Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 2,7,7,3,1 (n=20); giá trị đại diện: 6,8,10,12,14. Số trung bình: x̄ = (2·6+7·8+7·10+3·12+1·14)/20 = 188/20 = 9,4. Phương sai: s² = [2(−3,4)² + 7(−1,4)² + 7(0,6)² + 3(2,6)² + 1(4,6)²]/20 = (23,12+13,72+2,52+20,28+21,16)/20 = 80,8/20 = 4,04, nên s ≈ 2,01 (nếu chia cho n−1=19 thì s ≈ 2,06). Cả hai trường hợp đều thuộc khoảng [2;3).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5+10+9+4+2 = 30. a) Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km) → đúng. b) n/4 = 7,5 nên Q1 thuộc nhóm [100;150): Q1 = 100 + (7,5−5)/10 · 50 = 112,5 ≠ 3,1 → sai. c) 3n/4 = 22,5 nên Q3 thuộc nhóm [150;200): Q3 = 150 + (22,5−15)/9 · 50 = 150 + 125/3 ≈ 191,67 ≠ 575 → sai. d) Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 191,67 − 112,5 = 79,17 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 100 + (7,5−5)/10·50 = 112,5, không phải 3,1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 150 + (22,5−15)/9·50 ≈ 191,67, không phải 575.
d) (AI giải đề cho tôi)
ΔQ = 191,67 − 112,5 = 79,17.

(AI giải đề cho tôi)
Sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm: 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5.

a) Trung bình cộng lĩnh vực A: ${\bar{x}}_A=\frac{2(7,5)+4(12,5)+12(17,5)+4(22,5)+2(27,5)}{24}=\frac{420}{24}=17,5$. Lĩnh vực B: ${\bar{x}}_B=\frac{8(7,5)+2(12,5)+4(17,5)+2(22,5)+8(27,5)}{24}=\frac{420}{24}=17,5$. Hai giá trị trung bình bằng nhau → ý a) ĐÚNG.

b) Phương sai của A: $s_A^2=\frac{2(10{)}^2+4(5{)}^2+12(0{)}^2+4(5{)}^2+2(10{)}^2}{24}=\frac{600}{24}=25$ (độ lệch chuẩn bằng 5, không phải phương sai) → ý b) SAI.

c) Phương sai của B: $s_B^2=\frac{8(10{)}^2+2(5{)}^2+4(0{)}^2+2(5{)}^2+8(10{)}^2}{24}=\frac{1700}{24}\approx 70,83$, nên $s_B\approx \sqrt{70,83}\approx 8,42$ → ý c) ĐÚNG.

d) Vì $s_B\approx 8,42>s_A=5$ (phương sai B lớn hơn A) nên số tiền thu được từ B phân tán hơn, đầu tư vào B rủi ro hơn → ý d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B=\frac{420}{24}=17,5$ triệu đồng, hai giá trị trung bình bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai của A là $s_A^2=\frac{600}{24}=25$ (độ lệch chuẩn mới bằng 5), nên khẳng định phương sai bằng 5 là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_B^2=\frac{1700}{24}\approx 70,83$ nên $s_B\approx 8,42$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $s_B\approx 8,42>s_A=5$, số liệu B phân tán mạnh hơn nên đầu tư vào B rủi ro hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Kích thước mẫu $n=23+50+35+25+7=140$. Giá trị đại diện các nhóm: $6,8,10,12,14$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{23\cdot 6+50\cdot 8+35\cdot 10+25\cdot 12+7\cdot 14}{140}=\frac{1286}{140}\approx 9,1857.$$

Tổng $n_i{x}_i^2=23\cdot 36+50\cdot 64+35\cdot 100+25\cdot 144+7\cdot 196=12500$, nên
$$s^2=\frac{12500}{140}-{\bar{x}}^2\approx 89,2857-84,3773=4,9084,$$
$$s\approx 2,2155.$$

Tỉ số giữa số trung bình và độ lệch chuẩn:
$$\frac{\bar{x}}{s}\approx \frac{9,1857}{2,2155}\approx 4,146.$$

