Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tính theo mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện các nhóm là $151;153;155;157;159;161$ và $n=100$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 151+18\cdot 153+40\cdot 155+26\cdot 157+8\cdot 159+3\cdot 161}{100}=\frac{15546}{100}=155,46$. Tổng bình phương: $5\cdot 151^2+18\cdot 153^2+40\cdot 155^2+26\cdot 157^2+8\cdot 159^2+3\cdot 161^2=2417252$, nên $\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2=24172,52$. Phương sai: $s^2=24172,52-155,46^2=24172,52-24167,8116=4,7084$. Vậy $a=4,b=7,c=0,d=8,e=4$, suy ra $a+b+c+d+e=4+7+0+8+4=23$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm gồm: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn. Trung vị là số đặc trưng đo xu thế trung tâm (vị trí trung tâm), không dùng để đo mức độ phân tán. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn $s$ của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán của các giá trị xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Các phương án B, C, D lần lượt mô tả số trung bình, trung vị và tứ phân vị, không phải độ lệch chuẩn. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=2,4;x_2=2,8;x_3=3,2;x_4=3,6;x_5=4,0$ với tần số $n_1=3;n_2=6;n_3=5;n_4=5;n_5=1$, tổng $n=20$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{3\cdot 2,4+6\cdot 2,8+5\cdot 3,2+5\cdot 3,6+1\cdot 4,0}{20}=\frac{7,2+16,8+16+18+4}{20}=\frac{62}{20}=3,1.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{1}{20}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{3(0,49)+6(0,09)+5(0,01)+5(0,25)+1(0,81)}{20}=\frac{4,12}{20}=0,206.$$

Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{0,206}\approx 0,4539\approx 0,45.$$

Vậy đáp án đúng là D. (Lưu ý: 0,206 là phương sai, không phải độ lệch chuẩn.)

(AI giải đề cho tôi)
Tổ 1: n=11, tần số các nhóm [150;155),[155;160),[160;165),[165;170),[170;175),[175;180) lần lượt 3,2,2,1,3,0. Tổ 2: n=11, tần số 1,3,3,2,1,1.

a) Sai. Q1 của tổ 1: n/4 = 2,75 nằm trong nhóm [150;155) (tần số 3). Q1 = 150 + (2,75 − 0)/3 · 5 = 150 + 4,5833... ≈ 154,58 (cm), không phải 154,375.

b) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lấy theo đầu mút của các nhóm: R = 175 − 150 = 25.

c) Sai. Tổ 2, giá trị đại diện: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5; 177,5 với tần số 1,3,3,2,1,1. Số trung bình: x̄ = (152,5 + 3·157,5 + 3·162,5 + 2·167,5 + 172,5 + 177,5)/11 = 1797,5/11 ≈ 163,41. Tổng Σnᵢxᵢ² = 23256,25 + 3·24806,25 + 3·26406,25 + 2·28056,25 + 29756,25 + 31506,25 = 294268,75. Phương sai s² = 294268,75/11 − (163,4091)² ≈ 26751,70 − 26702,53 ≈ 49,17 ≠ 48,88.

d) Sai. Tổ 1: x̄ = (3·152,5 + 2·157,5 + 2·162,5 + 167,5 + 3·172,5)/11 = 1782,5/11 ≈ 162,05; Σnᵢxᵢ² = 3·23256,25 + 2·24806,25 + 2·26406,25 + 28056,25 + 3·29756,25 = 289518,75; s₁² = 289518,75/11 − (162,0455)² ≈ 26319,89 − 26258,73 ≈ 61,16, nên s₁ ≈ 7,82. Tổ 2: s₂ ≈ √49,17 ≈ 7,01. Vậy s₂ < s₁, mệnh đề 'độ lệch chuẩn tổ 2 lớn hơn tổ 1' là sai.

Kết luận: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Q1 của tổ 1: n/4 = 2,75 thuộc nhóm [150;155), Q1 = 150 + (2,75/3)·5 ≈ 154,58 ≠ 154,375 nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = 175 − 150 = 25, mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổ 2: x̄ ≈ 163,41, s² = 294268,75/11 − (163,4091)² ≈ 49,17 ≠ 48,88 nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
s₁² ≈ 61,16 (s₁ ≈ 7,82), s₂² ≈ 49,17 (s₂ ≈ 7,01), vậy s₂ < s₁, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Số quan sát: n = 13+45+24+12+6 = 100. Giá trị đại diện các nhóm: 19,25; 19,75; 20,25; 20,75; 21,25.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{250,25+888,75+486+249+127,5}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.
Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=4817,3125+17552,8125+9841,5+5166,75+2709,375=40087,75$.
Phương sai: $s^2=\frac{40087,75}{100}-20,015^2=400,8775-400,600225=0,277275$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của các nhóm: $x_1=7,5;x_2=12,5;x_3=17,5;x_4=22,5;x_5=27,5$; cỡ mẫu mỗi lĩnh vực $n=25$.

