Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài nhóm = hiệu hai đầu mút. Bảng 1: 7−6=1. Bảng 2: 40−30=10, 50−40=10, 60−50=10, 70−60=10 → các nhóm đều có độ dài 10. Bảng 3: 3−2,5=0,5. Bảng 4: 35−30=5. Vậy bảng gồm các nhóm độ dài bằng 10 là Bảng 2.

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng.

a) Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Cỡ mẫu của mẫu số liệu cổ phiếu $A$ là $n_A=8+9+12+10+11=50$.

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ là $${\overline{x}}_1=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\cdot \left(8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2\right)-{\left(125,28\right)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{7,5216}$.

c) Xét mẫu số liệu cổ phiếu $B$. Ta có cỡ mẫu $n_B=50$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}\approx 125,48.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\cdot \left(16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2\right)-{\left(\frac{6274}{50}\right)}^2\approx 12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{12,4096}$.

d) Mẫu số liệu cổ phiếu $A$ có phương sai $S_1^2=7,5216$ và độ lệch chuẩn $S_1=\sqrt{7,5216}$. Mẫu số liệu cổ phiếu $B$ có phương sai $S_2^2=12,4096$ và độ lệch chuẩn $S_2=\sqrt{12,4096}$. Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.
a) a) Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Cỡ mẫu của mẫu số liệu cổ phiếu $A$ là $n_A=8+9+12+10+11=50$.
b) b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ là $${\overline{x}}_1=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\cdot \left(8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2\right)-{\left(125,28\right)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{7,5216}$.
c) c) Xét mẫu số liệu cổ phiếu $B$. Ta có cỡ mẫu $n_B=50$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}\approx 125,48.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\cdot \left(16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2\right)-{\left(\frac{6274}{50}\right)}^2\approx 12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{12,4096}$.
d) d) Mẫu số liệu cổ phiếu $A$ có phương sai $S_1^2=7,5216$ và độ lệch chuẩn $S_1=\sqrt{7,5216}$. Mẫu số liệu cổ phiếu $B$ có phương sai $S_2^2=12,4096$ và độ lệch chuẩn $S_2=\sqrt{12,4096}$. Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.

Trang 6 (bản đáp án của đề) hiển thị phương án D. 1,59 được gạch chân làm đáp án chính thức của Câu 3. Kiểm chứng: các giá trị đại diện là 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5 với tần số 4; 5; 5; 4; 2. Số trung bình $\overline{x}=\frac{4\cdot 5,5+5\cdot 6,5+5\cdot 7,5+4\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{20}=\frac{145}{20}=7,25$. Phương sai $S^2=\frac{4\cdot 5,5^2+5\cdot 6,5^2+5\cdot 7,5^2+4\cdot 8,5^2+2\cdot 9,5^2}{20}-7,25^2=54,15-52,5625=1,5875\approx 1,59$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25$. Tần số tích lũy: 4; 10; 18; 22; 25.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[10;12)$ (nhóm thứ 2, tần số 6, đầu nhóm 10):
$$Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10,75.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[14;16)$ (nhóm thứ 4, tần số 4, đầu nhóm 14, vì tần số tích lũy trước nhóm là 18):
$$Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14,375.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=14,375-10,75=3,625=\frac{29}{8}.$$
Vậy $a=29,b=8$ và $P=a+b=37$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $65-40=25$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=18. Q1 ở vị trí n/4=4,5 thuộc nhóm [20;25): Q1=20+(4,5-0)/6·5=23,75. Q3 ở vị trí 3n/4=13,5; tần số tích luỹ: 6, 12, 16, 17, 18 nên Q3 thuộc nhóm [30;35): Q3=30+(13,5-12)/4·5=31,875. Khoảng tứ phân vị ΔQ=Q3-Q1=31,875-23,75=8,125.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng nhận xét: (1) Sai — khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc (bằng hiệu hai đầu mút của nhóm chứa giá trị lớn nhất và nhóm chứa giá trị nhỏ nhất), không luôn luôn bằng nhau. (2) Đúng — khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. (3) Đúng — khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Vậy có 2 nhận xét đúng, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét 1 sai vì khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (nó chỉ dựa trên $Q_1$ và $Q_3$). Các nhận xét 2, 3, 4 đều đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=20-10=10$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=a_{m+1}-a_1$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (kể cả ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+4+8+12+3+2=30$. Khoảng biến thiên $R=115-85=30$ (cm). Tứ phân vị: $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[95;100)$ nên $Q_1=95+\frac{7,5-5}{8}\cdot 5=96,5625$ cm; $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[100;105)$ nên $Q_3=100+\frac{22,5-13}{12}\cdot 5\approx 103,9583$ cm. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 7,40$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Dữ liệu ghép nhóm: nhóm đầu tiên là $[0;2)$ với tần số 3 > 0, nhóm cuối cùng là $[8;10)$ với tần số 4 > 0. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=10-0=10$ (giờ). Vậy khoảng biến thiên cho thời gian tập luyện của các vận động viên là 10 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa cận trên của nhóm cuối cùng và cận dưới của nhóm đầu tiên. Nhóm đầu tiên là $[8,5;8,8)$ nên giá trị nhỏ nhất là $8,5$; nhóm cuối cùng là $[9,7;10)$ nên giá trị lớn nhất là $10$. Vậy $R=10-8,5=1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên. Nhóm đầu tiên là $[0;50)$, nhóm cuối cùng là $[150;200)$. Vậy khoảng biến thiên $R=200-0=200$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp dữ liệu (n = 17): 3,4; 4,2; 4,4; 5,0; 5,4; 6,2; 7; 7,5; 7,5; 7,8; 8,3; 8,8; 9,5; 9,87; 12,2; 14; 15,5.

