Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R=20-0=20$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 3 là $s^2=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai: $s=\sqrt{25}=5$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0102 (câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai: $s=\sqrt{25}=5$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=60$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=15$, nằm trong lớp $[20;30)$ nên $Q_1=20+\frac{15-7}{19}\cdot 10=20+\frac{80}{19}\approx 24,21$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=45$, nằm trong lớp $[30;40)$ nên $Q_3=30+\frac{45-26}{24}\cdot 10=30+\frac{190}{24}\approx 37,92$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 37,92-24,21\approx 13,7$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bước 1: Mẫu số liệu gốc có tổng tần số $1+2+1+1+1+2+3+3+4+5+2+5=30$ (đúng).

Tổng $\sum x_i{n}_i=129\cdot 1+130\cdot 2+133\cdot 1+134\cdot 1+135\cdot 1+136\cdot 2+138\cdot 3+141\cdot 3+142\cdot 4+143\cdot 5+144\cdot 2+145\cdot 5=4196$.
Số trung bình mẫu gốc: $\bar{x}=\frac{4196}{30}=139,\mathrm{8666...}$

Tổng bình phương $\sum x_i^2{n}_i=16641+33800+17689+17956+18225+36992+57132+59643+80656+102245+41472+105125=587576$.
Phương sai mẫu gốc: $s_n^2=\frac{587576}{30}-{\left(\frac{4196}{30}\right)}^2=\frac{5216}{225}\approx 23,18222$, nên $s_n=\frac{4\sqrt{326}}{15}\approx 4,81479$.

Bước 2: Sáu nhóm có độ dài bằng nhau, nhóm đầu $[129;132)$, ta có các nhóm:
$[129;132)$: tần số $3$ (giá trị đại diện $130,5$);
$[132;135)$: tần số $2$ ($133,5$);
$[135;138)$: tần số $3$ ($136,5$);
$[138;141)$: tần số $3$ ($139,5$);
$[141;144)$: tần số $12$ ($142,5$);
$[144;147)$: tần số $7$ ($145,5$). Tổng $=30$.

Số trung bình mẫu ghép nhóm: ${\bar{x}}_g=\frac{3\cdot 130,5+2\cdot 133,5+3\cdot 136,5+3\cdot 139,5+12\cdot 142,5+7\cdot 145,5}{30}=\frac{4215}{30}=140,5$.

Phương sai mẫu ghép nhóm: $s_g^2=\frac{3(-10{)}^2+2(-7{)}^2+3(-4{)}^2+3(-1{)}^2+12(2{)}^2+7(5{)}^2}{30}=\frac{672}{30}=22,4$, nên $s_g=\sqrt{22,4}=\frac{4\sqrt{35}}{5}\approx 4,73286$.

Bước 3: $\left|s_n-s_g\right|\approx 4,81479-4,73286\approx 0,08193$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số: $2+7+10+11+2=32$, nên lớp 12A có 32 học sinh (A sai). Số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên: $10+11+2=23$ (B sai). Tần số lớn nhất là 11 thuộc nhóm $[55;60)$, không phải $[50;55)$ (C sai). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $=65-40=25$ (D đúng). Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính theo mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện các nhóm là 1; 3; 5; 7; 9.

Lớp 12A: ${\bar{x}}_A=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$.
Lớp 12B: ${\bar{x}}_B=\frac{1\cdot 1+4\cdot 3+15\cdot 5+16\cdot 7+4\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$. Hai số trung bình bằng nhau → a) Đúng.

Phương sai 12A: $\frac{3\cdot 1^2+5\cdot 3^2+5\cdot 5^2+25\cdot 7^2+2\cdot 9^2}{40}-5,9^2=\frac{1560}{40}-34,81=39-34,81=4,19$, nên $s_A=\sqrt{4,19}\approx 2,05>2$ → b) Sai.

Phương sai 12B: $\frac{1\cdot 1^2+4\cdot 3^2+15\cdot 5^2+16\cdot 7^2+4\cdot 9^2}{40}-5,9^2=\frac{1520}{40}-34,81=38-34,81=3,19>3$ → c) Đúng.

Vì $s_A^2=4,19\ne 3,19=s_B^2$, độ phân tán hai lớp khác nhau, điểm thi không đồng đều như nhau → d) Sai.

Kết quả khớp đáp án mã đề 1002: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu có số trung bình $\bar{x}=\frac{236}{40}=5,9$ nên bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai lớp 12A là $4,19$, độ lệch chuẩn $\approx 2,05>2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai lớp 12B là $3,19>3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai lớp có phương sai khác nhau ($4,19$ và $3,19$) nên điểm thi không đồng đều như nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=42$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=10,5$ và $\frac{3n}{4}=31,5$. Tần số tích lũy: $4;15;31;39;42$.
- $Q_1$ thuộc nhóm $[5;6)$: $Q_1=5+\frac{10,5-4}{11}\cdot 1=5+\frac{6,5}{11}\approx 5,5909$.
- $Q_3$ thuộc nhóm $[7;8)$: $Q_3=7+\frac{31,5-31}{8}\cdot 1=7,0625$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 7,0625-5,5909=1,4716\approx 1,47$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,47).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (đại diện hai nhóm đầu và cuối): $R=65-40=25$, nên khẳng định A đúng. Kiểm tra các khẳng định khác: B sai vì số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên là $10+11+2=23$ (không phải 22). C sai vì nhóm có tần số lớn nhất là $[55;60)$ với tần số 11 (nhóm $[50;55)$ chỉ có tần số 10). D sai vì tổng số học sinh là $2+7+10+11+2=32$ (không phải 35). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tính theo giá trị đại diện của mỗi nhóm. Lớp 12A: tần số 3,5,5,25,2 tại các giá trị 1,3,5,7,9. Số trung bình: ${\bar{x}}_A=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$. Lớp 12B: tần số 1,4,15,16,4: ${\bar{x}}_B=\frac{1+12+75+112+36}{40}=\frac{236}{40}=5,9$. Hai số trung bình bằng nhau nên câu b Đúng.