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s_x=\sqrt{s_x^2}=\sqrt{0,573}\approx 0,75697\approx 0,757$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng tần số, nhóm $[60;65)$ có tần số là $5$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tra bảng tần số: nhóm $[50;55)$ có tần số là 9. Kiểm tra tổng: $6+8+9+7+5+3=38$ khớp với cỡ mẫu 38 ô tô. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3,6,12,6,3; n=30; giá trị đại diện: 120,160,200,240,280.
a) Q1 ở vị trí thứ 7,5 thuộc [140;180): Q1 = 140 + (7,5-3)/6·40 = 170. Q3 ở vị trí thứ 22,5 thuộc [220;260): Q3 = 220 + (22,5-21)/6·40 = 230. IQR = 230-170 = 60 → đúng.
b) R = 300 - 100 = 200 → đúng.
c) X̄ = (3·120+6·160+12·200+6·240+3·280)/30 = 6000/30 = 200 ≠ 220 → sai.
d) Σf(x-X̄)² = 3·6400+6·1600+0+6·1600+3·6400 = 57600; s² = 57600/30 = 1920 → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 170, Q3 = 230 nên khoảng tứ phân vị = 60.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 - 100 = 200.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 6000/30 = 200, không phải 220.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai = 57600/30 = 1920.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=70-20=50$ (phút). Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 1220, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75$ với tần số $n_1=3,n_2=6,n_3=5,n_4=4$, $n=18$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}=3,31\overline{6}$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{18}\left[3(2,85-\bar{x}{)}^2+6(3,15-\bar{x}{)}^2+5(3,45-\bar{x}{)}^2+4(3,75-\bar{x}{)}^2\right]=\frac{1,66}{18}\approx 0,0922\approx 0,09$.
Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của các nhóm: 120, 160, 200, 240, 280 với tần số 3, 6, 12, 6, 3. a) Trung bình = 6000/30 = 200; tổng f·x² = 1257600, nên phương sai = 1257600/30 − 200² = 41920 − 40000 = 1920 → đúng. b) Q1: vị trí 7,5 thuộc nhóm [140;180): Q1 = 140 + (7,5−3)/6·40 = 170; Q3: vị trí 22,5 thuộc nhóm [220;260): Q3 = 220 + (22,5−21)/6·40 = 230; IQR = 230 − 170 = 60 → đúng. c) Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200 → đúng. d) Trung bình là 200, không phải 220 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (3·120+6·160+12·200+6·240+3·280)/30 = 6000/30 = 200. Σf·x² = 1257600, s² = 1257600/30 − 200² = 1920.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 140 + (7,5−3)/6·40 = 170; Q3 = 220 + (22,5−21)/6·40 = 230; IQR = 60.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình số sản phẩm bán được trong một ngày là 200, không phải 220.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=70-20=50$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 1210, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n=18$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}=3,31\overline{6}.$$

Tổng bình phương:
$$\sum n_i{x}_i^2=3(8,1225)+6(9,9225)+5(11,9025)+4(14,0625)=199,665.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{199,665}{18}-{\left(\frac{59,7}{18}\right)}^2\approx 11,0925-11,00028\approx 0,0922\approx 0,09.$$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $0,09$, khớp với đáp án A (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Giá trị đại diện các nhóm: $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$.
Tổng $n_i{x}_i=13(19,25)+45(19,75)+24(20,25)+12(20,75)+6(21,25)=250,25+888,75+486+249+127,5=2001,5$, nên $\bar{x}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.
Tổng $n_i{x}_i^2=13(370,5625)+45(390,0625)+24(410,0625)+12(430,5625)+6(451,5625)=40087,75$.
Phương sai: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225\approx 0,2773\approx 0,28$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Các giá trị đại diện: $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=13(370,5625)+45(390,0625)+24(410,0625)+12(430,5625)+6(451,5625)=40087,75$.

Phương sai: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225\approx 0,2773\approx 0,28$.

Vậy phương sai bằng $0,28$, khớp với đáp án D trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu $(T)$ được cho dưới dạng bảng tần số với các nhóm là các khoảng $[0;5)$, $[5;10)$, $[10;15)$, $[15;20)$, $[20;25)$, tức là dữ liệu đã được chia thành các nhóm (lớp) theo khoảng giá trị. Do đó mẫu số liệu $(T)$ là mẫu số liệu ghép nhóm. Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=3,25;x_2=4,75;x_3=6,25;x_4=7,75;x_5=9,25$.

Lớp 10A: $n_A=3+16+9+6+4=38$; tổng $=3(3,25)+16(4,75)+9(6,25)+6(7,75)+4(9,25)=225,5$, nên ${\bar{x}}_A=\frac{225,5}{38}\approx 5,93$.

