Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=45-20=25$ (phút). Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$ và $\frac{3n}{4}=42$.

Tứ phân vị thứ nhất: nhóm chứa vị trí thứ 14 là $[12,5;14,5)$ (cumulative trước đó là 3). Ta có
$$Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 2=12,5+\frac{11}{6}=\frac{86}{6}=\frac{43}{3}.$$

Tứ phân vị thứ ba: nhóm chứa vị trí thứ 42 là $[16,5;18,5)$ (cumulative trước đó là 30). Ta có
$$Q_3=16,5+\frac{42-30}{24}\cdot 2=16,5+1=\frac{35}{2}.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{35}{2}-\frac{43}{3}=\frac{105-86}{6}=\frac{19}{6}.$$
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: 120, 160, 200, 240, 280 với tần số 3, 6, 12, 6, 3 (n=30).
a) Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200 → đúng.
b) Vị trí Q1: 30/4 = 7,5 thuộc nhóm [140;180): Q1 = 140 + (7,5−3)/6·40 = 170. Vị trí Q3: 22,5 thuộc nhóm [220;260): Q3 = 220 + (22,5−21)/6·40 = 230. Khoảng tứ phân vị = 230 − 170 = 60 → đúng.
c) Trung bình = (3·120 + 6·160 + 12·200 + 6·240 + 3·280)/30 = 6000/30 = 200 ≠ 220 → sai.
d) Phương sai = [3·(−80)² + 6·(−40)² + 12·0² + 6·40² + 3·80²]/30 = 57600/30 = 1920 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 170, Q3 = 230 nên khoảng tứ phân vị = 60.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 6000/30 = 200, không phải 220.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai = 57600/30 = 1920.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $90-80=10$.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là

$$\overline{x}=\frac{1\cdot 5+3\cdot 5+5\cdot 5+7\cdot 25+9\cdot 10}{50}=\frac{31}{5}=6,2.$$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

$$s^2=\frac{5{\left(1-6,2\right)}^2+5{\left(3-6,2\right)}^2+5{\left(5-6,2\right)}^2+25{\left(7-6,2\right)}^2+10{\left(9-6,2\right)}^2}{50}=5,76.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các nhóm: $R=x_{\max }-x_{\min }=65-40=25$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án chính thức (Mã 1211, Câu 12: A).

Các giá trị đại diện của mẫu số liệu là: 1; 3; 5; 7; 9
Tổng tần số là: $n=40$
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$\overline{x}=\frac{1.19+3.9+5.5+7.6+9.1}{40}=3,05.$$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$S^2=\frac{1}{40}\left(1.19^2+3.9^2+5.5^2+7.6^2+9.1^2\right)-3,05^2=5,70.$$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$S=\sqrt{5,70}=2,39.$$

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm $[158;162)$ có 40 học sinh, nhiều nhất → A đúng. Mẫu có 5 nhóm → B đúng. Độ dài mỗi nhóm là $154-150=4$, không phải 20 → C sai. Số học sinh từ 162 đến dưới 170: $26+8=34$ → D đúng. Khẳng định sai là C, khớp đáp án mã đề 0112.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=4,2-2,7=1,5$ (km). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+8+12+2+2=30$. Tần số tích lũy: nhóm $[100;120)$: 6; nhóm $[120;140)$: 14; nhóm $[140;160)$: 26; nhóm $[160;180)$: 28; nhóm $[180;200]$: 30.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=7,5$ nằm trong nhóm $[120;140)$ (tần số tích lũy trước là 6, tần số nhóm là 8), nên
$$Q_1=120+\frac{7,5-6}{8}\cdot 20=120+3,75=123,75\text{ (km)}.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=22,5$ nằm trong nhóm $[140;160)$ (tần số tích lũy trước là 14, tần số nhóm là 12), nên
$$Q_3=140+\frac{22,5-14}{12}\cdot 20=140+\frac{170}{12}=140+\frac{85}{6}\approx 154,17\text{ (km)}.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 154,17-123,75=30,42\approx 30,4\text{ (km)}.$$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta Q\approx 30,4$ km.

