Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tính với giá trị đại diện các nhóm: 143, 149, 155, 161, 167, 173, 179 với tần số 2, 3, 5, 8, 10, 12, 4; n = 44.
- Tần số tích lũy: 2, 5, 10, 18, 28, 40, 44.
- a) Trung bình: x̄ = 7258/44 ≈ 164,955. Tổng f·x² = 1 201 196 nên Σf·x²/n ≈ 27299,909. S² = 27299,909 − (164,9545)² ≈ 89,907 ≠ 99,907 → a SAI.
- b) 25% của 44 = 11 học sinh. Nhóm chứa giá trị thứ 11 là [158;164) (vì tích lũy đến 10 ở nhóm trước). P25 = 158 + (11 − 10)/8 · 6 = 158,75 cm → b ĐÚNG.
- c) S = √89,907 ≈ 9,48 → c ĐÚNG.
- d) Cỡ mẫu n = 2+3+5+8+10+12+4 = 44 → d ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
S² ≈ 89,907 (không phải 99,907).
b) (AI giải đề cho tôi)
P25 = 158 + (11−10)/8·6 = 158,75 cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = √89,907 ≈ 9,48.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số = 44.

(AI giải đề cho tôi)
Với mẫu số liệu ghép nhóm, khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$, trong đó $x_{\min }$ là đầu mút trái của nhóm đầu tiên và $x_{\max }$ là đầu mút phải của nhóm cuối cùng. Ở đây nhóm đầu là $[4;5)$ nên $x_{\min }=4$, nhóm cuối là $[9;10]$ nên $x_{\max }=10$. Vậy $R=10-4=6$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=20,5;x_2=23,5;x_3=26,5;x_4=29,5;x_5=32,5$.

a) Khu vực $B$: $n=100$, ${\overline{x}}_B=\frac{47\cdot 20,5+40\cdot 23,5+10\cdot 26,5+3\cdot 29,5}{100}=\frac{2257}{100}=22,57$. Phương sai $s_B^2=\frac{47(20,5-22,57{)}^2+40(23,5-22,57{)}^2+10(26,5-22,57{)}^2+3(29,5-22,57{)}^2}{100}=\frac{534,51}{100}\approx 5,3\ne 5,4$ → Sai.

b) Khu vực $A$: ${\overline{x}}_A=\frac{10\cdot 20,5+26\cdot 23,5+32\cdot 26,5+25\cdot 29,5+7\cdot 32,5}{100}=\frac{2629}{100}=26,29\approx 26,3$ → Đúng.

c) Nhóm 3 là $[25;28)$ nên $x_3=\frac{25+28}{2}=26,5$ → Đúng.

d) Khu vực $A$: $s_A^2=\frac{10(20,5-26,29{)}^2+26(23,5-26,29{)}^2+32(26,5-26,29{)}^2+25(29,5-26,29{)}^2+7(32,5-26,29{)}^2}{100}=\frac{1066,59}{100}\approx 10,7$. Vì $s_B^2\approx 5,3<s_A^2\approx 10,7$ nên độ tuổi kết hôn khu vực $B$ đồng đều hơn → Đúng. Khớp đáp án nguồn a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$s_B^2\approx 5,3\ne 5,4$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\overline{x}}_A=26,29\approx 26,3$ nên Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm 3 là $[25;28)$, $x_3=26,5$ nên Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_B^2\approx 5,3<s_A^2\approx 10,7$ nên khu vực B đồng đều hơn, Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=24+62+34+21+9=150$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=37,5$ nằm trong nhóm $[250;300)$ (lũy tích $24$, $86$), nên $Q_1=250+\frac{50(37,5-24)}{62}=250+\frac{675}{62}\approx 260,89$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=112,5$ nằm trong nhóm $[300;350)$ (lũy tích $86$, $120$), nên $Q_3=300+\frac{50(112,5-86)}{34}=300+\frac{1325}{34}\approx 338,97$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 338,97-260,89=78,08\approx 78,1$ (triệu đồng), khớp với đáp án nguồn 78.1.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=42,x_2=46,x_3=50,x_4=54,x_5=58$; cỡ mẫu mỗi lớp $n=45$.

a) Sai. Giá trị đại diện nhóm 2 là $x_2=\frac{44+48}{2}=46$, không phải $50$.

b) Sai. ${\bar{x}}_A=\frac{8\cdot 42+12\cdot 46+8\cdot 50+10\cdot 54+7\cdot 58}{45}=\frac{2234}{45}\approx 49,64$ kg (làm tròn đến hàng phần trăm là 49,64, không phải 49,65).