Lớp 10B: $n_B=0+15+13+4+6=38$; tổng $=15(4,75)+13(6,25)+4(7,75)+6(9,25)=239$, nên ${\bar{x}}_B=\frac{239}{38}\approx 6,29$.

a) Phương sai lớp 10B: $\sum f_i{x}_i^2=15(4,75{)}^2+13(6,25{)}^2+4(7,75{)}^2+6(9,25{)}^2=1599,875$. Vậy $s_B^2=\frac{1599,875}{38}-{\left(\frac{239}{38}\right)}^2\approx 42,102-39,558\approx 2,54\ne 3,54$ → Sai.

b) $s_B^2\approx 2,54$; lớp 10A: $\sum f_i{x}_i^2=3(3,25{)}^2+16(4,75{)}^2+9(6,25{)}^2+6(7,75{)}^2+4(9,25{)}^2=1446,875$, $s_A^2=\frac{1446,875}{38}-{\bar{x}}_A^2\approx 38,076-35,215\approx 2,86$. Vì $s_B<s_A$ nên điểm 10B ít phân tán hơn → Đúng.

c) $|{\bar{x}}_B-{\bar{x}}_A|\approx |6,29-5,93|\approx 0,36\le 0,5$ → Đúng.

d) $n_A=n_B=38$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với giá trị đại diện các nhóm, ${\bar{x}}_B=\frac{239}{38}\approx 6,29$ và $s_B^2=\frac{1599,875}{38}-{\bar{x}}_B^2\approx 2,54\ne 3,54$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_B^2\approx 2,54<s_A^2\approx 2,86$ nên $s_B<s_A$, điểm 10B ít phân tán hơn.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A\approx 5,93$, ${\bar{x}}_B\approx 6,29$, chênh lệch $\approx 0,36\le 0,5$ điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$n_A=3+16+9+6+4=38$ và $n_B=0+15+13+4+6=38$, bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên. Nhóm đầu là $[40;45)$, nhóm cuối là $[60;65)$, nên $R=65-40=25$. Hàng tần số 5, 20, 18, 7, 3 (trang 6) không ảnh hưởng đến khoảng biến thiên. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1033, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện các nhóm: $x_1=3,25;x_2=4,75;x_3=6,25;x_4=7,75;x_5=9,25$.

Lớp 10A: $n_A=3+16+9+6+4=38$, tổng $=3(3,25)+16(4,75)+9(6,25)+6(7,75)+4(9,25)=225,5$, nên ${\bar{x}}_A=\frac{225,5}{38}\approx 5,934$.

Lớp 10B: $n_B=0+15+13+4+6=38$, tổng $=15(4,75)+13(6,25)+4(7,75)+6(9,25)=239$, nên ${\bar{x}}_B=\frac{239}{38}\approx 6,290$.

a) Phương sai lớp 10A: $s_A^2=\frac{1}{38}\left[3(3,25-5,934{)}^2+16(4,75-5,934{)}^2+9(6,25-5,934{)}^2+6(7,75-5,934{)}^2+4(9,25-5,934{)}^2\right]\approx 2,86$, nên $s_A\approx 1,69$. Phương sai lớp 10B: $s_B^2\approx 2,54$, $s_B\approx 1,59$. Vì $s_B<s_A$ nên điểm lớp 10B ít phân tán hơn → ĐÚNG.

b) $|{\bar{x}}_B-{\bar{x}}_A|\approx 0,355<0,5$ → ĐÚNG.

c) Phương sai lớp 10B $\approx 2,54\ne 3,54$ → SAI.

d) Xe dừng khi $v(t)=0\Rightarrow t=4$ (s); quãng đường $s(4)={\int }_0^4(20-5t)dt={\left[20t-\frac{5t^2}{2}\right]}_0^4=80-40=40$ m $\ne 50$ m → SAI.

Kết quả a=D, b=D, c=S, d=S khớp hoàn toàn với đáp án nguồn (mã đề 1022, dòng đầu của bảng đáp án trang 10–11: 1a=D, 1b=D, 1c=S, 1d=S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $s_A\approx 1,69$, $s_B\approx 1,59$. Vì $1,59<1,69$ nên điểm lớp 10B ít phân tán hơn → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\bar{x}}_A\approx 5,934$, ${\bar{x}}_B\approx 6,290$, chênh lệch $\approx 0,355<0,5$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Phương sai lớp 10B $\approx 2,54\ne 3,54$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Xe dừng khi $v(t)=0\Rightarrow t=4$ s; $s(4)={\int }_0^4(20-5t)dt=40$ m $\ne 50$ m → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=65-40=25$ (cm). Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1022, câu 6: B).