Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trường A: n=150, giá trị đại diện 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5 với tần số 40;20;30;40;20. Trung bình x̄A = 1105/150 ≈ 7,37. Tổng f·x² = 8437,5 nên phương sai s²A = 8437,5/150 − (1105/150)² ≈ 1,98, độ lệch chuẩn sA ≈ 1,41 ≠ 1,33 → b) sai. Trường B: tần số 20;50;40;30;10, x̄B = 1085/150 ≈ 7,23, tổng f·x² = 8037,5, s²B ≈ 1,26, sB ≈ 1,12 ≠ 1,65 → c) sai. Vì sB < sA nên theo độ lệch chuẩn trường B đồng đều hơn → d) đúng. Khoảng tứ phân vị: Trường A: Q1 = 5 + (37,5−0)/40 = 5,9375 (nhóm [5;6) vì 37,5 ≤ 40), Q3 = 8 + (112,5−90)/40 = 8,5625, ΔQA ≈ 2,63. Trường B: Q1 = 6 + (37,5−20)/50 = 6,35, Q3 = 8 + (112,5−110)/30 ≈ 8,08, ΔQB ≈ 1,73. Vì ΔQB < ΔQA nên theo khoảng tứ phân vị trường B đồng đều hơn → a) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Q1_A = 5,9375; Q3_A = 8,5625 nên khoảng tứ phân vị A ≈ 2,63. Q1_B = 6,35; Q3_B ≈ 8,08 nên khoảng tứ phân vị B ≈ 1,73 < 2,63, do đó trường B đồng đều hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄A = 1105/150 ≈ 7,37; s²A = 8437,5/150 − (1105/150)² ≈ 1,98 nên sA ≈ 1,41 ≠ 1,33.
c) (AI giải đề cho tôi)
x̄B = 1085/150 ≈ 7,23; s²B = 8037,5/150 − (1085/150)² ≈ 1,26 nên sB ≈ 1,12 ≠ 1,65.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì sB ≈ 1,12 < sA ≈ 1,41 nên theo độ lệch chuẩn trường B có điểm đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=33+35+19+25+28+27=167$. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $25,35,45,55,65,75$.
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải nhóm cuối và đầu mút trái nhóm đầu: $80-20=60\ne 70$ → sai.
b) $\frac{n}{4}=\frac{167}{4}=41,75$. Cộng dồn: nhóm $[20;30)$ có 33 người, nhóm $[30;40)$ có $33+35=68$ người. Vì $33<41,75\le 68$ nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[30;40)$ → đúng.
c) Tần số tích lũy để tính trung bình: $\bar{x}=\frac{25\cdot 33+35\cdot 35+45\cdot 19+55\cdot 25+65\cdot 28+75\cdot 27}{167}=\frac{8125}{167}\approx 48,65$. Phương sai: $s^2=\frac{625\cdot 33+1225\cdot 35+2025\cdot 19+3025\cdot 25+4225\cdot 28+5625\cdot 27}{167}-{\bar{x}}^2=\frac{447775}{167}-{\left(\frac{8125}{167}\right)}^2\approx 2681,29-2367,08\approx 314,20\ne 316,10$ → sai.
d) Giá trị đại diện của nhóm $[30;40)$ là $\frac{30+40}{2}=35$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=80-20=60\ne 70$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=41,75$, tần số tích lũy đến nhóm $[20;30)$ là 33, đến nhóm $[30;40)$ là 68, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[30;40)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=\frac{8125}{167}\approx 48,65$; $s^2=\frac{447775}{167}-{\bar{x}}^2\approx 314,20\ne 316,10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm $[30;40)$ là $\frac{30+40}{2}=35$.

