Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và $d_2:-3x+6y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ cùng phương, do đó $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau. Kiểm tra một điểm thuộc $d_1$, ví dụ $(1;1)$: $1-2+1=0$ ✓. Thay vào $d_2$: $-3(1)+6(1)-10=-7\ne 0$, nên $(1;1)$ không thuộc $d_2$. Vậy $d_1$ và $d_2$ song song với nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
d_1 có VTCP u_1=(3;-2), d_2 có VTCP u_2=(2;3). Vì 3·2+(-2)·3=0 nên u_1⊥u_2, hai đường thẳng vuông góc với nhau (chúng không song song nên chắc chắn cắt nhau). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$. Xét các đáp án: A có ${\vec{n}}_A=(1;2)$ không song song với $\vec{n}$. B có ${\vec{n}}_B=(2;-1)$, không tỉ lệ với $\vec{n}$. C có ${\vec{n}}_C=(-1;2)=-\vec{n}$, nhưng phương trình $-x+2y+1=0$ chính là $-(x-2y-1)=0$, tức trùng với $d$ chứ không song song (song song đòi hỏi không trùng). D có ${\vec{n}}_D=(-2;4)=-2\vec{n}$ và $-2x+4y-1=0$ khác $d$ (hằng số không tỉ lệ: $-1\ne -2\cdot (-1)$), nên $D$ song song với $d$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y-10=0$ (pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$) và $d_2:x-3y+9=0$ (pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\phi =45^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:7x-3y+6=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(7;-3)$ và $d_2:2x-5y-4=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;-5)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|14+15|}{\sqrt{58}\cdot \sqrt{29}}=\frac{29}{\sqrt{1682}}=\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{58}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\theta =\frac{\pi }{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x+2\sqrt{3}y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;2\sqrt{3})$ và $d_2:y-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+2\sqrt{3}|}{\sqrt{4+12}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+\sqrt{3}y=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;\sqrt{3})$ và $d_2:x+10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;0)$. Góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{1+3}\cdot 1}=\frac{1}{2}$, suy ra $\theta =60^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_1:6x-5y+15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(6;-5)$. Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-6;5)=-1\cdot (6;-5)$, tức $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương với $\overrightarrow{n_1}$. Vì vectơ chỉ phương của $d_2$ song song với vectơ pháp tuyến của $d_1$ nên $d_1\perp d_2$, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Kiểm tra: $\cos \alpha =\frac{|6\cdot (-6)+(-5)\cdot 5|}{\sqrt{61}\cdot \sqrt{61}}=\frac{61}{61}=1\Rightarrow \alpha =90^{\circ }$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
VTPT của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}=(1;2)$, VTPT của $d_2$ là $\overrightarrow{n_2}=(2;-4)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|1\cdot 2+2\cdot (-4)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+2y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;2)$ và $d_2:x-y=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|1\cdot 1+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|1-2|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$d_1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(10;5)$, $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;-1)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|10\cdot 1+5\cdot (-1)|}{\sqrt{10^2+5^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{5\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $ax+by+c=0$: $d(M,\Delta )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Với $M(-1;1)$ và $\Delta :3x-4y-3=0$: $d=\frac{|3\cdot (-1)-4\cdot 1-3|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-3-4-3|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-2y-6=0$ có hệ số góc $m_1=\frac{3}{2}$ và $d_2:6x-2y-8=0$ có hệ số góc $m_2=3$. Vì $m_1\ne m_2$ nên hai đường thẳng không song song và không trùng nhau. Kiểm tra vuông góc: $m_1\cdot m_2=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}\ne -1$, nên không vuông góc. Hoặc dùng vecto pháp tuyến $n_1=(3;-2)$, $n_2=(6;-2)$: $\frac{3}{6}\ne \frac{-2}{-2}$ nên không song song; $n_1\cdot n_2=18+4=22\ne 0$ nên không vuông góc. Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $x-3y+4=0$ và $2x+3y-1=0$: cộng hai phương trình được $3x+3=0\Rightarrow x=-1$, suy ra $-1-3y+4=0\Rightarrow y=1$. Giao điểm là $P(-1;1)$. Khoảng cách từ $P$ đến $\Delta :3x+y+4=0$ là $d=\frac{|3(-1)+1+4|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :x=1+3t,y=2+4t$ có VTCP $(3;4)$, đi qua điểm $(1;2)$, nên phương trình tổng quát: $4(x-1)-3(y-2)=0\iff 4x-3y+2=0$. Khoảng cách từ $M(2;0)$: $d=\frac{|4\cdot 2-3\cdot 0+2|}{\sqrt{16+9}}=\frac{10}{5}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có phương trình tham số x = 2 + 3t, y = t. Suy ra t = y, nên x = 2 + 3y, tức phương trình tổng quát: x - 3y - 2 = 0. Khoảng cách nhỏ nhất từ M(15;1) đến một điểm bất kì thuộc Δ chính là khoảng cách từ M đến Δ: d = |15 - 3·1 - 2| / √(1² + (-3)²) = 10/√10 = √10. Vậy đáp án A, khớp với đáp án đã cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
d1: x/3 - y/4 = 1 suy ra 4x - 3y - 12 = 0, có hệ số góc k1 = 4/3. d2: 3x + 4y - 10 = 0 có hệ số góc k2 = -3/4. Vì k1·k2 = (4/3)·(-3/4) = -1 nên hai đường thẳng vuông góc với nhau. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(1;-2)$, đi qua điểm $P(-1;-2)$. $d_2$ có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(-2;4)=-2(1;-2)$, nên $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_1}$: hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Kiểm tra điểm $P(-1;-2)$ của $d_1$ có thuộc $d_2$ không: thay $x=-1$ vào $d_2$: $2-2t^{\prime }=-1\Rightarrow t^{\prime }=\frac{3}{2}$, khi đó $y=-8+4\cdot \frac{3}{2}=-8+6=-2$. Vậy $P\in d_2$, hai đường thẳng trùng nhau. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
d_1 có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(4;-6)$ đi qua điểm $P(-3;2)$; d_2 có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-2;4)$ đi qua điểm $Q(2;-8)$. Vì $4\cdot 4-(-6)(-2)=16-12=4\ne 0$ nên $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương, hai đường thẳng không song song và không trùng nhau. Giải hệ: $-3+4t=2-2t^{\prime }$ và $2-6t=-8+4t^{\prime }$, tức $4t+2t^{\prime }=5$ và $-6t-4t^{\prime }=-10\iff 3t+2t^{\prime }=5$. Trừ hai phương trình được $t=0$, suy ra $t^{\prime }=\frac{5}{2}$. Khi đó giao điểm là $(-3;2)$, thỏa mãn cả hai phương trình, nên hai đường thẳng cắt nhau. Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=4(-2)+(-6)(4)=-8-24=-32\ne 0$ nên không vuông góc. Vậy d_1 và d_2 cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của Δ1 là u1=(3/2; 4/3), VTCP của Δ2 là u2=(9; 8). Ta có 9/(3/2)=6 và 8/(4/3)=6, nên u2=6u1, hai VTCP cùng phương. Kiểm tra điểm M(3; -1) thuộc Δ1: thay vào Δ2, từ x=9/2+9t'=3 suy ra t'=-1/18, khi đó y=1/3+8·(-1/18)=1/3-4/9=-1/9 ≠ -1. Vậy M không thuộc Δ2, hai đường thẳng song song. Đáp án B.