Phương sai 12A: $\frac{3\cdot 1^2+5\cdot 3^2+5\cdot 5^2+25\cdot 7^2+2\cdot 9^2}{40}-5,9^2=\frac{1560}{40}-34,81=4,19$, độ lệch chuẩn $\approx 2,05>2$ nên câu c Sai. Phương sai 12B: $\frac{1+36+375+784+324}{40}-34,81=38-34,81=3,19>3$ nên câu d Đúng. Vì $s_A^2=4,19\ne s_B^2=3,19$, hai lớp không đồng đều như nhau nên câu a Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai 12A là 4,19 còn 12B là 3,19, khác nhau nên điểm thi hai lớp không đồng đều như nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu đều có số trung bình $\bar{x}=\frac{236}{40}=5,9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai 12A: $\frac{1560}{40}-5,9^2=4,19$, suy ra độ lệch chuẩn $\approx 2,05>2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai 12B: $\frac{1520}{40}-5,9^2=3,19>3$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=42$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{42}{4}=10,5$ nằm trong nhóm $[5;6)$ (tần số tích lũy trước là 4, tần số nhóm là 11): $Q_1=5+\frac{10,5-4}{11}\cdot 1=5+\frac{6,5}{11}\approx 5,5909$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 42}{4}=31,5$ nằm trong nhóm $[7;8)$ (tần số tích lũy trước là $4+11+16=31$, tần số nhóm là 8): $Q_3=7+\frac{31,5-31}{8}\cdot 1=7,0625$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=7,0625-5,5909\approx 1,47$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do $Q_3\ge Q_1$ nên hiệu này không âm, đúng nghĩa độ phân tán. Vậy đáp án là $Q_3-Q_1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: 25, 35, 45, 55, 65 với tần số 3, 7, 10, 8, 2 (n=30). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 25+7\cdot 35+10\cdot 45+8\cdot 55+2\cdot 65}{30}=\frac{1340}{30}=\frac{134}{3}$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=3\cdot 625+7\cdot 1225+10\cdot 2025+8\cdot 3025+2\cdot 4225=63350$. Phương sai: $s^2=\frac{63350}{30}-{\left(\frac{134}{3}\right)}^2=\frac{6335}{3}-\frac{17956}{9}=\frac{19005-17956}{9}=\frac{1049}{9}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 4,14,8,10,6,2 (n=44). Giá trị đại diện: 42,5; 47,5; 52,5; 57,5; 62,5; 67,5. Tổng: $\sum n_i{x}_i=170+665+420+575+375+135=2340$, nên $\bar{x}=2340/44\approx 53,18$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=7225+31587,5+22050+33062,5+23437,5+9112,5=126475$. Phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{2340}{44}\right)}^2\approx 46,13$, nên $s\approx 6,79$. Gần nhất với 6,79 → chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm: giá trị nhỏ nhất là đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 50, giá trị lớn nhất là đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 300. Khoảng biến thiên $R=300-50=250$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 là một đại lượng đo mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu (50% dữ liệu ở giữa). Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Do đó ý nghĩa đúng là: nó cho biết mức độ phân tán (không phải 'không phân tán') của nửa giữa mẫu số liệu. Phương án A sai vì nói 'không phân tán'; C sai vì khoảng tứ phân vị thường được dùng thay cho khoảng biến thiên khi có dữ liệu bất thường; D sai vì nó giúp xác định các giá trị bất thường, không phải 'không bất thường'.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm có n=20, các giá trị đại diện: 171; 173; 175; 177 với tần số 3; 10; 6; 1.
a) Khoảng biến thiên R = 178 - 170 = 8 → đúng.
b) Trung bình: x̄ = (3·171 + 10·173 + 6·175 + 1·177)/20 = 3470/20 = 173,5 → đúng.
c) Phương sai: s² = (3·171² + 10·173² + 6·175² + 1·177²)/20 - 173,5² = 602092/20 - 30102,25 = 30104,6 - 30102,25 = 2,35 ≈ 2,4 (làm tròn đến hàng phần chục), không phải 2,3 → sai.
d) Độ lệch chuẩn: s = √2,35 ≈ 1,533 ≈ 1,5 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 178 - 170 = 8.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (3·171 + 10·173 + 6·175 + 1·177)/20 = 173,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 30104,6 - 173,5² = 2,35 ≈ 2,4, không phải 2,3.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √2,35 ≈ 1,533 ≈ 1,5.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn bằng căn của phương sai: $s=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. Vậy đáp án B.