Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

$\overline{x}=3,39$ (0,25 điểm)
$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(x_1^2.m_1+x_2^2.m_2+x_3^2.m_3+x_4^2.m_4+x_5^2.m_5\right)-{\overline{x}}^2}$ (0,25 điểm)
$=0,36$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=5-2=3$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=20,x_2=22,x_3=24,x_4=26,x_5=28$ với tần số $4,7,10,6,8$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{20\cdot 4+22\cdot 7+24\cdot 10+26\cdot 6+28\cdot 8}{35}=\frac{854}{35}=24,4$$

Tổng bình phương:
$$\sum x_i^2{n}_i=400\cdot 4+484\cdot 7+576\cdot 10+676\cdot 6+784\cdot 8=21076$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{21076}{35}-24,4^2\approx 602,171-595,36=6,811\approx 6,8$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 6,8.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy đại diện mỗi nhóm là giá trị giữa: 20, 22, 24, 26, 28 với tần số 5, 4, 10, 7, 9. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{5\cdot 20+4\cdot 22+10\cdot 24+7\cdot 26+9\cdot 28}{35}=\frac{862}{35}\approx 24,6286$. Tổng bình phương: $5\cdot 20^2+4\cdot 22^2+10\cdot 24^2+7\cdot 26^2+9\cdot 28^2=21484$, nên $\frac{1}{35}\sum n_i{x}_i^2\approx 613,8286$. Phương sai: $s^2=613,8286-(24,6286{)}^2\approx 7,26\approx 7,3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,3.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhóm (dạng rời rạc hóa) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu. Nhóm chứa giá trị nhỏ nhất là $[5;6)$ với giá trị đại diện $5,5$; nhóm chứa giá trị lớn nhất là $[9;10)$ với giá trị đại diện $9,5$. Khoảng biến thiên $R=9,5-5,5=4$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm: 10, 14, 19, 32, 25 nên $n=100$. Giá trị đại diện: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5. Tính trung bình: $\bar{x}=\frac{5,5\cdot 10+6,5\cdot 14+7,5\cdot 19+8,5\cdot 32+9,5\cdot 25}{100}=\frac{798}{100}=7,98$. Tổng bình phương: $30,25\cdot 10+42,25\cdot 14+56,25\cdot 19+72,25\cdot 32+90,25\cdot 25=6531$. Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: $s^2=\frac{6531}{100}-7,98^2=65,31-63,6804=1,6296$, nên $s=\sqrt{1,6296}\approx 1,2766\in (1,25;1,28)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=x_m-x_1=5-0=5$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1214, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số lần đo bằng 87 nên $x=87-(25+14+12+4)=32$, mệnh đề d đúng. Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $2,75-0,25=2,5$, mệnh đề b đúng. Với $n=87$, vị trí $Q_3$ là $\frac{3\cdot 87}{4}=65,25$; tích lũy: 25, 57, 71, 83, 87 nên $Q_3$ thuộc nhóm $[1,25;1,75)$: $Q_3=1,25+\frac{65,25-57}{14}\cdot 0,5\approx 1,54$ giây, mệnh đề a đúng. Tần số nhóm $[0,75;1,25)$ là 32, giá trị đại diện $0,5;1;1,5;2;2,5$: $\bar{x}=\frac{99,5}{87}\approx 1,1437$; $s^2=\frac{142,75}{87}-{\bar{x}}^2\approx 0,3328$ nên $s\approx 0,58\ne 0,33$, mệnh đề c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí $Q_3=65,25$ thuộc nhóm $[1,25;1,75)$: $Q_3=1,25+\frac{65,25-57}{14}\cdot 0,5\approx 1,54$ giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=2,75-0,25=2,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}\approx 1,1437$, $s^2\approx 0,3328$, $s\approx 0,58$ giây, không phải $0,33$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=87-25-14-12-4=32$.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tính khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm với $n=100$.

Tần số tích lũy: $5;17;42;86;100$.

• $Q_1$: vị trí $\frac{n}{4}=25$, thuộc nhóm $[8,8;9,0)$ (tần số 25, tích lũy trước 17):
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,8+0,064=8,864.$$

