 (nghìn đồng). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các lớp: $x_1=15,x_2=25,x_3=35,x_4=45$ với tần số $8,18,24,10$ ($n=60$).

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 15+18\cdot 25+24\cdot 35+10\cdot 45}{60}=\frac{120+450+840+450}{60}=\frac{1860}{60}=31$.

Tổng $\sum n_i{x}_i^2=8\cdot 225+18\cdot 625+24\cdot 1225+10\cdot 2025=1800+11250+29400+20250=62700$.

Phương sai: $s_x^2=\frac{62700}{60}-31^2=1045-961=84$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 11,5; 13,5; 15,5; 17,5; 19,5 với tần số 3; 12; 15; 24; 2 (n = 56). Số trung bình: x̄ = (3·11,5 + 12·13,5 + 15·15,5 + 24·17,5 + 2·19,5)/56 = 888/56 ≈ 15,857. Tổng bình phương: Σfᵢxᵢ² = 3·132,25 + 12·182,25 + 15·240,25 + 24·306,25 + 2·380,25 = 14298. Phương sai: s² = 14298/56 − (888/56)² ≈ 255,321 − 251,449 ≈ 3,87. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 4, 9, 13, 8, 6 nên $n=40$. Giá trị đại diện các nhóm: $1,75;2,25;2,75;3,25;3,75$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,75+9\cdot 2,25+13\cdot 2,75+8\cdot 3,25+6\cdot 3,75}{40}=\frac{111,5}{40}=2,7875$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=4(1,75{)}^2+9(2,25{)}^2+13(2,75{)}^2+8(3,25{)}^2+6(3,75{)}^2=12,25+45,5625+98,3125+84,5+84,375=325$. Phương sai: $s^2=\frac{325}{40}-(2,7875{)}^2=8,125-7,77015625=0,35484375\approx 0,355$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=5$, thuộc nhóm $[3,0;3,3)$ (cumulative trước đó là 3, tần số nhóm là 6): $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=15$, thuộc nhóm $[3,6;3,9)$ (cumulative trước đó là 14, tần số nhóm là 4): $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số n=30, các giá trị đại diện: 75, 125, 175, 225, 275. Tổng: 75·5+125·10+175·9+225·4+275·2=4650, suy ra x̄=4650/30=155. Tổng bình phương: 75²·5+125²·10+175²·9+225²·4+275²·2=28125+156250+275625+202500+151250=813750. Phương sai mẫu ghép nhóm: s²=813750/30−155²=27125−24025=3100. Độ lệch chuẩn s=√3100≈55,68. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn: 18, 46, 81, 124, 165, 200 (n=200). Q1 ứng với vị trí 200/4=50, nằm trong nhóm [160;165): Q1 = 160 + 5*(50-46)/35 = 160 + 20/35 ≈ 160,5714. Q3 ứng với vị trí 3*200/4=150, nằm trong nhóm [170;175): Q3 = 170 + 5*(150-124)/41 = 170 + 130/41 ≈ 173,1707. Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 ≈ 12,5993 ≈ 12,6. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 9, 11, 13, 15, 17 với tần số 4, 6, 8, 4, 3 (n=25). Tần số cộng dồn: 4, 10, 18, 22, 25 nên các giá trị đại diện tương ứng là 9, 11, 13, 15, 17. Trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 9+6\cdot 11+8\cdot 13+4\cdot 15+3\cdot 17}{25}=\frac{317}{25}=12,68$. Tổng $n_i{x}_i^2=4\cdot 81+6\cdot 121+8\cdot 169+4\cdot 225+3\cdot 289=4169$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{4169}{25}-12,68^2=166,76-160,7824=5,9776$, nên $s\approx \sqrt{5,9776}\approx 2,4449\approx 2,44$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3, 6, 5, 4, 2 (n = 20). Giá trị đại diện các nhóm: 2,85; 3,15; 3,45; 3,75; 4,05.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2\right]$
$=\frac{0,8748+0,3456+0,018+0,5184+0,8712}{20}=\frac{2,628}{20}=0,1314$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625\approx 0,36$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là 200 học sinh, tương ứng nhóm $[160;165)$, nên nhóm chứa mốt là $[a;b)=[160;165)$, tức $a=160$, $b=165$. Khoảng biến thiên $R=$ giá trị lớn nhất $-$ giá trị nhỏ nhất $=180-150=30$. Vậy $a+b+R=160+165+30=355$, trùng với đáp án nguồn.