Chọn A

Áp dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

$$S_{\text{gheˊp}}^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2+(n_3-1)S_3^2}{n_1+n_2+n_3-3}$$

Tính tổng $(n_i-1)\times S_i^2$ cho mỗi nhóm:

$(n_1-1)S_1^2=(10-1)\times 1,2=9\times 1,2=10,8$

$(n_2-1)S_2^2=(10-1)\times 1,0=9\times 1,0=9,0$

$(n_3-1)S_3^2=(10-1)\times 1,4=9\times 1,4=12,6$

Tính tổng các giá trị vừa tính được: $10,8+9,0+12,6=32,4$

Tính số lượng quan sát trừ đi 3: $n_1+n_2+n_3-3=30-3=27$

Tính phương sai ghép nhóm: $S_{\text{gheˊp}}^2=\frac{32,4}{27}=1,2$.

a) Sai. Cỡ mẫu $n=20$. Gọi $x_1;x_2;\dots ;x_{20}$ là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: $x_1\in [130;160)$; $x_2\in [160;190)$; $x_3\in [190;220)$; $x_4;\dots ;x_{11}\in [220;250)$; $x_{12};\dots ;x_{18}\in [250;280)$; $x_{19};x_{20}\in [280;310)$. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)\in [220;250)$. Do đó $Q_1=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+1+1)}{8}(250-220)=227,5$. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)\in [250;280)$. Do đó $Q_3=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+1+1+8)}{7}(280-250)=\frac{1870}{7}$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=39,64$.

b) Đúng. Gọi $y_1;y_2;\dots ;y_{20}$ là mẫu số liệu gốc của Quy Nhơn: $y_1\in [160;190)$; $y_2;y_3\in [190;220)$; $y_4;\dots ;y_7\in [220;250)$; $y_8;\dots ;y_{17}\in [250;280)$; $y_{18};\dots ;y_{20}\in [280;310)$. $Q_1^{\prime }=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+2)}{4}(250-220)=235$; $Q_3^{\prime }=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+2+4)}{10}(280-250)=274$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q^{\prime }=Q_3^{\prime }-Q_1^{\prime }=39<39,64$. Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

c) Đúng. $\overline{x_Y}=\frac{1.175+2.205+4.235+10.265+3.295}{20}=253$; ${\sigma }_Y=\sqrt{\frac{1.175^2+2.205^2+4.235^2+10.265^2+3.295^2}{20}-253^2}\approx 30,59$.

d) Sai. $\overline{x_X}=\frac{1.145+1.175+1.205+8.235+7.265+2.295}{20}=242,5$; ${\sigma }_X\approx 35,34>{\sigma }_Y$. Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.
a) a) Sai. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+1+1)}{8}(250-220)=227,5$. Tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+1+1+8)}{7}(280-250)=\frac{1870}{7}$. Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=39,64$.
b) b) Đúng. Với số liệu Quy Nhơn: $Q_1^{\prime }=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+2)}{4}(250-220)=235$; $Q_3^{\prime }=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+2+4)}{10}(280-250)=274$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q^{\prime }=Q_3^{\prime }-Q_1^{\prime }=39<39,64$ nên số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.
c) c) Đúng. Số trung bình: $\overline{x_Y}=\frac{1.175+2.205+4.235+10.265+3.295}{20}=253$. Độ lệch chuẩn: ${\sigma }_Y=\sqrt{\frac{1.175^2+2.205^2+4.235^2+10.265^2+3.295^2}{20}-253^2}\approx 30,59$.
d) d) Sai. Xét số liệu của Nha Trang: $\overline{x_X}=\frac{1.145+1.175+1.205+8.235+7.265+2.295}{20}=242,5$; ${\sigma }_X=\sqrt{\frac{1.145^2+1.175^2+1.205^2+8.235^2+7.265^2+2.295^2}{20}-242,5^2}\approx 35,34>30,59$. Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm [160,164), [164,168), [168,172), [172,176), [176,180) lần lượt là 3, 5, 8, 4, 1 nên n = 21. Giá trị đại diện: 162, 166, 170, 174, 178. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}\approx 169,05$. Phương sai: $s^2=\frac{600500}{21}-{\left(\frac{3550}{21}\right)}^2\approx 18,14$, nên độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{18,14}\approx 4,26$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 5, 5, 7, 5, 3 (n=25). Giá trị đại diện các nhóm: 6, 8, 10, 12, 14. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{5\cdot 6+5\cdot 8+7\cdot 10+5\cdot 12+3\cdot 14}{25}=\frac{242}{25}=9,68$. Tổng bình phương: $5\cdot 36+5\cdot 64+7\cdot 100+5\cdot 144+3\cdot 196=2508$, nên $\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2=\frac{2508}{25}=100,32$. Phương sai: $s^2=100,32-9,68^2=100,32-93,7024=6,6176\approx 6,62$. Khớp đáp án A (đáp án nguồn 10A).