Lĩnh vực $A$:
$${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 7,5+5\cdot 12,5+8\cdot 17,5+6\cdot 22,5+4\cdot 27,5}{25}=\frac{462,5}{25}=18,5.$$
$$\sum n_i{x}_i^2=2\cdot 56,25+5\cdot 156,25+8\cdot 306,25+6\cdot 506,25+4\cdot 756,25=9406,25.$$
$$s_A^2=\frac{9406,25}{25}-18,5^2=376,25-342,25=34.$$

Lĩnh vực $B$:
$${\bar{x}}_B=\frac{8\cdot 7,5+4\cdot 12,5+2\cdot 17,5+5\cdot 22,5+6\cdot 27,5}{25}=\frac{422,5}{25}=16,9.$$
$$\sum n_i{x}_i^2=8\cdot 56,25+4\cdot 156,25+2\cdot 306,25+5\cdot 506,25+6\cdot 756,25=8756,25.$$
$$s_B^2=\frac{8756,25}{25}-16,9^2=350,25-285,61=64,64.$$

Vậy $$s_B^2-s_A^2=64,64-34=30,64.$$

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của các nhóm: $x_1=121,x_2=123,x_3=125,x_4=127,x_5=129$ (nghìn đồng), với $n_1=8,n_2=9,n_3=12,n_4=10,n_5=11$, $n=50$.

**Cổ phiếu A:**
Số trung bình mẫu:
$${\bar{x}}_A=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=\frac{6264}{50}=125,28.$$
Tổng bình phương: $8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2=785130$.
$$s_A^2=\frac{785130}{50}-125,28^2=15702,6-15695,0784=7,5216{\text{ (nghıˋn đoˆˋng)}}^2.$$

**Cổ phiếu B:**
Số trung bình mẫu:
$${\bar{x}}_B=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}=125,48.$$
Tổng bình phương: $16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2=787882$.
$$s_B^2=\frac{787882}{50}-125,48^2=15757,64-15745,2304=12,4096{\text{ (nghıˋn đoˆˋng)}}^2.$$

**So sánh:** Vì $s_B^2=12,4096>s_A^2=7,5216$ nên giá đóng cửa của cổ phiếu B phân tán mạnh hơn cổ phiếu A, do đó cổ phiếu B có độ rủi ro cao hơn cổ phiếu A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 5.5; 6.5; 7.5; 8.5; 9.5.

Lớp 10A (n = 1+0+11+22+6 = 40):
- Tổng: $1(5.5)+11(7.5)+22(8.5)+6(9.5)=5.5+82.5+187+57=332$, nên ${\bar{x}}_A=\frac{332}{40}=8.3$.
- Tổng bình phương: $1(5.5{)}^2+11(7.5{)}^2+22(8.5{)}^2+6(9.5{)}^2=30.25+618.75+1589.5+541.5=2780$.
- Phương sai: $s_A^2=\frac{2780}{40}-8.3^2=69.5-68.89=0.61$, nên $s_A=\sqrt{0.61}\approx 0.78$.

Lớp 10B (n = 0+6+8+14+12 = 40):
- Tổng: $6(6.5)+8(7.5)+14(8.5)+12(9.5)=39+60+119+114=332$, nên ${\bar{x}}_B=8.3$.
- Tổng bình phương: $6(6.5{)}^2+8(7.5{)}^2+14(8.5{)}^2+12(9.5{)}^2=253.5+450+1011.5+1083=2798$.
- Phương sai: $s_B^2=\frac{2798}{40}-8.3^2=69.95-68.89=1.06$, nên $s_B=\sqrt{1.06}\approx 1.03$.

Vì $s_A\approx 0.78<s_B\approx 1.03$ (hai lớp có cùng điểm trung bình 8.3), học sinh lớp 10A có điểm trung bình ít phân tán hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm) để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Các trung điểm lần lượt là: $x_1=45,x_2=47,x_3=49,x_4=53,x_5=55,x_6=57$ với tần số tương ứng $n_1=3,n_2=3,n_3=10,n_4=15,n_5=7,n_6=2$ và $n=40$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{45\cdot 3+47\cdot 3+49\cdot 10+53\cdot 15+55\cdot 7+57\cdot 2}{40}=\frac{135+141+490+795+385+114}{40}=\frac{2060}{40}=51,5\text{(cm)}.$$