a) Đúng: $R=10-4=6$. b) Đúng: ${\overline{x}}_1=\frac{131}{18}\approx 7,3$; ${\overline{x}}_2=\frac{22}{3}\approx 7,3$. c) Mâu thuẫn nội bộ trong nguồn: bảng đáp án chính thức (trang 8) ghi c) S (Sai), nhưng lời giải chi tiết (trang 22) tính $s_1^2=\frac{389}{225}\approx 1,73$ và kết luận "Mệnh đề đúng". Đáp án của mệnh đề c) để unknown (null) chờ human review. d) Đúng: $s_2^2=\frac{563}{450}\approx 1,25<s_1^2$ nên nhóm 2 đồng đều hơn.
a) Mệnh đề đúng vì khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu đã cho ở 2 bảng trên là $R=10-4=6$.
b) Mệnh đề đúng, vì: Điểm kiểm tra trung bình của nhóm học sinh 1 là $${\overline{x}}_1=\frac{1.4,5+2.5,5+4.6,5+6.7,5+3.8,5+2.9,5}{18}=\frac{131}{18}\approx 7,3$$ Điểm kiểm tra trung bình của nhóm học sinh 2 là $${\overline{x}}_2=\frac{1.4,5+1.5,5+3.6,5+9.7,5+3.8,5+1.9,5}{18}=\frac{22}{3}\approx 7,3$$ Vậy điểm kiểm tra trung bình của hai nhóm học sinh trên là xấp xỉ bằng nhau.
c) NGUỒN MÂU THUẪN — đáp án chưa xác định (chờ human review): Bảng đáp án chính thức (trang 8) ghi Câu 3 c) S. Tuy nhiên lời giải chi tiết trong nguồn (trang 22) lại viết "c) Mệnh đề đúng, vì Phương sai của mẫu số liệu của nhóm học sinh 1 là $$s_1^2=\frac{1.(4,5-7,3{)}^2+2.(5,5-7,3{)}^2+4.(6,5-7,3{)}^2+6.(7,5-7,3{)}^2+3.(8,5-7,3{)}^2+2.(9,5-7,3{)}^2}{18}=\frac{389}{225}\approx 1,73$$". Về mặt toán học $s_1^2=\frac{389}{225}\approx 1,73$ nên mệnh đề đúng; bảng đáp án chính thức ghi "Sai" là nghi ngờ sai sót in ấn. Không tự ý chọn một trong hai đáp án mâu thuẫn.
d) Mệnh đề đúng, vì phương sai của mẫu số liệu của nhóm học sinh 2 là $$s_2^2=\frac{1.(4,5-7,3{)}^2+1.(5,5-7,3{)}^2+3.(6,5-7,3{)}^2+9.(7,5-7,3{)}^2+3.(8,5-7,3{)}^2+1.(9,5-7,3{)}^2}{18}=\frac{563}{450}\approx 1,25$$ Vì $s_1^2>s_2^2$ nên điểm kiểm tra của nhóm học sinh 2 đồng đều hơn của nhóm học sinh 1.

(AI giải đề cho tôi)
Quy Nhơn: n=20, các giá trị đại diện 145,175,205,235,265,295 với tần số 0,1,2,4,10,3. a) Tổng = 175+410+940+2650+885 = 5060, mean = 5060/20 = 253 ≠ 242,5 → sai. b) Khoảng biến thiên = 310 − 130 = 180 → đúng. c) Quy Nhơn: s² = [6084·1 + 2304·2 + 324·4 + 144·10 + 1764·3]/20 = 18720/20 = 936, s ≈ 30,6. Nha Trang: mean = 4850/20 = 242,5; s² = [9506,25 + 4556,25 + 1406,25 + 56,25·8 + 506,25·7 + 2756,25·2]/20 = 24975/20 = 1248,75, s ≈ 35,3. Vì s_QuyNhơn < s_NhaTrang nên Quy Nhơn đồng đều hơn → đúng. d) Nha Trang: Q1 ở vị trí thứ 5 thuộc [220;250): Q1 = 220 + (2/8)·30 = 227,5; Q3 ở vị trí thứ 15 thuộc [250;280): Q3 = 250 + (4/7)·30 ≈ 267,14; IQR ≈ 39,64 ≠ 45 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình Quy Nhơn = 5060/20 = 253 giờ, không phải 242,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 310 − 130 = 180 giờ.
c) (AI giải đề cho tôi)
s_QuyNhơn ≈ 30,6 < s_NhaTrang ≈ 35,3 nên Quy Nhơn đồng đều hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 227,5; Q3 ≈ 267,14; IQR ≈ 39,64 ≠ 45.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=100-75=25$ (km/h). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
n = 8+17+25+20+10 = 80, giá trị đại diện các nhóm: 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5.

a) Tứ phân vị: n/4 = 20 nên Q1 thuộc nhóm [1;2): Q1 = 1 + (20−8)/17 = 29/17. 3n/4 = 60 nên Q3 thuộc nhóm [3;4): Q3 = 3 + (60−50)/20 = 3,5. Khoảng tứ phân vị = 3,5 − 29/17 = 61/34 ≈ 1,79 ≠ 61/31 → Sai.

b) Tần số trung bình: x̄ = (8·0,5 + 17·1,5 + 25·2,5 + 20·3,5 + 10·4,5)/80 = 207/80 = 2,5875. Σn_i x_i² = 2 + 38,25 + 156,25 + 245 + 202,5 = 644. s² = 644/80 − (2,5875)² = 8,05 − 6,6952 ≈ 1,35 → Đúng.

c) Với mẫu số liệu nhóm, khoảng biến thiên tính theo giá trị đại diện: 4,5 − 0,5 = 4 ≠ 5 → Sai.