• $Q_3$: vị trí $\frac{3n}{4}=75$, thuộc nhóm $[9,0;9,2)$ (tần số 44, tích lũy trước 42):
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,0+0,15=9,15.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1214, Câu 2: 0,29).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số lần đo là 87 nên $x=87-(25+14+12+4)=32$ → a đúng. Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $2,75-0,25=2,5$ → c đúng. Tính trung bình với các giá trị đại diện $0,5;1;1,5;2;2,5$: $\bar{x}=\frac{25\cdot 0,5+32\cdot 1+14\cdot 1,5+12\cdot 2+4\cdot 2,5}{87}=\frac{99,5}{87}\approx 1,1437$. $\sum f{x}^2=25\cdot 0,25+32\cdot 1+14\cdot 2,25+12\cdot 4+4\cdot 6,25=142,75$, nên $s^2=\frac{142,75}{87}-(1,1437{)}^2\approx 0,3327$, $s\approx 0,58$ giây, không phải $0,33$ → b sai. $Q_3$: $\frac{3\cdot 87}{4}=65,25$; tích lũy: 25, 57, 71 nên nhóm tứ phân vị thứ ba là $[1,25;1,75)$: $Q_3=1,25+\frac{65,25-57}{14}\cdot 0,5\approx 1,54$ giây → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x=87-(25+14+12+4)=32$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}\approx 1,1437$; $s^2\approx 0,3327$ nên $s\approx 0,58$ giây $\ne 0,33$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=2,75-0,25=2,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_3=1,25+\frac{65,25-57}{14}\cdot 0,5\approx 1,54$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=5-0=5$. Vậy chọn đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án A của mã đề 1213 trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=5-0=5$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: 25 + x + 14 + 12 + 4 = 87 nên x = 32 (mệnh đề c đúng).

Tần số tích lũy: 25; 57; 71; 83; 87.

Q3: vị trí 0,75·87 = 65,25 thuộc nhóm [1,25; 1,75). Q3 = 1,25 + (65,25 − 57)/14 · 0,5 = 1,25 + 0,2946 ≈ 1,54 giây (mệnh đề a đúng).

Khoảng biến thiên = 2,75 − 0,25 = 2,5 (mệnh đề d đúng).

Độ lệch chuẩn: các giá trị đại diện 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5. Tần số: 25; 32; 14; 12; 4.
Tổng f·x = 12,5 + 32 + 21 + 24 + 10 = 99,5 → mean = 99,5/87 ≈ 1,1437.
Tổng f·x² = 6,25 + 32 + 31,5 + 48 + 25 = 142,75.
Var = 142,75/87 − (1,1437)² ≈ 1,6408 − 1,3080 = 0,3328 → s ≈ 0,58 giây, không phải 0,33 (mệnh đề b sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 1,25 + (65,25 − 57)/14 · 0,5 ≈ 1,54 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính được s ≈ 0,58 giây, không phải 0,33.
c) (AI giải đề cho tôi)
x = 87 − 25 − 14 − 12 − 4 = 32.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = 2,75 − 0,25 = 2,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tính khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm với $n=100$.

Tần số tích lũy: $5;17;42;86;100$.

**Tính $Q_1$:** $\frac{n}{4}=25$. Vì $17<25\le 42$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[8,8;9,0)$:
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,8+0,064=8,864.$$

**Tính $Q_3$:** $\frac{3n}{4}=75$. Vì $42<75\le 86$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[9,0;9,2)$:
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,0+\frac{33}{44}\cdot 0,2=9,0+0,15=9,15.$$

