Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai: $s=\sqrt{36}=6$ (độ lệch chuẩn luôn không âm). Vậy chọn B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $n=0+6+8+14+12=40$. Lấy giá trị đại diện các nhóm: $5,5;6,5;7,5;8,5;9,5$.

a) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 6,5+8\cdot 7,5+14\cdot 8,5+12\cdot 9,5}{40}=\frac{39+60+119+114}{40}=\frac{332}{40}=8,3\ne 8,5$ → Sai.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (dùng giá trị đại diện) là $9,5-5,5=4\ne 5$ → Sai.

c) Số học sinh đạt từ 8 điểm trở lên: $14+12=26\ne 34$ → Sai.

d) $\sum f_i{x}_i^2=6\cdot 42,25+8\cdot 56,25+14\cdot 72,25+12\cdot 90,25=253,5+450+1011,5+1083=2798$. Phương sai $s^2=\frac{2798}{40}-(8,3{)}^2=69,95-68,89=1,06\approx 1,1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình $\bar{x}=332/40=8,3\ne 8,5$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm (giá trị đại diện) là $9,5-5,5=4\ne 5$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh đạt từ 8 điểm trở lên là $14+12=26\ne 34$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{2798}{40}-8,3^2=1,06\approx 1,1$, nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=50,5-10,5=40$ (phút). Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Lưu ý: các tần số 7, 6, 19, 23, 10 có tổng là $n=65$ (đề nói '60 khách hàng' là lỗi đánh máy của nguồn, cách tính chuẩn với mẫu số liệu ghép nhóm dùng tổng tần số). Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=45,x_2=55,x_3=65,x_4=75,x_5=85$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{7\cdot 45+6\cdot 55+19\cdot 65+23\cdot 75+10\cdot 85}{65}=\frac{4455}{65}\approx 68,5385$.

Tổng bình phương: $\sum f_i{x}_i^2=7\cdot 2025+6\cdot 3025+19\cdot 4225+23\cdot 5625+10\cdot 7225=14175+18150+80275+129375+72250=314225$.

Phương sai mẫu: $s_x^2=\frac{314225}{65}-{\left(\frac{4455}{65}\right)}^2\approx 4834,2308-4697,5207=136,71$.

Độ lệch chuẩn: $s_x=\sqrt{136,71}\approx 11,69$.

Vậy đáp án A đúng ($s_x=11,69$); phương sai $136,71$ ở phương án D là giá trị $s_x^2$, không phải độ lệch chuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=8+16+11+8+2=45$. Dùng giá trị đại diện các nhóm $5,5;6,5;7,5;8,5;9,5$.

a) Sai. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 5,5+16\cdot 6,5+11\cdot 7,5+8\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{45}=\frac{317,5}{45}\approx 7,06\ne 7,27$.

b) Đúng. Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=10-5=5$.

c) Sai. Số học sinh đạt từ 7 điểm trở lên là $11+8+2=21$, không phải 20.

d) Sai. $\sum n_i{x}_i^2=8\cdot 30,25+16\cdot 42,25+11\cdot 56,25+8\cdot 72,25+2\cdot 90,25=2295,25$, nên $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{n}\approx 51,0056$ và $s^2\approx 51,0056-7,0556^2\approx 1,23\ne 1,11$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình $\bar{x}=317,5/45\approx 7,06$, không phải 7,27.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=10-5=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh đạt từ 7 điểm trở lên là $11+8+2=21$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai $s^2\approx 51,0056-7,0556^2\approx 1,23$, không phải 1,11.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài của nhóm $[400;450)$ là hiệu hai đầu mút: $450-400=50$ (nghìn đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 3, 7, 11, 15, 19 với tần số 5, 8, 12, 6, 4 (n = 35). Tần số tích lũy: 5, 13, 25, 31, 35. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 3+8\cdot 7+12\cdot 11+6\cdot 15+4\cdot 19}{35}=\frac{369}{35}\approx 10,54$. Phương sai: $s^2=\frac{5\cdot 3^2+8\cdot 7^2+12\cdot 11^2+6\cdot 15^2+4\cdot 19^2}{35}-{\bar{x}}^2=\frac{4683}{35}-{\left(\frac{369}{35}\right)}^2\approx 133,80-111,15=22,65$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{22,65}\approx 4,76$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề (mã 1252, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=152,5;x_2=157,5;x_3=162,5;x_4=167,5;x_5=172,5;x_6=177,5$ với tần số $1;4;10;9;4;2$, cỡ mẫu $n=30$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{152,5\cdot 1+157,5\cdot 4+162,5\cdot 10+167,5\cdot 9+172,5\cdot 4+177,5\cdot 2}{30}=\frac{4960}{30}\approx 165,333.$$

