Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $10,30,50,70,90$ với tần số $5,9,12,10,6$ (tổng $n=42$).
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 10+9\cdot 30+12\cdot 50+10\cdot 70+6\cdot 90}{42}=\frac{2160}{42}\approx 51,43$.
Tổng $n_i{x}_i^2=5\cdot 100+9\cdot 900+12\cdot 2500+10\cdot 4900+6\cdot 8100=136200$.
Phương sai: $s^2=\frac{136200}{42}-{\left(\frac{2160}{42}\right)}^2\approx 3242,86-2644,90\approx 597,96\approx 598$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số $13;45;24;12;6$, $n=100$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.
Tổng $n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.
Phương sai: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275\approx 0,28$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm có tần số lớn nhất (cuối bảng có dữ liệu) và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có dữ liệu. Lớp 12A: nhóm có dữ liệu đầu tiên là $[150;155)$, nhóm cuối cùng có dữ liệu là $[175;180)$, nên ${\Delta }_A=180-150=30$. Lớp 12B: nhóm có dữ liệu đầu tiên là $[160;165)$, nhóm cuối cùng có dữ liệu là $[180;185)$, nên ${\Delta }_B=185-160=25$. Vậy ${\Delta }_A=30=25+5={\Delta }_B+5$, do đó khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [7,2;7,4): 2; [7,4;7,6): 4; [7,6;7,8): 7; [7,8;8,0): 5, nên n = 18. Giá trị đại diện: 7,3; 7,5; 7,7; 7,9. Trung bình mẫu: x̄ = (2·7,3 + 4·7,5 + 7·7,7 + 5·7,9)/18 = 138/18 ≈ 7,6667. Phương sai mẫu: s² = [2(7,3−7,6667)² + 4(7,5−7,6667)² + 7(7,7−7,6667)² + 5(7,9−7,6667)²]/17 = 0,66/17 ≈ 0,038824. Độ lệch chuẩn s = √0,038824 ≈ 0,197 (giờ). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 6, 2, 4, 4, 6, 8; n = 30. Giá trị đại diện: 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25.
a) Khoảng biến thiên = 51,5 − 48,5 = 3 → đúng.
b) n/4 = 7,5 nên Q1 thuộc nhóm [49; 49,5): Q1 = 49 + (7,5 − 6)/2 · 0,5 = 49,375. 3n/4 = 22,5 nên Q3 thuộc nhóm [51; 51,5): Q3 = 51 + (22,5 − 22)/8 · 0,5 = 51,03125. Khoảng tứ phân vị = 51,03125 − 49,375 = 1,65625 ≠ 3 → sai.
c) Trung bình = (48,75·6 + 49,25·2 + 49,75·4 + 50,25·4 + 50,75·6 + 51,25·8)/30 = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32 → sai.
d) Σ n_i x_i² = 75576,875; s² = 75576,875/30 − (1505,5/30)² ≈ 2519,2292 − 2518,3703 ≈ 0,8589 ≠ 0,7009 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 51,5 − 48,5 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 49,375; Q3 = 51,03125; khoảng tứ phân vị = 1,65625 ≠ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị trung bình = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 75576,875/30 − (1505,5/30)² ≈ 0,8589 ≠ 0,7009.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=1,45;x_2=1,95;x_3=2,45;x_4=2,95;x_5=3,45$ với tần số $n_1=4,n_2=2,n_3=1,n_4=4,n_5=2$, cỡ mẫu $n=13$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,45+2\cdot 1,95+1\cdot 2,45+4\cdot 2,95+2\cdot 3,45}{13}=\frac{30,85}{13}\approx 2,3731$.
Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=4(2,1025)+2(3,8025)+6,0025+4(8,7025)+2(11,9025)=80,63$.
Phương sai: $s^2=\frac{80,63}{13}-{\left(\frac{30,85}{13}\right)}^2\approx 6,2023-5,6316\approx 0,5707\approx 0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (theo hai đầu mút của bảng): $R=24,5-9,5=15$ (phút). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu có n=20, trung tâm nhóm lần lượt là 145;175;205;235;265;295.

a) Tính tứ phân vị nhóm ghép (vị trí Q1 là số liệu thứ 5, Q3 là số liệu thứ 15).
- Nha Trang: tần số tích lũy 1;2;3;11;18;20. Q1 thuộc [220;250): Q1=220+((5-3)/8)·30=227,5. Q3 thuộc [250;280): Q3=250+((15-11)/7)·30≈267,14. Khoảng tứ phân vị ≈39,64.
- Quy Nhơn: tần số tích lũy 0;1;3;7;17;20. Q1=220+((5-3)/4)·30=235. Q3=250+((15-7)/10)·30=274. Khoảng tứ phân vị=39.
Vì 39<39,64 nên theo khoảng tứ phân vị, số giờ nắng ở Quy Nhơn đồng đều hơn → mệnh đề a đúng.