c) Đúng. ${\bar{x}}_B=\frac{9\cdot 42+11\cdot 46+8\cdot 50+8\cdot 54+9\cdot 58}{45}=\frac{2238}{45}\approx 49,73$.
$s_A^2=\frac{1}{45}\left[8(42-49,64{)}^2+12(46-49,64{)}^2+8(50-49,64{)}^2+10(54-49,64{)}^2+7(58-49,64{)}^2\right]\approx 29,03$.
$s_B^2=\frac{1}{45}\left[9(42-49,73{)}^2+11(46-49,73{)}^2+8(50-49,73{)}^2+8(54-49,73{)}^2+9(58-49,73{)}^2\right]\approx 32,28$.
Vì $s_A^2<s_B^2$ nên cân nặng lớp 12A đồng đều hơn lớp 12B.

d) Đúng. Theo tính trên, $s_B^2\approx 32,28$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)S - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$x_2=\frac{44+48}{2}=46\ne 50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=\frac{2234}{45}\approx 49,64$ kg, không phải 49,65 kg.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$s_A^2\approx 29,03<s_B^2\approx 32,28$ nên lớp 12A đồng đều hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với ${\bar{x}}_B=\frac{2238}{45}\approx 49,73$, ta có $s_B^2\approx 32,28$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+10+16+8+2+2=40$. Tần số tích lũy: $2;12;28;36;38;40$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=10$, thuộc nhóm $[40;50)$ (tần số tích lũy trước là 2, tần số nhóm là 10):
$$Q_1=40+\frac{10\left(10-2\right)}{10}=48.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=30$, vì tần số tích lũy đến nhóm $[50;60)$ là $28<30$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[60;70)$ (tần số tích lũy trước là 28, tần số nhóm là 8):
$$Q_3=60+\frac{10\left(30-28\right)}{8}=\mathrm{62.5.}$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=62.5-48=14.5\text{ (phuˊt)}.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn 14.5.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 5; 17; 42; 86; 100 (n=100). Tứ phân vị thứ nhất: vị trí 25 nằm trong nhóm [8,8; 9,0): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí 75 nằm trong nhóm [9,0; 9,2): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,3$. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=20-0=20$ (phút). Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 2025, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh: $n=3+5+5+25+2=40$. Giá trị đại diện các nhóm: $1;3;5;7;9$.
a) $\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$ → Đúng.
b) $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{n}=\frac{3\cdot 1^2+5\cdot 3^2+5\cdot 5^2+25\cdot 7^2+2\cdot 9^2}{40}=\frac{3+45+125+1225+162}{40}=\frac{1560}{40}=39$; $s^2=39-5,9^2=4,19$, $s=\sqrt{4,19}\approx 2,05<2,13$ nên lớp 12A ít phân tán hơn lớp 12B → Đúng.
c) Giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$; $25$ là tần số của nhóm → Sai.
d) $s=\sqrt{4,19}\approx 2,05\ne 2,04$ → Sai. (Lưu ý: $\sum n_i{x}_i^2=1560$, không phải $1563$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{\sum n_i{x}_i^2}{n}=\frac{1560}{40}=39$, $s^2=39-5,9^2=4,19$, $s\approx 2,05<2,13$ nên 12A ít phân tán hơn 12B.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$; $25$ là tần số của nhóm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{4,19}\approx 2,05$, không phải $2,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [2;4): 12, [4;6): 20, [6;8): 37, [8;10): 21, [10;12): 10, nên $n=100$. Tần số tích lũy: 12, 32, 69, 90, 100. $Q_1$: vị trí 25 thuộc nhóm [4;6): $Q_1=4+\frac{2(25-12)}{20}=5,3$. $Q_3$: vị trí 75 thuộc nhóm [8;10): $Q_3=8+\frac{2(75-69)}{21}=8+\frac{12}{21}\approx 8,5714$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 3,27$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 3,27.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 20,5; 23,5; 26,5; 29,5; 32,5; 35,5 với $n=55$. Tổng: $\sum x_i{n}_i=5(20,5)+7(23,5)+8(26,5)+16(29,5)+12(32,5)+7(35,5)=1589,5$, nên $\bar{x}=1589,5/55=28,9$. Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=5(420,25)+7(552,25)+8(702,25)+16(870,25)+12(1056,25)+7(1260,25)=47005,75$. Phương sai $s^2=\frac{47005,75}{55}-28,9^2=854,65-835,21=19,44\approx 19,4$, nằm trong khoảng $(19;20)$. Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=20-0=20$ (phút). Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 1025, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, thuộc nhóm $[8,8;9,0)$ nên
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, thuộc nhóm $[9,0;9,2)$ nên
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,0+\frac{33}{44}\cdot 0,2\approx 9,15.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,15-8,864=0,286\approx 0,3.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1025, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 3, 5, 5, 25, 2 nên $n=40$. Giá trị đại diện các nhóm: 1, 3, 5, 7, 9.

d) Trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{3+15+25+175+18}{40}=\frac{236}{40}=5,9$. Đúng.

a) $\sum n_i{x}_i^2=3\cdot 1+5\cdot 9+5\cdot 25+25\cdot 49+2\cdot 81=3+45+125+1225+162=1560$. Phương sai $s^2=\frac{1560}{40}-(5,9{)}^2=39-34,81=4,19$, nên $s=\sqrt{4,19}\approx 2,05\ne 2,04$. Sai.

b) Giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$, không phải 25 (25 là tần số của nhóm). Sai.

c) Độ lệch chuẩn lớp 12A $\approx 2,05<2,13$ (lớp 12B) nên điểm của 12A ít phân tán hơn 12B. Đúng.

Đối chiếu đáp án chính thức (mã đề 1025, cột 4a–4d trên trang đáp án): 4a = S, 4b = S, 4c = D, 4d = D — hoàn toàn khớp với kết quả trên (4d = D ứng với khẳng định 'Trung bình điểm là 5,9' đúng, không phải khẳng định về độ lệch chuẩn 2,04).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
s² = 1560/40 − 5,9² = 4,19 nên s ≈ 2,05 ≠ 2,04, sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm [6;8) là 7; 25 là tần số, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
2,05 < 2,13 nên 12A ít phân tán hơn 12B, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
x̄ = 236/40 = 5,9, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: $[2;4)$: 12, $[4;6)$: 20, $[6;8)$: 37, $[8;10)$: 21, $[10;12)$: 10, nên $n=100$. Tần số tích lũy: 12; 32; 69; 90; 100.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, vì $12<25\le 32$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[4;6)$:
$$Q_1=4+\frac{2(25-12)}{20}=4+1,3=5,3.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, vì $69<75\le 90$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[8;10)$:
$$Q_3=8+\frac{2(75-69)}{21}=8+\frac{12}{21}\approx 8,5714.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 8,5714-5,3=3,2714\approx 3,27.$$

Kết quả khớp với đáp án đã cho: $3,27$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi lớp bằng giá trị đại diện: 20,5; 23,5; 26,5; 29,5; 32,5; 35,5 với tần số 5; 7; 8; 16; 12; 7 (n = 55). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 20,5+7\cdot 23,5+8\cdot 26,5+16\cdot 29,5+12\cdot 32,5+7\cdot 35,5}{55}=\frac{1589,5}{55}=28,9$. Tổng $n_i{x}_i^2=2101,25+3865,75+5618+13924+12675+8821,75=47005,75$. Phương sai: $s^2=\frac{47005,75}{55}-(28,9{)}^2\approx 854,65-835,21=19,44\in (19;20)$. Khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm: khoảng biến thiên bằng hiệu giữa hai đầu mút của mẫu. Giá trị nhỏ nhất là đầu trái nhóm đầu tiên $x_{\min }=2$; giá trị lớn nhất là đầu phải nhóm cuối cùng $x_{\max }=5$. Vậy khoảng biến thiên $R=5-2=3$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ tần số (trang 8): các nhóm $[2;4),[4;6),[6;8),[8;10),[10;12)$ có tần số tương ứng $12,20,37,21,10$, nên cỡ mẫu $n=12+20+37+21+10=100$. Tần số tích lũy: $12;32;69;90;100$.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$ thuộc nhóm $[4;6)$ với tần số tích lũy trước là $12$, tần số nhóm $n_2=20$, độ dài nhóm $h=2$:
$$Q_1=4+\frac{25-12}{20}\cdot 2=4+1,3=5,3.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[8;10)$ với tần số tích lũy trước là $69$, tần số nhóm $n_2=21$, $h=2$:
$$Q_3=8+\frac{75-69}{21}\cdot 2=8+\frac{12}{21}\approx 8,5714.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 8,5714-5,3=3,2714\approx 3,27.$$

Kết quả trùng với đáp án nguồn 3,27 (bảng đáp án Phần III, Câu 2, Mã đề 209, trang 9).

$\overline{x}=3,39$ (0,25 điểm)
$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(x_1^2.m_1+x_2^2.m_2+x_3^2.m_3+x_4^2.m_4+x_5^2.m_5\right)-{\overline{x}}^2}=0,36$ (0,5 điểm)

Lời giải
Từ biểu đồ, ta có bảng số liệu sau:

Cỡ mẫu $n=100$.
$$Q_1=4+\frac{\frac{100}{4}-12}{20}\cdot (6-4)=\frac{53}{10}.$$
$$Q_3=8+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-(12+20+37)}{21}\cdot (10-8)=\frac{60}{7}.$$
Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{60}{7}-\frac{53}{10}=\frac{229}{70}\approx 3,27$ (giờ).
Đáp án: 3,27