Ghép nhóm độ dài 4 bắt đầu từ [1;5):
- [1;5): 3 giá trị (3,4; 4,2; 4,4) → tần số 3
- [5;9): 9 giá trị (5,0; 5,4; 6,2; 7; 7,5; 7,5; 7,8; 8,3; 8,8) → tần số 9
- [9;13): 3 giá trị (9,5; 9,87; 12,2) → tần số 3
- [13;17): 2 giá trị (14; 15,5) → tần số 2
Tổng n = 3 + 9 + 3 + 2 = 17.

Tính tứ phân vị:
- Tần số tích lũy: 3; 12; 15; 17.
- Q1: vị trí n/4 = 4,25 thuộc nhóm [5;9):
$$Q_1=5+\frac{4,25-3}{9}\cdot 4=5+\frac{5}{9}=\frac{50}{9}\approx 5,56.$$
- Q3: vị trí 3n/4 = 12,75 thuộc nhóm [9;13):
$$Q_3=9+\frac{12,75-12}{3}\cdot 4=9+1=10.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=10-\frac{50}{9}=\frac{40}{9}\approx 4,44\text{ (triệu người)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $20,5$; $23,5$; $26,5$; $29,5$; $32,5$; $35,5$ với tần số tương ứng $5;7;8;16;12;7$ và $n=55$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{5\cdot 20,5+7\cdot 23,5+8\cdot 26,5+16\cdot 29,5+12\cdot 32,5+7\cdot 35,5}{55}=\frac{1589,5}{55}=28,9.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{5(20,5-28,9{)}^2+7(23,5-28,9{)}^2+8(26,5-28,9{)}^2+16(29,5-28,9{)}^2+12(32,5-28,9{)}^2+7(35,5-28,9{)}^2}{55}$$
$$=\frac{352,8+204,12+46,08+5,76+155,52+304,92}{55}=\frac{1069,2}{55}\approx 19,44.$$

Vậy phương sai làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là $19,4$, thuộc khoảng $(19;20)$ → chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $152,5;157,5;162,5;167,5;172,5$ với tần số $6;10;14;5;5$, $n=40$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 152,5+10\cdot 157,5+14\cdot 162,5+5\cdot 167,5+5\cdot 172,5}{40}=\frac{6465}{40}=161,625$. Phương sai: $s^2=\frac{6(152,5-161,625{)}^2+10(157,5-161,625{)}^2+14(162,5-161,625{)}^2+5(167,5-161,625{)}^2+5(172,5-161,625{)}^2}{40}\approx \frac{1444,38}{40}\approx 36,11$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{36,11}\approx 6,01\in (6;6,5)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=7,3$; $x_2=7,5$; $x_3=7,7$; $x_4=7,9$ với tần số tương ứng $2;4;7;6$, nên $n=19$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 7,3+4\cdot 7,5+7\cdot 7,7+6\cdot 7,9}{19}=\frac{145,9}{19}\approx 7,679$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=2\cdot 53,29+4\cdot 56,25+7\cdot 59,29+6\cdot 62,41=1121,07$. Phương sai: $s^2=\frac{1121,07}{19}-{\bar{x}}^2\approx 59,0037-58,9662\approx 0,0375$. Độ lệch chuẩn: $s\approx \sqrt{0,0375}\approx 0,1935$, gần nhất với $0,193$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi các mẫu số liệu ghép nhóm có cùng số trung bình, để so sánh mức độ phân tán ta dùng độ lệch chuẩn (hoặc phương sai): mẫu có độ lệch chuẩn lớn hơn thì phân tán hơn. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị chỉ dựa trên hai giá trị nên kém tin cậy, trung vị không phải đại lượng đo phân tán. Vậy đáp án là D.