(d) Bỏ nhóm cuối: n = 70, x̄ = 162/70 = 81/35 ≈ 2,3143. Σn_i x_i² = 441,5. s² = 441,5/70 − (81/35)² ≈ 6,3071 − 5,3559 ≈ 0,9512, s ≈ 0,975 ≈ 0,97 → Đúng.

Khớp đáp án mã đề 122: SDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 1 + 12/17 = 29/17, Q3 = 3,5 nên khoảng tứ phân vị = 61/34 ≈ 1,79, không phải 61/31.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 207/80 = 2,5875; s² = 644/80 − 2,5875² ≈ 1,35.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên theo giá trị đại diện: 4,5 − 0,5 = 4 ≠ 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bỏ nhóm cuối: n = 70, x̄ = 81/35, s² ≈ 0,9512, s ≈ 0,97.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số tương ứng $13;45;24;12;6$, nên $n=100$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015.$$

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275.$$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,53$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=21-3=18(m^3)$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 122, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n=18$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}=3,31\overline{6}$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{18}\left[3(2,85-\bar{x}{)}^2+6(3,15-\bar{x}{)}^2+5(3,45-\bar{x}{)}^2+4(3,75-\bar{x}{)}^2\right]=\frac{1,66}{18}\approx 0,0922\approx 0,09$.
Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 122, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n=18$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}\approx 3,3167$.

Phương sai: $s^2=\frac{3\cdot 2,85^2+6\cdot 3,15^2+5\cdot 3,45^2+4\cdot 3,75^2}{18}-{\bar{x}}^2=\frac{199,665}{18}-(3,3167{)}^2\approx 11,0925-11,0003\approx 0,0922\approx 0,09$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 121: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (DSDS).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Giá trị đại diện các nhóm: $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$.

Số trung bình mẫu: $$\bar{x}=\frac{13(19,25)+45(19,75)+24(20,25)+12(20,75)+6(21,25)}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015.$$

Tổng $\sum n_i{x}_i^2=13(370,5625)+45(390,0625)+24(410,0625)+12(430,5625)+6(451,5625)=40087,75$.

Phương sai mẫu: $$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275.$$

Độ lệch chuẩn: $$s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,53.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=21-3=18(m^3)$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 121, Câu 4: C).

Chọn D
Cỡ mẫu $n=130$.
Gọi $x_1,x_2,...,x_{130}$ là mẫu số liệu tuổi thọ của các bóng đèn được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_1,x_2,...,x_{11}\in [3;5)$; $x_{11},x_{12},...,x_{31}\in [5;7)$; $x_{32},x_{33},...,x_{60}\in [7;9)$; $x_{61},x_{62},...,x_{100}\in [9;11)$; $x_{101},x_{102},...,x_{130}\in [11;13)$
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{33}\in [7;9)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$Q_1=7+\frac{\frac{130}{4}-(11+20)}{29}\cdot (9-7)=\frac{206}{29}$$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{98}\in [9;11)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$Q_3=9+\frac{\frac{130.3}{4}-(11+20+29)}{40}\cdot (11-9)=\frac{87}{8}$$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{87}{8}-\frac{206}{29}=\frac{875}{232}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ghép nhóm: $[140;150)$ có 3 giá trị (146,148,148); $[150;160)$ có 5 giá trị (150,155,158,155,150); $[160;170)$ có 9 giá trị (160,160,161,162,163,168,169,160,165); $[170;180)$ có 2 giá trị (170,179); $[180;190)$ có 1 giá trị (182). Tổng $n=20$. Các giá trị đại diện: $145,155,165,175,185$. Tần số: $3,5,9,2,1$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 145+5\cdot 155+9\cdot 165+2\cdot 175+1\cdot 185}{20}=\frac{3230}{20}=161,5$.