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{1}{30}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2$$
$$=\frac{1}{30}\left[1(-12,833{)}^2+4(-7,833{)}^2+10(-2,833{)}^2+9(2,167{)}^2+4(7,167{)}^2+2(12,167{)}^2\right]$$
$$\approx \frac{1034,17}{30}\approx 34,47\approx 34,5.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 34,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=35$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{35}{4}=8,75$ thuộc nhóm $[45;50)$ nên $Q_1=45+\frac{8,75-4}{8}\cdot 5=47,96875$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 35}{4}=26,25$ thuộc nhóm $[55;60)$ (tần số tích lũy đến 55 là 25) nên $Q_3=55+\frac{26,25-25}{6}\cdot 5\approx 56,0417$. Khoảng tứ phân vị $Q_3-Q_1\approx 8,07$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+5+7+8+2=28$. Giá trị đại diện các nhóm: $22,5;27,5;32,5;37,5;42,5$.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R=45-20=25\ne 20$ nên ý a) SAI.

b) $\frac{3n}{4}=21$. Tần số tích lũy: $6;11;18;26;28$, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[35;40)$: $Q_3=35+\frac{21-18}{8}\cdot 5=35+\frac{15}{8}=\frac{295}{8}$. Ý b) ĐÚNG.

c) $\overline{x}=\frac{22,5\cdot 6+27,5\cdot 5+32,5\cdot 7+37,5\cdot 8+42,5\cdot 2}{28}=\frac{135+137,5+227,5+300+85}{28}=\frac{885}{28}$. Ý c) ĐÚNG.

d) $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 506,25+5\cdot 756,25+7\cdot 1056,25+8\cdot 1406,25+2\cdot 1806,25=29075$. Vậy $s_x^2=\frac{29075}{28}-{\left(\frac{885}{28}\right)}^2\approx 1038,39-999,01\approx 39,38$. Ý d) ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 2346, câu 15: SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 45 - 20 = 25 ≠ 20, nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
3n/4 = 21, nhóm chứa Q3 là [35;40): Q3 = 35 + (21-18)/8 · 5 = 295/8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng n_i x_i = 885, n = 28, nên x̄ = 885/28.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 29075/28 - (885/28)² ≈ 39,38.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=10-3=7$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2346, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+12+23+31+29=100$. Tần số tích lũy: $5;17;40;71;100$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=25$ thuộc nhóm $[40;60)$ (vì $17<25\le 40$):
$$Q_1=40+\frac{20(25-17)}{23}=40+\frac{160}{23}\approx 46,9565.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[80;100)$ (vì $71<75\le 100$):
$$Q_3=80+\frac{20(75-71)}{29}=80+\frac{80}{29}\approx 82,7586.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 82,7586-46,9565=35,8021\approx 35,8.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn $35,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=x_M-x_m=10-3=7$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số n = 6+5+7+8+2 = 28.
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: R = 45 − 20 = 25 ≠ 20, nên khẳng định Sai.
b) 3n/4 = 21. Tần số tích lũy: 6, 11, 18, 26, 28. Vì 18 < 21 ≤ 26 nên Q₃ thuộc nhóm [35;40): Q₃ = 35 + (21 − 18)/8 · 5 = 35 + 15/8 = 295/8. Đúng.
c) Các giá trị đại diện: 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5. x̄ = (22,5·6 + 27,5·5 + 32,5·7 + 37,5·8 + 42,5·2)/28 = (135 + 137,5 + 227,5 + 300 + 85)/28 = 885/28. Đúng.
d) Σx²f = 22,5²·6 + 27,5²·5 + 32,5²·7 + 37,5²·8 + 42,5²·2 = 3037,5 + 3781,25 + 7393,75 + 11250 + 3612,5 = 29075. s² = 29075/28 − (885/28)² ≈ 1038,39 − 999,01 ≈ 39,38. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 2345: SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 45 − 20 = 25 ≠ 20 nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
3n/4 = 21, nhóm chứa Q₃ là [35;40): Q₃ = 35 + (21−18)/8·5 = 295/8.
c) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 885/28 từ tổng tích các giá trị đại diện với tần số.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 29075/28 − (885/28)² ≈ 39,38.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+12+23+31+29=100$. Nhóm chứa tứ phân vị: vị trí $\frac{n}{4}=25$; tần số tích lũy: $5;17;40;71;100$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[40;60)$: $Q_1=40+\frac{25-17}{23}\cdot 20=\frac{1080}{23}\approx 46,96$. Vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[80;100)$ (vì $71<75\le 100$): $Q_3=80+\frac{75-71}{29}\cdot 20=\frac{2400}{29}\approx 82,76$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 82,76-46,96=35,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=12-5=7$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 121: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu giữa hai đầu mút của mẫu số liệu. Giá trị nhỏ nhất thuộc nhóm đầu tiên $[90;120)$ nên $x_{\min }=90$; giá trị lớn nhất thuộc nhóm cuối cùng $[210;240)$ nên $x_{\max }=240$. Khoảng biến thiên: $R=x_{\max }-x_{\min }=240-90=150$ (phút). Vậy thời gian sử dụng mạng xã hội hằng ngày của các nhân viên được điều tra chênh lệch nhau nhiều nhất là $150$ phút, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0101 (câu 2 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Với mẫu số liệu ghép nhóm, khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$, trong đó $x_{\min }$ là đầu mút trái của nhóm đầu tiên và $x_{\max }$ là đầu mút phải của nhóm cuối cùng. Ở đây nhóm đầu tiên là $[20;25)$ nên $x_{\min }=20$; nhóm cuối cùng là $[40;45)$ nên $x_{\max }=45$. Vậy $R=45-20=25$ (phút). Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.