Tính $\sum n_i{x}_i^2$:
$$45^2\cdot 3+47^2\cdot 3+49^2\cdot 10+53^2\cdot 15+55^2\cdot 7+57^2\cdot 2=6075+6627+24010+42135+21175+6498=106520.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{106520}{40}-{\left(51,5\right)}^2=2663-2652,25=10,75.$$

Vậy phương sai của 40 bé sơ sinh là $s^2=10,75$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=12,x_2=16,x_3=20,x_4=24,x_5=28$ với tần số $n_1=75,n_2=105,n_3=179,n_4=96,n_5=45$, $n=500$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{75\cdot 12+105\cdot 16+179\cdot 20+96\cdot 24+45\cdot 28}{500}=\frac{9724}{500}=19,448$$

Tổng bình quân bình phương:
$$\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2=\frac{75\cdot 144+105\cdot 256+179\cdot 400+96\cdot 576+45\cdot 784}{500}=\frac{199856}{500}=399,712$$

Phương sai:
$$s^2=399,712-19,448^2=399,712-378,224704\approx 21,4873$$

Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{21,4873}\approx 4,6355\approx 4,64\text{ (triệu đoˆˋng)}$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=175-150=25$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm chứa giá trị lớn nhất và đầu mút trái của nhóm chứa giá trị nhỏ nhất (hai nhóm có tần số dương đầu tiên và cuối cùng). Lớp $12A$: nhóm có tần số dương đầu tiên là $[150;155)$ (tần số 2), nhóm cuối có tần số dương là $[175;180)$ (tần số 1), nên $R_1=180-150=30$ (cm). Lớp $12B$: nhóm đầu có tần số dương là $[155;160)$ (tần số 9), nhóm cuối là $[175;180)$ (tần số 5), nên $R_2=180-155=25$ (cm). Vậy $R_1=30$ cm; $R_2=25$ cm, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 dựa vào bảng số liệu ghép nhóm ở Câu 2 (các nhóm $[150;155),\dots ,[175;180)$). Khi thay tất cả các tần số bằng 4:
- Khoảng biến thiên $R$ chỉ phụ thuộc vào hai đầu của dãy giá trị (giá trị nhỏ nhất xấp xỉ đầu nhóm đầu tiên $150$ và giá trị lớn nhất xấp xỉ cuối nhóm cuối cùng $180$), không phụ thuộc tần số, nên $R=180-150=30$ không đổi.
- Khoảng tứ phân vị phụ thuộc vào vị trí $Q_1$, $Q_3$ vốn xác định theo tần số tích lũy; khi tần số thay đổi thì $Q_1$, $Q_3$ thay đổi nên khoảng tứ phân vị thay đổi.
- Phương sai và độ lệch chuẩn phụ thuộc vào các giá trị trung tâm nhóm nhân với tần số tương ứng, nên khi tần số thay đổi thì chúng thay đổi.
Vậy số đặc trưng không thay đổi là khoảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
n = 92. Vị trí Q1: n/4 = 23, thuộc nhóm [6;11) (tần số tích lũy 44 ≥ 23). Q1 = 6 + 5·(23 − 14)/30 = 6 + 45/30 = 7,5. Vị trí Q3: 3n/4 = 69, thuộc nhóm [11;16) (tần số tích lũy 69 ≥ 69). Q3 = 11 + 5·(69 − 44)/25 = 11 + 5 = 16. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 16 − 7,5 = 8,5 = 17/2. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên: $R=110-74=36$.
Tứ phân vị: $\frac{n}{4}=6,75$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[80;86)$: $Q_1=80+\frac{6,75-4}{6}\cdot 6=82,75$.
$\frac{3n}{4}=20,25$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[104;110)$: $Q_3=104+\frac{20,25-20}{7}\cdot 6\approx 104,21$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q\approx 104,21-82,75\approx 21,45$.
Vậy chọn đáp án A: $36;21,45$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên: $R=11-1=10$. Tính tứ phân vị: $\frac{n}{4}=9$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[5;7)$: $Q_1=5+\frac{9-5}{10}\cdot 2=5,8$. $\frac{3n}{4}=27$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[7;9)$: $Q_3=7+\frac{27-15}{14}\cdot 2=7+\frac{12}{7}\approx 8,71$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 8,71-5,8=2,9$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trung bình: $\bar{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 14+52,5\cdot 8+57,5\cdot 10+62,5\cdot 6+67,5\cdot 2}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53,18$. Tính $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{44}=\frac{7225+31587,5+22050+33062,5+23437,5+9112,5}{44}=\frac{126475}{44}\approx 2874,43$. Vậy phương sai $s^2\approx 2874,43-53,18^2\approx 46,1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$ với tần số $n_i=3;6;5;4;2$, $n=20$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2\right]=\frac{2,628}{20}=0,1314$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625\approx 0,36$. Vậy chọn D.