Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, điểm cực đại tại $x=0$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ (đáp án C) là khoảng đồng biến. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1203: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có nghiệm kép tại $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành) và nghiệm đơn tại $x=1$, đi qua điểm $(0;-4)$. Suy ra $f^{\prime }(x)=a(x+2{)}^2(x-1)$ với $f^{\prime }(0)=-4a=-4\Rightarrow a=1$, tức $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ (kiểm tra: $f^{\prime }(-1)=1\cdot (-2)=-2$ khớp đồ thị).
a) Với $x<-2$: $(x+2{)}^2>0$, $x-1<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, không đồng biến → Sai.
b) $f^{\prime }(x)\le 0$ với $x\le 1$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$; $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu một lần tại $x=1$ (tại $x=-2$ nghiệm kép không đổi dấu) nên $f$ chỉ có một điểm cực trị → Sai.
c) $f^{\prime }(2)=(2+2{)}^2(2-1)=16$ → Đúng.
d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-x+1$. Với $x\in \left(-\frac{9}{2};-\frac{7}{2}\right)$: $g^{\prime }(-4)=4\cdot (-5)+5=-15<0$, $g^{\prime }(-3,5)=2,25\cdot (-4,5)+4,5=-5,625<0$, $g^{\prime }(-4,5)=6,25\cdot (-5,5)+5,5=-28,875<0$; nói chung $f^{\prime }(x)<0$ và $-x+1$ nhỏ nên $g^{\prime }(x)<0$ trên khoảng này, $g$ nghịch biến → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1201: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-2$: $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ nên $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, khẳng định đồng biến là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ chỉ đổi dấu một lần (tại $x=1$); tại $x=-2$ nghiệm kép không đổi dấu nên $f$ chỉ có một điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ nên $f^{\prime }(2)=16\cdot 1=16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1<0$ trên $\left(-\frac{9}{2};-\frac{7}{2}\right)$ (ví dụ $g^{\prime }(-4)=-15<0$) nên $g$ nghịch biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (dạng chữ W), hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, điểm cực đại tại $x=0$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có $(-1;0)$ xuất hiện, tương ứng phương án B. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-1;1)$ (khẳng định B đúng). A sai vì hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$; C sai vì hàm đồng biến trên $(-1;1)$; D sai vì hàm đồng biến trên $(-1;1)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B (mã đề 1201).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-3;0)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Các khoảng khác $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến) hoặc không đồng biến liên tục. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: trên khoảng $(-2;-1)$ đồ thị đi xuống (nghịch biến), trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên (đồng biến), trên khoảng $(1;2)$ đồ thị đi xuống (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, tương ứng đáp án D. Điều này khớp với đáp án của đề (Câu 2, mã đề 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có $(1;+\infty )$ là khoảng nghịch biến. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 1, Đề 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số nghịch biến trên khoảng từ trái đến $x=-2$ (đạt cực tiểu $(-2;-4)$), đồng biến trên $(-2;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ (cực tiểu $(1;-1)$), rồi đồng biến trên $(1;3)$ (đạt $(3;4)$). Xét các đáp án: A $(-4;0)$ chứa đoạn nghịch biến $(-4;-2)$ nên sai; C $(-1;1)$ chứa đoạn nghịch biến $(0;1)$ nên sai; D $(-1;3)$ chứa đoạn nghịch biến $(0;1)$ nên sai. Trên khoảng $(2;3)$ hàm số đồng biến hoàn toàn. Vậy chọn B, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 11, Câu 2, Đề 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-1;1)$ hàm số đồng biến từ $-\sqrt{2}$ đến $+\infty$, trên $(1;+\infty )$ đồng biến từ $-\infty$ đến $-1$, trên $(-\infty ;-1)$ nghịch biến từ $1$ đến $-\sqrt{2}$. Xét từng khẳng định: A) Trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến nên $f(2)<f(3)$ đúng. B) Tương tự $f(3)<f(4)$ đúng. C) $f(-1)=-\sqrt{2}$, trên $(-1;1)$ hàm đồng biến nên $f(0)>f(-1)$, đúng. D) Trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến nên $f(-2)>f(-1)$ (vì $f(-2)$ thuộc khoảng $(-\sqrt{2};1)$ còn $f(-1)=-\sqrt{2}$), do đó khẳng định $f(-2)<f(-1)$ là sai. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có điểm cực đại tại $x=-2$ và điểm cực tiểu tại $x=0$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến) trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;+\infty )$ thỏa mãn. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ (tiếp xúc) và $x=1$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<1$. Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;1)$. Vì $-3<-2$ và $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ nên $f(-3)<f(-2)$: mệnh đề C đúng. Xét các mệnh đề khác: trên $(-2;1)$ hàm $f$ nghịch biến nên $f(-1)>f(1)$ (B sai) và $f(-2)>f(1)$ (D sai). So sánh $f(-3)$ với $f(-1)$ đòi hỏi so sánh diện tích vùng $(f^{\prime }>0)$ trên $(-3;-2)$ và vùng $(f^{\prime }<0)$ trên $(-2;-1)$, không kết luận được chỉ từ tính đơn điệu (A không chọn). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có cực đại tại $x=-2$ và cực tiểu tại $x=0$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$ và đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ từ $1$ xuống $-\sqrt{2}$, đồng biến trên $(-1;1)$ từ $-\sqrt{2}$ lên $+\infty$, có tiệm cận đứng $x=1$, và đồng biến trên $(1;+\infty )$ từ $-\infty$ lên $-1$. Xét từng khẳng định: A) $f(-1)=-\sqrt{2}$, trên $(-1;1)$ hàm đồng biến nên $f(0)>f(-1)$, đúng. B) Trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến nên $f(3)<f(4)$, đúng. C) Tương tự $f(2)<f(3)$, đúng. D) Trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến nên $f(-2)>f(-1)$, do đó khẳng định $f(-2)<f(-1)$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-2$ và $x=1$, có giá trị nhỏ nhất $f^{\prime }(0)=-4$, nên $f^{\prime }(x)=a(x+2)(x-1)$. Vì $f^{\prime }(0)=-4\Rightarrow a\cdot 2\cdot (-1)=-4\Rightarrow a=2$. Suy ra $f^{\prime }(x)=2x^2+2x-4$, do đó $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+x^2-4x+C$. Tính: $f(-2)=-\frac{16}{3}+4+8=\frac{20}{3}$; $f(1)=\frac{2}{3}+1-4=-\frac{7}{3}$; $f(-3)=-18+9+12=3$; $f(-1)=-\frac{2}{3}+1+4=\frac{13}{3}$. Kiểm tra: A sai vì $\frac{20}{3}\ne -\frac{7}{3}$; B sai vì $3<\frac{13}{3}$; C sai vì $\frac{13}{3}>-\frac{7}{3}$; D đúng vì $3<\frac{20}{3}$, tức $f(-3)<f(-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=-1$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$ đổi dấu tại $x=\pm 1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^4-3x^2+1$ có $y^{\prime }=4x^3-6x=2x(2x^2-3)$ đổi dấu, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^3+3x$ có $y^{\prime }=3x^2+3=3(x^2+1)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với bảng đáp án nguồn (Mã đề 1020, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(t)=45t^2-t^3$, $t\ge 0$.
a) $f(45)=45\cdot 45^2-45^3=45^3-45^3=0$, nên đến ngày thứ 45 tổng số người nhiễm bằng 0 → Đúng.
b) $f^{\prime }(t)=90t-3t^2$ → Đúng.
c) $f(13)=45\cdot 169-13^3=7605-2197=5408\ne 4752$ → Sai.
d) $f^{\prime }(t)=3t(30-t)\ge 0$ khi $0\le t\le 30$ và $f^{\prime }(t)<0$ khi $t>30$, nên trong 35 ngày đầu số người nhiễm không phải luôn tăng (giảm từ ngày 30 đến 35) → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã 1020: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(45)=45\cdot 45^2-45^3=0$, tổng số người nhiễm đến ngày thứ 45 bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=90t-3t^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(13)=45\cdot 169-2197=5408\ne 4752$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=3t(30-t)$, $f^{\prime }(t)<0$ với $t>30$ nên trên $[0;35]$ hàm không luôn tăng.

Trả lời: 5. Xét hàm số $P=15I-1,5I^2$ với $0\le I\le 10$. Ta có: $P^{\prime }=15-3I$; $P^{\prime }=0\iff I=5\in [0;10]$. Bảng biến thiên: $I$: 0, 5, 10; $P^{\prime }$: $+$, 0, $-$; $P$: $0\nearrow 37,5\searrow 0$. Từ bảng biến thiên ta có công suất $P$ tăng trong khi cường độ dòng điện thuộc khoảng $(0;5)$.

Chọn D. Ta có với $y=x^3+3x$ thì $y^{\prime }=3x^2+3>0,\forall x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff -3x(x-2)<0\iff x(x-2)>0\iff x<0$ hoặc $x>2$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-1;0)$ thỏa mãn. Đáp án B.