Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Đáp án chính thức (mã 201, Phần II, Câu 4): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng (theo bảng đáp án ĐSĐĐ). Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)\cup (1;4)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)\cup (4;+\infty )$.
a) Trên khoảng $(1;4)$, đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;4)$. → Đúng.
b) Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm $x=-1$, $x=1$, $x=4$ và đổi dấu tại cả ba điểm này, nên hàm số $y=f(x)$ có ba cực trị. → Sai.
c) Vì $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(1;4)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này; do $1<2<4$ nên $f(4)>f(2)>f(1)$. → Đúng.
d) Trên đoạn $[-1;4]$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm nghịch biến, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;4)$ nên hàm đồng biến. Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1$, tức $mi{n}_{[-1;4]}f(x)=f(1)$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-2$ $(y=-4)$, điểm cực đại tại $x=0$ và điểm cực tiểu tại $x=1$ $(y=-1)$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(1;3)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(1;3)$ thỏa mãn, ứng với đáp án C. Điều này khớp với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;4)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(4;+\infty )$; $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1,1,4$.
a) Trên $(1;4)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, do đó khẳng định đồng biến trên $(1;+\infty )$ là Sai.
b) $f^{\prime }$ đổi dấu qua ba điểm $x=-1,1,4$ nên $f$ có ba cực trị → Đúng.
c) $f$ đồng biến trên $(-1;1)$ và nghịch biến trên $(1;4)$ nên $f(1)>f(2)>f(4)$ → Đúng.
d) Trên đoạn $[-1;4]$, $f$ đồng biến trên $[-1;1]$ rồi nghịch biến trên $[1;4]$, và theo đồ thị diện tích phần $f^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$ lớn hơn phần $f^{\prime }<0$ trên $(1;4)$ nên $f(4)<f(-1)<f(1)$; giá trị lớn nhất là $f(1)$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức mã 101: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;4)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến trên $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1,1,4$ nên $f$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ đồng biến trên $(-1;1)$, nghịch biến trên $(1;4)$ nên $f(1)>f(2)>f(4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;4]$, $f$ tăng đến $x=1$ rồi giảm; $f(1)$ là giá trị lớn nhất trên đoạn này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2: hàm số có hai điểm cực đại tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $y=1$) và một điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $y=0$), dạng chữ W. Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ là khoảng nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(1;3)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;3)$. Trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến. Do đó đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $2$) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $-2$). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, tức $a=0$, $b=2$, nên $a+b=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 21, mã đề 2102: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=-t^3+12t^2$ trên $[0;12]$. Ta có $N^{\prime }(t)=-3t^2+24t=3t(8-t)$. Với $0<t<8$ thì $t>0$ và $8-t>0$ nên $N^{\prime }(t)>0$, hàm số đồng biến, tức số người nhiễm bệnh tăng. Với $8<t<12$ thì $N^{\prime }(t)<0$, hàm số nghịch biến. Vậy số người bị nhiễm bệnh tăng trong khoảng $(0;8)$, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=-t^3+12t^2$ trên $[0;12]$. Ta có $N^{\prime }(t)=-3t^2+24t=-3t(t-8)$. Với $0<t<8$ thì $N^{\prime }(t)>0$, với $8<t\le 12$ thì $N^{\prime }(t)<0$. Vậy số người nhiễm bệnh tăng trên khoảng $(0;8)$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 2101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $f^{\prime }(x)=\cos x-2025<0$ với mọi $x$, do đó $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đặc biệt nghịch biến trên đoạn $[1;2]$. Hàm nghịch biến nên giá trị lớn nhất trên $[1;2]$ đạt tại đầu trái đoạn, tức $x=1$: ${\max }_{[1;2]}f(x)=f(1)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy $a=0$, $b=2$, suy ra $a+b=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 20, mã đề 2101: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(1;3)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;3)$. Trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến. Do đó đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2101, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(x-2)<0$ khi $0<x<2$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ thuộc các khoảng nghịch biến này, nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$; $y^{\prime }<0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên 2 khoảng: $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 18 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4x^4+1$ có đạo hàm $y^{\prime }=16x^3$. Với $x<0$ thì $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$; với $x>0$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên khoảng $(0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$ ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ âm trên $(-\infty ;1)$, dương trên $(1;3)$, âm trên $(3;7)$, dương trên $(7;+\infty )$; $f(1)=-17$, $f(3)=-13$, $f(7)=-18$. a) Trên $(1;3)$ và $(7;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến → Đúng. b) Trên $(1;7)$ hàm không nghịch biến trên toàn khoảng vì $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;3)$ → Sai. c) $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ khi qua $x=3$ nên hàm đạt cực đại tại $x=3$ → Đúng. d) $f(1)=-17<f(3)=-13$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đ; b) S; c) Đ; d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;3)$ và $(7;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;3)$ hàm đồng biến ($f^{\prime }(x)>0$), nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(1;7)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=3$, nên hàm đạt cực đại tại $x=3$ với giá trị $f(3)=-13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên $f(1)=-17$ và $f(3)=-13$, nên $f(1)<f(3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x+1$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.

a) $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. → Đúng.

b) Trên đoạn $[0;2]$: $f(0)=1$, $f(1)=-1$, $f(2)=8-6+1=3$. Giá trị lớn nhất là $3$. → Đúng.

c) Trên đoạn $[-2;0]$: $f(-2)=-8+6+1=-1$, $f(-1)=3$, $f(0)=1$. Giá trị nhỏ nhất là $-1$, không phải $1$. → Sai.

d) Hàm $y=f(x)+2$ có giá trị lớn nhất trên $[0;2]$ bằng $\max f(x)+2=3+2=5$. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $f(0)=1$, $f(1)=-1$, $f(2)=3$, nên GTLN $=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;0]$: $f(-2)=-1$, $f(-1)=3$, $f(0)=1$, nên GTNN $=-1$, không phải $1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
GTLN của $f(x)+2$ trên $[0;2]$ bằng $3+2=5$.

$$y=2x^3+3x^2-12x+2024$$
$$y^{\prime }=6x^2+6x-12=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$$

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f1]

KL: Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$, $(1;+\infty )$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-2;1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$ trên $(-3;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-3;1)$, khớp với đáp án A (mã đề 121).