Số trung bình:

$\overline{x}=\frac{3.2,85+6.3,15+5.3,45+4.3,75+2.4,05}{20}=3,39$

Phương sai:

$S^2=\frac{3.2,85^2+6.3,15^2+5.3,45^2+4.3,75^2+2.4,05^2}{20}-3,39^2=0,1314$

Độ lệch chuẩn:

$\sigma =\sqrt{0,1314}\approx 0,36$

a) $\overline{x_D}\approx 6,92(m)$ nên a) đúng.

b) $s_D\approx \sqrt{0,073}\approx 0,27(m)$ nên b) đúng.

c) $s_H\approx \sqrt{0,063}\approx 0,25(m)$, phương sai $\approx 0,063$ (không phải 0,16) nên c) sai.

d) Do $s_H<s_D$ nên kết quả của Huy đồng đều hơn của Dũng nên d) sai.

(Ghi chú: bảng đáp án nguồn in cột Câu 3 lỗi đánh máy "b) Đúng, c) Đúng, c) Sai, d) Sai"; căn cứ lời giải chi tiết: a đúng, b đúng, c sai, d sai.)
a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng cho bởi Bảng 15 là: $$\overline{x_D}=\frac{3\cdot 6,34+7\cdot 6,58+5\cdot 6,82+20\cdot 7,06+5\cdot 7,30}{40}=\frac{276,88}{40}\approx 6,92(m).$$ nên a) đúng.
b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng cho bởi Bảng 15 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là: $$s_D^2=\frac{1}{40}[3\cdot (6,34-6,9222{)}^2+7\cdot (6,58-6,922{)}^2+5\cdot (6,82-6,922{)}^2$$ $$+20\cdot (7,06-6,922{)}^2+5\cdot (7,30-6,922{)}^2]$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_D\approx \sqrt{0,073}\approx 0,27(m)$ nên b đúng.
c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy cho bởi Bảng 16 là: $${\overline{x}}_H=\frac{2\cdot 6,34+5\cdot 6,58+8\cdot 6,82+19\cdot 7,06+6\cdot 7,30}{40}=\frac{278,08}{40}\approx 6,95(m).$$ Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy cho bởi Bảng 16 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là: $$s_H^2=\frac{1}{40}[2\cdot (6,34-6,95{)}^2+5\cdot (6,58-6,95{)}^2$$ $$+8\cdot (6,82-6,95{)}^2+19\cdot (7,06-6,95{)}^2$$ $$+6\cdot (7,30-6,95{)}^2]$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_H\approx \sqrt{0,063}\approx 0,25(m)$ nên c sai.
d) Do $s_H\approx 0,25<s_D\approx 0,27$ nên kết quả nhảy xa của vận động viên Huy đồng đều hơn kết quả nhảy xa của vận động viên Dũng nên d sai.

Chọn D. Tần số tích lũy của các nhóm [2,7;3,0), [3,0;3,3), [3,3;3,6), [3,6;3,9), [3,9;4,2) lần lượt là 3; 9; 14; 18; 20 (n = 20). Ta có $\frac{n}{4}=5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm [3,0;3,3): $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Ta có $\frac{3n}{4}=15$ nên $Q_3$ thuộc nhóm [3,6;3,9): $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$.

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện:



a) ${\overline{x}}_1=125,28$; $S_1^2=7,5216$; $S_1=\sqrt{7,5216}$. Chọn ĐÚNG.

b) ${\overline{x}}_2=\frac{16.121+4.123+3.125+6.127+21.129}{50}=125,48$. Chọn SAI.

c) $S_2^2=\frac{1}{50}\left(16.121^2+4.123^2+3.125^2+6.127^2+21.129^2\right)-(125,48{)}^2=12,4096$; $S_2=\sqrt{12,4096}$. Chọn SAI.

d) Dễ thấy $S_1<S_2$ nên cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$. Chọn ĐÚNG.
a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_1=\frac{8.121+9.123+12.125+10.127+11.129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\left(8.121^2+9.123^2+12.125^2+10.127^2+11.129^2\right)-(125,28{)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{S_1^2}=\sqrt{7,5216}$. Chọn ĐÚNG.
b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16.121+4.123+3.125+6.127+21.129}{50}=125,48.$$ Chọn SAI.
c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\left(16.121^2+4.123^2+3.125^2+6.127^2+21.129^2\right)-(125,48{)}^2=12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{S_2^2}=\sqrt{12,4096}$. Chọn SAI.
d) Theo kết quả tính toán ở phần c) ta có: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ lần lượt là: $$S_1^2=7,5216,S_1=\sqrt{S_1^2}=\sqrt{7,5216}.$$ Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $B$ lần lượt là: $$S_2^2=12,4096,S_2=\sqrt{S_2^2}=\sqrt{12,4096}.$$ Dễ thấy $S_1<S_2$ vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$. Chọn ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=70-20=50$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=x_M-x_m=70-20=50$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 211: A).