**Khoảng tứ phân vị:**
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,29$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: 25 + x + 14 + 12 + 4 = 87 ⟹ x = 32 (mệnh đề b đúng).
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm = 2,75 − 0,25 = 2,5 (mệnh đề c đúng).
Q3: 3n/4 = 65,25; tần số tích lũy đến nhóm [1,25; 1,75) là 57 < 65,25 ≤ 71 nên Q3 thuộc nhóm này: Q3 = 1,25 + (65,25 − 57)/14 · 0,5 = 1,25 + 8,25/28 ≈ 1,5446 ≈ 1,54 giây (mệnh đề d đúng).
Độ lệch chuẩn: các giá trị đại diện 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 với tần số 25; 32; 14; 12; 4. Trung bình = 99,5/87 ≈ 1,1437. Σf·x² = 142,75 ⟹ phương sai = 142,75/87 − (1,1437)² ≈ 0,3328 ⟹ s ≈ 0,58 giây ≠ 0,33 (mệnh đề a sai). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a S, b Đ, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5. Trung bình = (25·0,5 + 32·1 + 14·1,5 + 12·2 + 4·2,5)/87 = 99,5/87 ≈ 1,1437. Σf·x² = 6,25 + 32 + 31,5 + 48 + 25 = 142,75. Phương sai = 142,75/87 − (1,1437)² ≈ 0,3328 ⟹ s ≈ 0,58 giây, không phải 0,33 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
25 + x + 14 + 12 + 4 = 87 ⟹ x = 87 − 55 = 32.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm = 2,75 − 0,25 = 2,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
3·87/4 = 65,25. Tần số tích lũy: 25; 57; 71;... nên Q3 thuộc nhóm [1,25; 1,75): Q3 = 1,25 + (65,25 − 57)/14 · 0,5 = 1,25 + 8,25/28 ≈ 1,54 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=x_m-x_1=5-0=5$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm của lớp A: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5 với tần số 4; 5; 3; 4; 2 (n=18). Trung bình: ${\bar{x}}_A=\frac{4\cdot 5,5+5\cdot 6,5+3\cdot 7,5+4\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{18}=\frac{130}{18}\approx 7,22$. Tổng bình phương: $4\cdot 5,5^2+5\cdot 6,5^2+3\cdot 7,5^2+4\cdot 8,5^2+2\cdot 9,5^2=970,5$. Phương sai: $s_A^2=\frac{970,5}{18}-{\left(\frac{130}{18}\right)}^2\approx 1,7562$, nên $s_A\approx 1,33\ne 1,34$ → a) Sai. Lớp B: $n=15$, ${\bar{x}}_B=\frac{108,5}{15}\approx 7,23$; tổng bình phương $=803,75$; $s_B^2=\frac{803,75}{15}-{\left(\frac{108,5}{15}\right)}^2\approx 1,2632$, $s_B\approx 1,12<s_A\approx 1,33$ nên lớp B đồng đều hơn → b) Đúng. Giá trị đại diện nhóm $[7;8)$ là $\frac{7+8}{2}=7,5$ → c) Đúng. Điểm trung bình lớp A làm tròn đến hàng phần chục là $7,2\ne 7,5$ → d) Sai. Kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai khớp đáp án mã đề 102 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2=\frac{970,5}{18}-{\left(\frac{130}{18}\right)}^2\approx 1,7562$ nên $s_A\approx 1,33\ne 1,34$, khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_B\approx 1,12<s_A\approx 1,33$ nên học sinh lớp B có điểm đồng đều hơn lớp A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm $[7;8)$ là $\frac{7+8}{2}=7,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=\frac{130}{18}\approx 7,2\ne 7,5$, khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm $[8;10]$ là 2 (tổng $n=40$). Các giá trị đại diện: $1,3,5,7,9$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$. Tính $\frac{\sum x_i^2{n}_i}{n}=\frac{3+45+125+1225+162}{40}=\frac{1560}{40}=39$. Phương sai: $s^2=39-5,9^2=39-34,81=4,19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,19.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5. Lớp A: n=18, tổng = 4(5,5)+5(6,5)+3(7,5)+4(8,5)+2(9,5)=130, mean = 130/18 ≈ 7,22 → làm tròn 7,2 nên a) Đúng. Tổng bình phương = 4(5,5²)+5(6,5²)+3(7,5²)+4(8,5²)+2(9,5²) = 970,5; phương sai = 970,5/18 − (130/18)² ≈ 53,9167 − 52,1605 = 1,7562, s_A ≈ 1,33 (không phải 1,34) nên c) Sai. Lớp B: n=15, tổng = 2(5,5)+5(6,5)+4(7,5)+3(8,5)+1(9,5) = 108,5, mean ≈ 7,233; tổng bình phương = 803,75; phương sai = 803,75/15 − (108,5/15)² ≈ 53,5833 − 52,3211 = 1,2622, s_B ≈ 1,12 < s_A ≈ 1,33 nên lớp B đồng đều hơn, b) Đúng. Giá trị đại diện nhóm [9;10) là (9+10)/2 = 9,5 nên d) Đúng. Khớp đáp án mã đề 101: ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mean lớp A = 130/18 ≈ 7,22 → làm tròn 7,2.
b) (AI giải đề cho tôi)
s_B ≈ 1,12 < s_A ≈ 1,33 nên lớp B đồng đều hơn.
c) (AI giải đề cho tôi)
s_A = √1,7562 ≈ 1,33, không phải 1,34.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện = (9+10)/2 = 9,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm $[8;10]$ là 2 (đọc từ ảnh trang 4, khớp với tổng $n=40$). Các giá trị đại diện: 1, 3, 5, 7, 9. Tần số: 3, 5, 5, 25, 2.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{1\cdot 3+3\cdot 5+5\cdot 5+7\cdot 25+9\cdot 2}{40}=\frac{3+15+25+175+18}{40}=\frac{236}{40}=5,9$.

Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=1\cdot 3+9\cdot 5+25\cdot 5+49\cdot 25+81\cdot 2=3+45+125+1225+162=1560$.

Phương sai: $s^2=\frac{1560}{40}-5,9^2=39-34,81=4,19$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,19.