b) Quy Nhơn: số trung bình x̄=(175·1+205·2+235·4+265·10+295·3)/20=5060/20=253. Phương sai s²=(1·(175-253)²+2·(205-253)²+4·(235-253)²+10·(265-253)²+3·(295-253)²)/20=(6084+4608+1296+1440+5292)/20=936. s=√936≈30,59 → mệnh đề b đúng.

c) Nha Trang: x̄=4850/20=242,5; s²=(9506,25+4556,25+1406,25+450+3543,75+5512,5)/20=1248,75; s≈35,34>30,59. Vậy theo độ lệch chuẩn thì Quy Nhơn đồng đều hơn, không phải Nha Trang → mệnh đề c sai.

d) Cả hai mẫu đều có giá trị nhỏ nhất là 130 (đầu nhóm đầu tiên có dữ liệu) và lớn nhất là 310 (cuối nhóm cuối cùng), nên khoảng biến thiên đều bằng 310-130=180 → mệnh đề d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của Nha Trang ≈39,64, của Quy Nhơn bằng 39. Vì 39<39,64 nên Quy Nhơn đồng đều hơn theo khoảng tứ phân vị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với Quy Nhơn: x̄=253, s²=936, s=√936≈30,59.
c) (AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn Nha Trang ≈35,34 lớn hơn Quy Nhơn ≈30,59, nên theo độ lệch chuẩn Quy Nhơn mới đồng đều hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu đều có khoảng biến thiên 310-130=180, bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm: 3; 7; 11; 15; 19 với tần số 4; 8; 13; 6; 4, nên n = 35. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 3+8\cdot 7+13\cdot 11+6\cdot 15+4\cdot 19}{35}=\frac{377}{35}\approx 10,7714$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 9+8\cdot 49+13\cdot 121+6\cdot 225+4\cdot 361=4795$. Phương sai: $s^2=\frac{4795}{35}-{\left(\frac{377}{35}\right)}^2=137-116,0245\approx 20,98$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, độ lệch chuẩn $s$ là căn bậc hai của phương sai $s^2$: $s=\sqrt{s^2}$ với $s\ge 0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn $s$ là số đo độ phân tán: nó đo mức độ biến động (phân tán) của các giá trị trong mẫu số liệu quanh số trung bình. $s$ càng nhỏ thì các số liệu càng tập trung gần số trung bình, $s$ càng lớn thì số liệu càng phân tán. Các phương án A, C, D lần lượt mô tả số trung bình, mốt và trung vị, không phải độ lệch chuẩn. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=25-15=10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn ban đầu $s=\sqrt{16}=4$. Khi nhân mỗi số liệu với 3 rồi cộng thêm 2, phương sai mới bằng $3^2\cdot s^2=9\cdot 16=144$ (việc cộng thêm hằng số không đổi phương sai). Vậy độ lệch chuẩn của mẫu mới là $\sqrt{144}=12$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, khoảng tứ phân vị là hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s=\sqrt{6,25}=2,50$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(a)={\sum }_{i=1}^n(x_i-a{)}^2=\sum x_i^2-2a\sum x_i+n{a}^2$. Đây là hàm bậc hai theo $a$ với hệ số $n>0$, nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $f^{\prime }(a)=-2\sum x_i+2na=0$, suy ra $a=\frac{\sum x_i}{n}=\bar{x}$ (số trung bình). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hai nhóm có cùng điểm trung bình $\bar{x}=8,0$, phương sai gộp là trung bình cộng có trọng số của hai phương sai: $$s^2=\frac{10\cdot 1,2+10\cdot 1,8}{20}=\frac{12+18}{20}=\frac{30}{20}=1,5.$$ (Không có thành phần sai lệch giữa các trung bình vì ${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B$.) Kết quả khớp với đáp số nguồn 1,5.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=19-14=5$ (năm). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100. Q1: vị trí 100/4 = 25 thuộc nhóm [8,8; 9,0): Q1 = 8,8 + (25-17)/25 · 0,2 = 8,864. Q3: vị trí 75 thuộc nhóm [9,0; 9,2): Q3 = 9,0 + (75-42)/44 · 0,2 = 9,15. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = 9,15 - 8,864 = 0,286.