Phương sai: $s^2=\frac{3(145-161,5{)}^2+5(155-161,5{)}^2+9(165-161,5{)}^2+2(175-161,5{)}^2+1(185-161,5{)}^2}{20}$
$=\frac{816,75+211,25+110,25+364,5+552,25}{20}=\frac{2055}{20}=102,75$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{102,75}\approx 10,136\approx 10,1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=45-20=25$ (phút). Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Đề 2061, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm có các giá trị đại diện: 3, 7, 11, 15, 19 với tần số 4, 8, 13, 6, 4; cỡ mẫu n = 35. Số trung bình: x̄ = (3·4 + 7·8 + 11·13 + 15·6 + 19·4)/35 = (12 + 56 + 143 + 90 + 76)/35 = 377/35 ≈ 10,77. Tổng bình phương: 9·4 + 49·8 + 121·13 + 225·6 + 361·4 = 36 + 392 + 1573 + 1350 + 1444 = 4795. Phương sai: s² = 4795/35 − (377/35)² ≈ 137 − 116,02 ≈ 20,98. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Đề 2061, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm $[1;5)$, $[5;9)$, $[9;13)$, $[13;17)$, $[17;21)$ lần lượt là $4$, $8$, $13$, $6$, $4$ nên $n=35$. Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=3$, $x_2=7$, $x_3=11$, $x_4=15$, $x_5=19$. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{4\cdot 3+8\cdot 7+13\cdot 11+6\cdot 15+4\cdot 19}{35}=\frac{377}{35}\approx 10,77$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 9+8\cdot 49+13\cdot 121+6\cdot 225+4\cdot 361=4795$. Phương sai: $s^2=\frac{4795}{35}-{\left(\frac{377}{35}\right)}^2=137-\frac{142129}{1225}\approx 20,98$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Đề 1061, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phần II, Câu 2 (Mã đề 1061) – thống kê mô tả:
a) Đúng. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_2=Q_3-Q_1$ được dùng để xác định các giá trị bất thường (ngoại lệ) của mẫu số liệu: giá trị $x$ được coi là bất thường nếu $x<Q_1-1,5{\Delta }_2$ hoặc $x>Q_3+1,5{\Delta }_2$.
b) Sai. Phương sai $s^2$ có đơn vị là bình phương đơn vị của mẫu số liệu (ví dụ mẫu số liệu đo bằng cm thì phương sai có đơn vị cm²). Chính độ lệch chuẩn $s$ mới có cùng đơn vị với mẫu số liệu.
c) Đúng. Khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán (đồng thời $R$ càng nhỏ thì mẫu càng tập trung).
d) Đúng. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ là đại lượng đo độ phân tán của mẫu số liệu quanh giá trị trung bình; $s$ càng lớn mẫu càng phân tán.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ-S-Đ-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_2=Q_3-Q_1$ dùng để xác định giá trị bất thường: $x<Q_1-1,5{\Delta }_2$ hoặc $x>Q_3+1,5{\Delta }_2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của mẫu số liệu; chỉ độ lệch chuẩn mới cùng đơn vị với mẫu số liệu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
d) (AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn đo độ phân tán của mẫu số liệu quanh giá trị trung bình.

(AI giải đề cho tôi)
Ghép 20 giá trị vào 5 nhóm độ dài 10: nhóm $[140;150)$ có 3 giá trị (146, 148, 148); $[150;160)$ có 5 giá trị (150, 155, 150, 155, 158); $[160;170)$ có 9 giá trị (160, 160, 161, 162, 163, 168, 169, 160, 165); $[170;180)$ có 2 giá trị (170, 179); $[180;190)$ có 1 giá trị (182).

Số trung tâm các nhóm: $x_1=145,x_2=155,x_3=165,x_4=175,x_5=185$ với tần số $n_1=3,n_2=5,n_3=9,n_4=2,n_5=1$, $n=20$.

Tính $\overline{x^2}=\frac{3\cdot 145^2+5\cdot 155^2+9\cdot 165^2+2\cdot 175^2+1\cdot 185^2}{20}=\frac{63075+120125+245025+61250+34225}{20}=\frac{523700}{20}=26185$.

Số trung bình: $\overline{x}=\frac{3\cdot 145+5\cdot 155+9\cdot 165+2\cdot 175+1\cdot 185}{20}=\frac{3230}{20}=161,5$, nên ${\overline{x}}^2=26082,25$.

Phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2=26185-26082,25=102,75$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{102,75}\approx 10,1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (10.1).